Точные грани числовых множеств.

Содержание:

  1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
  2. Определение точной верхней и нижней грани.
  3. Существование точной верхней (нижней) грани.
    1. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани.
    2. Теорема об отделимости числовых множеств.

1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb{R}\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, т.е. $$\exists C\;\in\;\mathbb{R}:\;\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\leq\;C.\label{ref1}$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref{ref1}, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb{R}\) называется ограниченным снизу, если $$\exists C'\in\mathbb{R}:\;\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\geq\;C'.\label{ref2}$$

Всякое вещественное число С', удовлетворяющее условию \eqref{ref2}, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, т.е. {X — ограниченное множество}\(\Leftrightarrow\left\{\exists C'\in\;\mathbb{R}\;\exists C\in\mathbb{R}:\;\forall x\in X\;\rightarrow\;C'\;\leq\;x\;\leq\;C\right\}\).


Пример 1.

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = {C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb{R}\)}.

Решение.

По условию \(A=\left\{\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\leq\;C\right\}\). Используя правило построения отрицания (пример построения описан здесь), получаем $$\rceil A=\left\{\exists x_0\;\in\;X\;\rightarrow\;x_0\;>\;C\right\}.\nonumber$$


Пример 2.

Записать ⌉B, если B = {множество X ограничено снизу}.

Решение.

По условию \(B=\left\{\exists C\;\in\;\mathbb{R}:\;\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\geqslant\;C\right\}\). Поэтому $$\rceil B=\left\{\forall C\;\in\;\mathbb{R}:\;\exists x_C\;\in\;X\;\rightarrow\;x_C\;<\;C\right\}.\nonumber$$


2. Определение точной верхней и нижней грани.

Пусть числовое множество X ограничено сверху, тогда выполняется условие \eqref{ref1}, а число C является верхней гранью множества X. Очевидно, что любое число, большее C, также является верхней гранью множества X. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль имеет наименьшая. Речь идет о числе M, которое обладает следующими свойствами:

  1. M — верхняя грань множества X;

  2. любое число M' меньшее M, не является верхней гранью множества X.

Это число M будем в дальнейшем называть точной верхней гранью множества X. Исходя из вышесказанного, сформулируем определение точной верхней грани множества.

Определение 1.
Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
  1. $$\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\leq\;M\label{ref3}$$

  2. $$\forall\alpha\;<\;M\;\exists x_\alpha\in X:\;x_\alpha\;>\;\alpha\label{ref4}$$

Точная верхняя грань числового множества X обозначается sup X ("супремум"). Таким образом, $$\left\{M=sup\;X\right\}\;\Leftrightarrow\;\left\{\forall x\in X\;\rightarrow\;x\leqslant\;M\right\}\;\wedge\;\left\{\forall\alpha\;<\;M\;\exists x_\alpha\in X:\;x_\alpha\;>\;\alpha\right\}.\nonumber$$


Замечание 1.
Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x <2, то sup X = 2 ∉ X. Если X1 — объединение множеств X и числа 3, то sup X1=3 ∈ X1.

Замечание 2.
Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Определение 2.
Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
  1. $$\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\geqslant\;m\nonumber$$

  2. $$\forall\beta\;>\;m\;\exists x_\beta\in X:\;x_\beta\;<\;m\nonumber$$

Точная нижняя грань множества X обозначается inf X ("инфимум"). Таким образом, $$\left\{m=inf\;X\right\}=\left\{\forall x\in X\;\rightarrow\;x\;\geq\;m\right\}\;\wedge\;\left\{\forall\beta\;>\;m\;\exists x_\beta\in X:\;x_\beta\;<\;\beta\right\}\nonumber$$


3. Существование точной верхней (нижней) грани.

Теорема 1. Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Доказательство.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, т.е. содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

  1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;

  2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref{ref1}. Пусть C=c0,c1c2...cn...; тогда c— неотрицательное целое число, причем C < c0+1, где c0+1 = n0 ∈ \(\mathbb{N}\). Следовательно, $$\forall x\in X\;\rightarrow\;x\;<\;C\;<\;n_0.\label{ref5}$$

Если x=a0,a1a2...=a0,{an} — произвольный элемент множества X, то из \eqref{ref5} следует, что 0 ≤ a0 < n0. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E - конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент \({\overline a}_0\). Обозначим,$$X_0=\left\{x\in X:\;x={\overline a}_0,\left\{a_n\right\}\right\}.\nonumber$$

Множество X0 состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна \({\overline a}_0\); множество X0 непустое и X ⊃ X0.

Пусть E1 — множество первых десятичных знаков элементов множества X0. Так как множество E1 конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует \({\overline a}_1=\underset{x\in X_0}{max}\;a_1\) — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X0.

Пусть \(X_1=\left\{x\in X:\;x={\overline a}_0,{\overline a}_1a_2...\right\}\); тогда X ⊃ X0 ⊃ X1. Обозначим \({\overline a}_2=\underset{x\in X_1}{max}\;a_2\) наибольший из вторых десятичных знаков элементов множества X1,$$X_2=\left\{x\in X_1:\;a_2={\overline a}_2\right\}=\left\{x\in X:\;x={\overline a}_0,{\overline a}_1{\overline a}_2a_3...\right\}.\nonumber$$

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {Xk} непустых множеств и последовательность десятичных знаков \({\overline a}_k\) таких, что X ⊃ X0 ⊃ X1 ⊃ ... X ⊃ X0 ⊃ ...,$${\overline a}_k=\underset{x\in X_{k-1}}{max}\;a_k,\nonumber$$

$$X_k=\left\{x\in X_{k-1}:\;a_k={\overline a}_k\right\}=\left\{x\in X:\;x={\overline a}_0,{\overline a}_1...{\overline a}_ka_{k+1}...\right\}\nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь \(\overline x={\overline a}_0,{\overline a}_1{\overline a}_2...={\overline a}_0,\left\{{\overline a}_n\right\}\). Покажем, что x = sup X, т.е. что

$$\forall x\in X\;\rightarrow\;x\;\leq\;\overline x,\label{ref6}$$

$$\forall x'\;<\;\overline x\;\exists\widetilde x\in X:\;\widetilde x\;>\;x'.\label{ref7}$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a0,{an}. Чтобы проверить выполнение условия \eqref{ref6}, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k\;\;\;\;\;при\;k=0,1,2,...,\label{ref8}$$

$$x\in X_k\;\;\;\;\;при\;k=0,1,2,...,\label{ref9}$$

$$\exists m:\;x\in X_{m-1},\;x\not\in X_{m.}\label{ref10}$$

Из \eqref{ref8} следует, что \(a_0\;<\;{\overline a}_0\) и поэтому \(x\;<\;\overline x\). Если выполнено условие \eqref{ref9}, то \(a_k={\overline a}_k\) при k = 0, 1, 2,..., откуда, по определению числа \(\overline x\), справедливо равенство \(x=\overline x\). Наконец из \eqref{ref10}, согласно определению множества Xm и числа \(x=\overline x\), следует, что

$$x\;=\;{\overline a}_0,{\overline a}_1...{\overline a}_{m-1}a_m...\;<{\overline a}_0,{\overline a}_1...{\overline a}_{m-1}{\overline a}_m(0)\;\leq\;\overline x,\nonumber$$

и поэтому \(x\;<\;\overline x\). Таким образом, неравенство \eqref{ref6} доказано.

Проверим условие \eqref{ref7}. Если x' < 0, то \eqref{ref7} имеет место при любом \(\widetilde x\in X\), т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть \(0\;\leq\;x'\;\leq\;\overline x\) и \(x'=a'_0,\left\{a'_n\right\}\). Тогда либо \(a'_0\;<\;{\overline a}_0\), либо \(a'_k=a_k\;при\;k=\overline{0,\;m-1},a'_m\;<\;{\overline a}_m\). В первом случае в качестве \(\widetilde x\) можно взять любой элемент множества X0, так как из условий \(a'_0\;<\;{\overline a}_0\) и \(\widetilde x\in X_0\) следует, что

$$x'\;<\;\widetilde x={\overline a}_0,a_1...a_n...\;\leq\;\overline x,\;\;\;\;\;т.е.\;\;\;\;\;x'\;<\;\widetilde x\;\leq\;\overline x\;\;\;\;\;и\;\;\;\;\;x\in X_0\subset X.\nonumber$$

Во втором случае условию \eqref{ref7} удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

$$x'={\overline a}_0,{\overline a}_1...{\overline a}_{m-1}a'_m...\;<\;{\overline a}_0,{\overline a}_1...{\overline a}_{m-1}{\overline a}_ma_{m+1}...=\widetilde x\;\leq\;\overline x.\nonumber$$

Таким образом, \(x'\;<\;\widetilde x\;\leq\;\overline x\), где \(\widetilde x\in X_m\subset X\). Условие \eqref{ref7} проверено.

Итак, условия \eqref{ref6} и \eqref{ref7} выполняются, т.е. x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x0 ≥ 0, то множество \(\left\{\widetilde X=x\in X:\;x\;\geq\;x_0\right\}\) состоит из неотрицательных чисел, причем \(sup\;X=sup\;\widetilde X\). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

$$x=-a_0,a_1a_2...a_n...\label{ref11}$$

Пусть \(a_0^\ast\) — наименьшее из чисел a0 в записи \eqref{ref11} для всех x ∈ X\(a_1^\ast\) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых \(a_0=a_0^\ast\); \(a_2^\ast\) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых \(a_0=a_0^\ast,\;a_1=a_1^\ast\) и т.д. Указанным способом определяется число \(x^\ast=-a_0^\ast,a_1^\ast...a_n^\ast...=-a_0^\ast,\left\{a_n^\ast\right\}\). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x* является точной верхней гранью множества.


Теорема 2. Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого x ∈ X и любого y ∈ Y справедливо неравенство $$x\;\leq\;y,\label{ref12}$$ то существуют sup X и inf Y, причем $$\forall x\in X\;и\;\forall y\in Y\;\rightarrow\;x\;\leq\;sup\;X\;\leq\;inf\;Y\;\leq\;y.\label{ref13}$$

Доказательство.

Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу \eqref{ref12}, то по теореме 1 существует sup Y. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование inf Y. По определению точных граней $$\forall x\in X\;\rightarrow\;x\;\leq\;sup\;X,\;\forall y\in Y\;\rightarrow\;inf\;Y\;\leq\;y.\label{ref14}$$ Из \eqref{ref14} следует, что для доказательства утверждения \eqref{ref13} достаточно показать, что $$sup\;X\;\leq\;inf\;Y.\label{ref15}$$

Из неравенства \eqref{ref12} следует, что каждое число y ∈ Y является верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X, т.е. число sup X, есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого  y ∈ Y выполняется неравенство $$sup\;X\;\leq\;y.\label{ref16}$$

Из неравенства \eqref{ref16} следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, т.е. число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.


Замечание 3.
Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup\;X\;\leq\;\xi\;\leq\;inf\;Y\label{ref17}$$ Тогда из \eqref{ref13} и \eqref{ref17} следует неравенство $$x\;\leq\;\xi\;\leq\;y,\label{ref18}$$ которое справедливо для любого x ∈ X и любого y ∈ Y. Про число ξ говорят, что оно отделяет множество X от множества Y. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимости числовых множеств.