Логическая символика.
При изложении курса математического анализа для сокращения будем использовать логические символы ∀, ∃, ⇒ ⇔, значения которых приводятся ниже.
∀ — знак общности. Заменяет собой слова: для любого, для каждого, для всех.
∃ — знак существования. Заменяет собой слова: существует, найдется.
⇒ — знак следования (импликации). Запись A ⇒ B означает, что A влечет B или B следует из A.
⇔ — знак равносильности (эквивалентности). Запись A ⇔ B означает, что B следует из A и A следует из B. Иначе: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B; A тогда и только тогда, когда B.
Символы ∀, ∃ называются кванторами (общности и существования).
Кроме указанных символов, употребляются также следующие знаки:
∨ — знак дизъюнкции, заменяет союз «или»; запись A ∨ B означает, что имеет место хотя бы одно из высказываний A или B.
∧ — знак конъюнкции, заменяет союз «и».
⌉ — знак отрицания, запись ⌉A означает «не A» (отрицание высказывания А).
Пример 1.
Пусть
A = {квадратный трехчлен y = ax2 + bx2 + c принимает положительные значения при всех x},
B = {D < 0}, где D = b2 — 4ac,
C = {D < 0, a > 0} = {D < 0} ∧ {a > 0}.
Докажем, что A ⇒ B, A ⇔ C.
Решение.
- Предположим, что из A не следует B. Тогда D = b2 — 4ac ≥ 0. В этом случае квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет действительные корни x1 и x2 (x1 = x2 при D = 0) и поэтому обращается в нуль при x = x1 и при x = x2, что противоречит A. Итак, предположение о том, что из А не следует B, является неверным. Поэтому из A следует B, то есть A ⇒ B.
- Докажем, что A ⇔ C. Воспользуемся равенством$$y=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{-D}{4a^2}\right]\label{ref1}$$Так как A ⇒ { D < 0 }, то выражение в квадратных скобках в формуле \eqref{ref1}, положительно, и поэтому из условия y > 0 следует, что a > 0. Итак, A ⇒ C.Обратно, если имеет место C, то есть D < 0 и a > 0, то из равенства \eqref{ref1} следует, что y > 0 при всех x.Таким образом, квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c принимает положительные значения при всех действительных значениях x тогда и только тогда, когда a > 0 и D = b2 — 4ac < 0.
Пример 2.
Пусть заданы числовое множество X и число M. Записать с помощью кванторов отрицание утверждений:
A = {все элементы x числового множества X удовлетворяют условию x < M}.
B = {существует число M > 0 такое, что все элементы x из множества X удовлетворяют условию |x| ≥ M}.
Решение.
Пусть A не имеет места, то есть не все элементы x множества X удовлетворяют условию x < M. Это означает, что найдется такой элемент x ∈ X, для которого неравенство x < M не выполняется, то есть имеет место противоположное неравенство x ≥ M.
Запишем А и ⌉A с помощью кванторов:
$$A=\left\{\forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x < M\right\}\nonumber$$
$$\rceil A=\left\{\exists x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ M\right\}\nonumber$$
Пусть B не имеет места, то есть не существует числа M > 0 такого, чтобы для любого x ∈ X имело место неравенство |x| ≥ M. Это означает, что для любого M > 0 неравенство |x| ≥ M не может выполняться для каждого x ∈ X. Иначе говоря, существует такой элемент x = xM ∈ X (зависящий, вообще говоря, от M), для которого неравенство |x| ≥ M не выполняется, то есть справедливо неравенство |x| < M. С помощью кванторов это можно записать так:
$$B=\left\{\exists M > 0; \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ \left|x\right| \ \geq \ M\right\}\nonumber$$
$$\rceil B=\left\{\forall M > 0; \ \exists x_M \ \in \ X \ \rightarrow \ \left|x_M\right| < M\right\}\nonumber$$
В этих примерах показано, что отрицание утверждения, содержащего кванторы ∀, ∃ и свойство P (в данных примерах это неравенства x < M и |x| ≥ M соответственно), получается заменой ∀ на ∃, ∃ на ∀ и свойства P — на его отрицание.
Рациональные числа и их свойства.
Рациональное число — такое число, которое можно записать в виде p/q, где p — целое число, q — натуральное число. В частности, любое целое число является рациональным, поскольку его можно записать в виде p = p/1. Например, 0 = 0/1, 1=1/1.
Пусть a = p/q, b = p1/q1 — два рациональных числа. Тогда правило упорядочения этих чисел определяется так:
- если pq1 = qp1, то a = b;
- если pq1 > qp1, то a > b;
- если pq1 < qp1, то a < b;
а сумма и произведение чисел a и b определяется равенствами
$$a+b=\frac{pq_1+qp1}{qq_1}, \ ab=\frac{pp_1}{qq_1}\nonumber$$
Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают свойствами:
- коммутативности:$$a+b=b+a, \ ab=ba\nonumber$$
- ассоциативности:$$(a+b)+c=a+(b+c), \ (ab)c=a(bc)\nonumber$$
- дистрибутивности:$$a(b+c)=ab+ac\nonumber$$
- для любого рационального числа a справедливы неравенства$$a+0=a, \ a\cdot1=a\nonumber$$
Операции вычитания и деления вводятся как обратные соответственно к операциям сложения и умножения:
- (для любых рациональных чисел a, b существует (и притом единственное) число x такое, что$$b+x=a\nonumber$$это число называют разностью чисел a и b и обозначают a — b).
- если b ≠ 0, то существует единственное число z такое, что$$bz=a\nonumber$$это число называют частным чисел a и b и обозначают a/b.
Отметим еще основные свойства неравенств для рациональных чисел:
- если a > b и b > c, то a > c (транзитивность);
- если a > b, то a + c > b +c при любом c;
- если a > b и c > d, то a + c > b + d;
- если a > b и c > 0, то ac > bc;
- если a > b и c < 0, то ac < bc.
В дальнейшем, мы будем использовать следующие обозначения:
- \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел;
- \(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел;
- \(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел.
В множестве \(\mathbb{Q}\) можно выполнять не только четыре арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первой степени. Однако, даже простейшие квадратные уравнения вида x2=a, где \(a\in\mathbb{N}\), не всегда разрешимы в множестве \(\mathbb{Q}\). Так например, уравнение x2=3 не имеет решений в множестве рациональных чисел \(\mathbb{Q}\).
Докажем, что решение данного уравнения \(\sqrt{3}\) не является рациональным числом.
Давайте предположим противное, то есть что \(\sqrt{3}\) — рациональное число. Тогда по определению рациональных чисел можем записать его как несократимую (и это важно) дробь, то есть:
$$
\sqrt{3}=\frac{p}{q},\qquad p\in\mathbb{Z}, \ q\in\mathbb{N}\nonumber
$$
Возведем обе части в квадрат и преобразуем дробь. Получаем
$$
p^2=3q^2\nonumber
$$
Как видно из выражения, p2 делится на 3 без остатка. Если записать это «по-умному», то
$$
p^2 \ \equiv \ 0 \ (\operatorname{mod} \ 3)\nonumber
$$
Но это означает, что также и само p2 делится на три без остатка. В самом деле, любое натуральное число можно разложить на простые множители. Запишем p следующим образом:
$$
p=p_0^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{x_n}\nonumber
$$
, где \(p_0,p_1,\ldots ,p_n\) — простые числа, а \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) — целые числа).
Тогда p2 можно записать так:
$$
p^2=p_0^{2x_0}\cdot p_1^{2x_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{2x_n}\nonumber
$$
Поскольку p2 делится на 3 целиком, то это значит, что в нашем разложении какое-то pi = 3. А поскольку множество всех pi (i лежит в пределах от 0 до n включительно) образует множество всех делителей исходного p, то 3 также является делителем p. То есть мы можем записать, что:
$$
p=3\cdot k,\qquad k\in\mathbb{N}\nonumber
$$
То есть, если вернемся к одному из первых утверждений и заменим наше p, то получим:
$$
9\cdot k^2=3\cdot q^2\quad\Leftrightarrow\quad q^2=3\cdot k^2\nonumber
$$
Повторяя вышеизложенные рассуждения, получим, что q так же делится на 3, как и p. Предположим, что:
$$
q=3\cdot m,\qquad m\in\mathbb{N}\nonumber
$$
Таким образом:
$$
\frac{p}{q}=\frac{3\cdot k}{3\cdot m}=\frac{k}{m},\nonumber
$$
что противоречит первоначальному утверждению, что p/q — несократимая дробь. Следовательно, \(\sqrt{3}\) не является рациональным. \(\bullet\)
Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа x2=a, x3=a, где \(a\in\mathbb{N}\), приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) путем добавления к этому множеству новых элементов, называемых иррациональными числами.
Бесконечные десятичные дроби и их приближения.
Периодичные десятичные дроби.
Известно, что любое рациональное число можно представить либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби. Например, рациональному числу 5/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,625, то есть 5/8=0,625. Аналогично, рациональному числу −27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь −2,454545… = −2(45), то есть −27/11 = −2(45).
Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь является. Для этого используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(a+aq+aq^2+…=\frac a{1-q}, \ \left|q\right|<1\).
Например,
$$2,(45)=2+\frac2{45}+\frac2{45^2}+…=2+\frac{\displaystyle\frac{45}{100}}{1-{\displaystyle\frac1{100}}}=2+\frac{45}{99}=\frac{27}{11}\nonumber$$
Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 = 2,5(0) = 2,4(9).
Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью. с цифрой 0 в периоде.
Множество вещественных чисел.
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида
$$\pm a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref2}$$
Эта дробь определяется заданием знака + или −, целого неотрицательного числа a0 и последовательности десятичных знаков a1, a2, …, an,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида \eqref{ref2} будем называть вещественным числом. Если перед дробью \eqref{ref2} стоит знак +, его обычно опускают и пишут
$$a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref3}$$
Число вида \eqref{ref3} будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a0, a1, a2, …, an, … отлично от нуля — положительным вещественным числом. Число вида
$$-a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref4}$$
где хотя бы одно из чисел a0, a1, a2,… отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.
Если a = a0,a1a2…an… и b = −a0,a1a2…an…, то число b называют противоположным числу a, а число a — противоположным числу b.
Если дробь \eqref{ref2} является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дробей вида \eqref{ref2} называют множеством вещественных чисел и обозначают \(\mathbb{R}\), а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают \(\mathbb{J}\).
Примеры иррациональных чисел.
$$a=0,1234567891011…\label{ref5}$$
Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные последовательно друг за другом, начиная с единицы.
$$b=27,1010010001000010…\label{ref6}$$
Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000 и т. д.
Десятичные приближения вещественных чисел.
Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу \eqref{ref3} конечные десятичные дроби
$${\overline\alpha}_n=a_0,a_1a_2…a_n+\frac1{10^n},\quad\underline{\alpha}_n=a_{0,}a_1…a_n\nonumber$$
и будем называть их n-ми десятичными приближениями числа α=a0,a1a2…an… соответственно с избытком и недостатком. Если α — отрицательное вещественное число вида \eqref{ref4}, то для него n-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами
$${\overline\alpha}_n=-a_0,a_1…a_n,\quad\underline{\alpha}_n=-a_0,a_1…a_n-\frac1{10^n}.\nonumber$$
Десятичные приближения найдут свое применение при определении арифметических операций на множестве \(\mathbb{R}\).
Сравнение вещественных чисел.
Сравнение неотрицательных чисел.
Два неотрицательных вещественных числа
$$\alpha=a_0,a_1a_2…a_n…\qquad\beta=b_0,b_1b_2…b_n…\nonumber$$
называют равными и пишут α = β при k = 0,1,2,…, то есть
$$\left\{\alpha=\beta\right\}\Leftrightarrow\left\{a_k=b_k, \ k=0,1,2,…\right\}.\nonumber$$
Например,
$$\left\{\alpha=0\right\}\Leftrightarrow\left\{a_k=0, \ k=0,1,2,…\right\}.\nonumber$$
Дадим определение α < β и α > β. Говорят, что число α меньше числа β и пишут α < β, если либо a0 < b0, либо a0 = b0 и существует такой номер n, что a1 = b1, a2 = b2,…, an-1 = bn-1, но an < bn, то есть
$$\left\{\alpha < \beta\right\} \ \Leftrightarrow \ \left\{a_0 < b_0\right\}\vee\left\{\exists n\in\mathbb{N}: \ a_k=b_k, \ k=\overline{0, \ n-1}; \ a_n < b_n\right\}.\nonumber$$
Запись \(k=\overline{0, \ n-1}\) означает, что равенство ak = bk выполняется при значениях k от 0 до n-1 включительно, так что n — наименьший номер, для которого это неравенство не выполняется и имеет место неравенство an < bn. Аналогично,
$$\left\{\alpha > \beta\right\} \ \Leftrightarrow \ \left\{a_0 > b_0\right\}\vee\left\{\exists n\in\mathbb{N}: \ a_k=b_k, \ k=\overline{0, \ n-1}; \ a_n > b_n\right\}.\nonumber$$
Из определения равенства α = β и неравенств α < β и α > β следует, что для любых неотрицательных вещественных чисел α и β выполняется одно из трех условий: α = β, α < β, α > β.
Отметим, что для любого неотрицательного вещественного числа α справедливо неравенство α ≥ 0.
Сравнение произвольных вещественных чисел.
Назовем модулем вещественного числа α вещественное число, обозначаемое символом |α|, представимое той же бесконечной дробью, что и α, но взятое со знаком +. Таким образом, если
$$\alpha=\pm a_0,a_1a_2…a_n…,\qquad то\qquad\left|\alpha\right|=a_0,a_1a_2…a_n…,\nonumber$$
откуда следует, что |α| — неотрицательное вещественное число при любом α.
Введем правило сравнения двух вещественных чисел α и β для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно.
Если α — неотрицательное, β — отрицательное число, то считают, что α > β.
Если оба числа α и β отрицательны, то будем считать, что:
- α = β, если |α| = |β|;
- α < β, если |α| > |β|.
Замечание 1.
Легко убедиться в том, что сформулированное правило сравнения вещественных чисел в применении к рациональным числам, записанным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и правило сравнения рациональных чисел (п.2), представленных в виде отношения целых чисел.
Замечание 2.
Если \(\underline{\alpha}_n\), \(\underline{\beta}_n\) — n-е приближение с недостатком, а \({\overline\alpha}_n\), \({\overline\beta}_n\) — n-е приближение с избытком чисел α и β соответственно, то из правила сравнения вещественных чисел следует, что:
- \(\underline{\alpha}_n\leq\alpha\leq{\overline\alpha}_n, \ \underline{\beta}_n\leq\beta\leqslant{\overline\beta}_n\) для любого n ∈ \(\mathbb{N}\);
- \(\alpha < \beta\Rightarrow\exists n: \ {\overline\alpha}_n < \underline{\beta_n}\).
Транзитивность правил сравнения.
Докажем, что если α < β и β < γ, то α < γ. Ограничимся доказательством случая, когда сравниваются неотрицательные числа. Пусть
$$\begin{array}{l}\alpha=a_0,a_1a_2…a_n…\\\beta=b_0,b_1b_2…b_n…\\\gamma=c_0,c_1c_2…c_n…\end{array}\nonumber$$
Пусть p и m — наименьшие номера, для которых нарушаются соответственно равенства ak = bk и bk = ck (k = 0, 1, 2,…), и пусть, например p ≤ m. тогда p — наименьший номер, при котором нарушается равенство аk = ck и имеет место неравенство ap < cp. По правилу сравнения вещественных чисел отсюда следует, что α < γ.
Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами.
Лемма 1.
Если α и β — вещественные числа, причем α < β, то найдется такое рациональное число r, что$$\alpha < r < \beta\label{ref7}$$
Доказательство.
а) Пусть α и β — рациональные числа (α ∈ \(\mathbb{Q}\), β ∈ \(\mathbb{Q}\)). Тогда для них определены арифметические операции, и в качестве r можно взять число \(\frac{\alpha+\beta}2\), так как
$$\alpha < \frac{\alpha+\beta}2 \ <\beta\nonumber$$
б) Пусть по крайней мере одно из чисел α, β является иррациональным. Будем считать, что β ∈ \(\mathbb{J}\). Предположим для определенности, что α ≥ 0 и что
$$\alpha=a_0,a_1a_2…a_n…\nonumber$$
Так как β > α и α ≥ 0, то β > 0. Пусть
$$\beta=b_0,b_1b_2…b_n…\nonumber$$
Пусть p — наименьший номер, при котором нарушается равенство ak = bk (k=0,1,2,…). Будем считать, что p > 0. Тогда
$$a_0=b_0,\qquad…,\qquad a_{p-1}=b_{p-1},\qquad a_p < b_p\label{ref8}$$
По условию β ∈ \(\mathbb{J}\), и, значит, β не может быть конечной десятичной дробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтому найдется номер номер, больший p (обозначим его p+m) и такой, что
$$b_{p+m} > 0\label{ref9}$$
Покажем, что рациональное число r = a0,a1…ap-1bp…bp+m-1(0) удовлетворяет условию \eqref{ref7}. Из \eqref{ref8} следует, что α < r. Далее, r = b0,b1…bp+m-1(0) < b0,b1…bp+m-1bp+m… в силу условия \eqref{ref9}, то есть r < β. Итак, доказано, что α < r < β, причем r ∈ \(\mathbb{Q}\).
Следствие.
Если α ∈ \(\mathbb{R}\), β ∈ \(\mathbb{R}\) и α < β, то $$\exists r \ \in \ \mathbb{Q}\quad\exists r’ \ \in \ \mathbb{Q}:\quad\alpha < r < r’ < \ \beta\label{ref10}$$
Лемма 2.
Пусть δ ∈ \(\mathbb{R}\), δ’ ∈ \(\mathbb{R}\) и пусть существуют такие последовательности рациональных чисел {xn} и {yn}, что для всех n ∈ \(\mathbb{N}\) справедливы неравенства$$x_n \ \leq \ \delta \ \leq \ \delta^, \ \leq \ y_n,\label{ref11}$$
$$y_n-x_n \ \leq\frac1{10^n}.\label{ref12}$$
Тогда
$$\delta \ = \ \delta^,.\label{ref13}$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть равенство \eqref{ref13} не выполняется; тогда из условия \eqref{ref11} следует, что δ < δ’. В силу следствия леммы 1 существуют рациональные числа r и r’ , такие, что
$$\delta < r < r^, < \delta^,.\label{ref14}$$
Из \eqref{ref14} следует, что r’-r > 0, и поэтому
$$\exists m\in\mathbb{N}: \ \ \ \ \ r^,-r > \frac1{10^m}.\label{ref15}$$
Из \eqref{ref11} и \eqref{ref14} следует, что
$$x_n \ \leqslant \ \delta < r < r^, < \delta^, \ \leqslant \ y_n,\nonumber$$
откуда в силу транзитивности правила сравнения получаем
$$x_n < r < r^, < y_n.\label{ref16}$$
Используя неравенства \eqref{ref15}, \eqref{ref12}, \eqref{ref16} и свойства неравенств для рациональных чисел, получаем
$$\frac1{10^m} < r^,-r < y_n-x_n \ \leqslant \ \frac1{10^n},\nonumber$$
откуда следует, что
$$\frac1{10^m} < \frac1{10^n}.\label{ref17}$$
Неравенство \eqref{ref17} должно выполняться при фиксированном m ∈ \(\mathbb{N}\) и при любом n ∈ \(\mathbb{N}\). Однако, при n = m неравенство \eqref{ref17} не выполняется. Поэтому неравенство δ < δ’, не может иметь место, то есть справедливо равенство \eqref{ref13}. \(\bullet\)
Геометрическая интерпретация вещественных чисел.
Рассмотрим прямую l, выберем на ней начало отсчета (точку O) и масштабный отрезок OE длины 1. Числу 0 поставим в соответствие точку O, числу 1 — точку E, числу -1 — точку E’, симметричную точке E относительно точки O. Положительному числу α =a0,a1a2…an… поставим в соответствие точку M, находящуюся справа от O на расстоянии α, а отрицательному числу β = b0,b1b2…bn… — точку M’, находящуюся слева от O на расстоянии |β|.
Эта прямая называется числовой прямой или числовой осью. Из аксиом геометрии и свойств вещественных чисел следует, что между множеством вещественных чисел \(\mathbb{R}\) и числовой прямой l устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому вещественному числу соответствует единственная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует некоторое вещественное число. Поэтому будем в дальнейшем будем отождествлять множество \(\mathbb{R}\) с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа часто будем называть точками.
Условимся о следующих обозначениях для некоторых наиболее употребительных числовых множеств:
- отрезок [a, b] ={x: a ≤ x ≤ b};
- интервал (a, b) ={x: a < x < b};
- полуинтервалы [a, b) = {x: a ≤ x < b}, (a, b] = {x: a < x ≤ b}.
Точки a и b называют концами отрезка, интервала, полуинтервала (a — левым концом, b — правым концом), отрезок [a, b], интервал (a, b), полуинтервалы [a, b) и (a, b] называют конечными промежутками (или промежутками), а точки x такие, что a < x < b, — их внутренними точками.
Наряду с конечными промежутками рассматривают также бесконечные промежутки:
- интервалы
$$\left(a, \ +\infty \ \right)=\left\{x: \ x > a\right\} \ и \ \left(-\infty, \ a\right)=\left\{x: \ x < a\right\};\nonumber$$
- полуинтервалы
$$\left[a, \ +\infty \ \right)=\left\{x: \ x \ \geqslant \ a\right\},\qquad\left(-\infty, \ a\right]=\left\{x: \ x \ \leqslant \ a\right\};\nonumber$$
- \(\left(-\infty, \ +\infty\right)=\left\{x: \ x\in\mathbb{R}\right\}\) — множество вещественных чисел.
Напомним, что если каждый элемент множества A является элементом множества B, то пишут A ⊂ B или B ⊃ A и говорят, что A является подмножеством множества B. Например, \(\mathbb{J} \ \in \ \mathbb{R}\), \(\mathbb{Q} \ \in \ \mathbb{R}\).
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B, называется объединением множеств A и B и обозначается A ∪ B.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B, называется пересечением множеств A и B и обозначается A ∩ B.
Отметим, что
$$\mathbb{J} \ \cup \ \mathbb{Q} \ = \ \mathbb{R},\qquad\mathbb{J} \ \cap \ \mathbb{Q} \ = \ \varnothing,\nonumber$$
где ∅ — пустое множество, то есть множество, не содержащее элементов.