Определение собственного интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Пусть \(Y\) — произвольное множество (множество параметров), a \(f(x, y)\) — функция, определенная на множестве пар \((x, y)\), где \(x \in [a, b] \subset \boldsymbol{R}\), \(y \in Y\). Если при любом значении параметра \(y \in Y\) функция \(f(x, y)\) как функция \(x\) интегрируема по Риману на \([a, b]\), то интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx\) есть функция параметра \(y\), определенная на множестве \(Y\). Интеграл
$$
\int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx\label{ref1}
$$
называется собственным интегралом, зависящим от параметра.
Обычно \(Y\) является числовым множеством или множеством в \(\boldsymbol{R}^{n}\). Например,
$$
J_{0}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \cos (x \cos \varphi)\ d\varphi\label{ref2}
$$
есть собственный интеграл, зависящий от параметра \(x \in (-\infty, +\infty)\).
Свойства собственного интеграла, зависящего от параметра.
(Теорема о непрерывной зависимости собственного интеграла от параметра).
Если функция \(f(x, y)\) непрерывна в прямоугольнике \(K = \{(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\), то интеграл \eqref{ref1} есть непрерывная функция параметра \(y\) на \([c, d]\).
Доказательство.
Доказательство этой теоремы приведено мы приводили ранее.
Теорема 2.
(Теорема о перестановке порядка интегрирования).
Если функция \(f(x, y)\) непрерывна в прямоугольнике \(K = \{(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\), то
$$
\int\limits_{c}^{d} dy \int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx = \int\limits_{a}^{b} dx \int\limits_{c}^{d} f(x, y)\ dy.\label{ref3}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Каждый из повторных интегралов в формуле \eqref{ref3} равен двойному интегралу от функции \(f(x, y)\) по прямоугольнику \(K\) (соответствующую теорему мы доказывали). \(\bullet\)
Теорема 3.
(Теорема о дифференцировании собственного интеграла по параметру).
Пусть функция \(f(x, y)\) непрерывна в прямоугольнике \(K = \{(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\) и имеет непрерывную частную производную \(\displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\) в области \(G\) такой, что \(K \subset G\).
Тогда интеграл \eqref{ref1} есть непрерывно дифференцируемая функция параметра \(y\) на отрезке \([c, d]\), причем
$$
\frac{d}{dy} \int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx = \int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\ dx,\ y \in [c, d].\label{ref4}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(y\) — произвольная точка из отрезка \([c, d]\). Применив формулу \eqref{ref3} к функции \(\displaystyle\frac{\partial f(x, \eta)}{\partial y}\) в прямоугольнике \(K_{y} = \{(x, \eta): a \leq x \leq b, c \leq \eta \leq d\}\), получаем равенство
$$
\begin{array}{cc}
& \displaystyle\int\limits_{c}^{y} d\eta \int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)\ dx = \int\limits_{a}^{b} dx \int\limits_{c}^{y} \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)\ d\eta = \int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx-C_{0},\\
& \displaystyle C_{0} = \int\limits_{a}^{b} f(x, c)\ dx.
\end{array}\label{ref5}
$$
Так как функция \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\ dx\) непрерывна в прямоугольнике \(K\), то в силу теоремы 1 функция
$$
\varphi(\eta) = \int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)\ dx\nonumber
$$
будет непрерывной функцией \(\eta\) на отрезке \([c, d]\).
Левая часть равенства \eqref{ref5} может быть записана как \(\displaystyle\int\limits_{c}^{y} \varphi(\eta) d\eta\). Так как функция \(\varphi(\eta)\) непрерывна на отрезке \([c, d]\), то
$$
\frac{d}{dy} \int\limits_{c}^{y} \varphi(\eta)\ d\eta = \varphi(y) = \int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\ dx.\nonumber
$$
Так как левая часть равенства \eqref{ref5} есть функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке \([c, d]\), то и функция \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx\), стоящая в правой части равенства \eqref{ref5}, непрерывно дифференцируема на отрезке \([c, d]\). Поэтому
$$
\frac{d}{dy} \int\limits_{a}^{b} f(x, y)\ dx = \varphi(y) = \int\limits_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\ dx.\ \bullet\nonumber
$$
Замечание 1.
Теоремы 1-3 остаются справедливыми и при замене функции \(f(x, y)\) на функцию \(\psi(x)f(x, y)\), где функция \(\psi(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\).