Рациональные числа. Бесконечные числовые дроби.

Содержание:

  1. Логическая символика.
  2. Рациональные числа и их свойства.
  3. Бесконечные десятичные дроби и их приближения.
    1. Периодичные десятичные дроби.
    2. Множество вещественных чисел.
    3. Десятичные приближения вещественных чисел.
  4. Сравнение вещественных чисел.
    1. Сравнение неотрицательных чисел.
    2. Сравнение произвольных вещественных чисел.
    3. Транзитивность правил сравнения.
  5. Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами.
  6. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

Логическая символика.

При изложении курса математического анализа для сокращения будем использовать логические символы ∀, ∃, ⇒ ⇔, значения которых приводятся ниже.

∀ - знак общности. Заменяет собой слова: для любого, для каждого, для всех.

∃ - знак существования. Заменяет собой слова: существует, найдется.

⇒ - знак следования (импликации). Запись AB означает, что A влечет B или B следует из A.

⇔ - знак равносильности (эквивалентности). Запись AB означает, что B следует из A и A следует из B. Иначе: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B; A тогда и только тогда, когда B.

Символы ∀, ∃ называются кванторами (общности и существования).

Кроме указанных символов, употребляются также следующие знаки:

∨ - знак дизъюнкции, заменяет союз «или»; запись AB означает, что имеет место хотя бы одно из высказываний A или B.

∧ - знак конъюнкции, заменяет союз «и».

⌉ - знак отрицания, запись ⌉A означает «не A» (отрицание высказывания А).


Пример 1.

Пусть

A = {квадратный трехчлен y = ax2 + bx2 + c принимает положительные значения при всех x},

B = {D < 0}, где D = b2 - 4ac,

C = {D < 0, a > 0} = {D < 0} ∧ {a > 0}.

Докажем, что AB, AC.

Решение.

  • Предположим, что из A не следует B. Тогда D = b2 - 4ac ≥ 0. В этом случае квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет действительные корни x1 и x2 (x1 = x2 при D = 0) и поэтому обращается в нуль при x = x1 и при x = x2, что противоречит A. Итак, предположение о том, что из А не следует B, является неверным. Поэтому из A следует B, т.е. AB.

  • Докажем, что AC. Воспользуемся равенством

    $$y=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{-D}{4a^2}\right]\label{ref1}$$

    Так как A ⇒ { D < 0 }, то выражение в квадратных скобках в формуле \eqref{ref1}, положительно, и поэтому из условия y > 0 следует, что a > 0. Итак, AC.

    Обратно, если имеет место C, т.е. D < 0 и a > 0, то из равенства \eqref{ref1} следует, что y > 0 при всех x.

    Таким образом, квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c принимает положительные значения при всех действительных значениях x тогда и только тогда, когда a > 0 и D = b2 - 4ac < 0.


Пример 2.

Пусть заданы числовое множество X и число M. Записать с помощью кванторов отрицание утверждений:

A = {все элементы x числового множества X удовлетворяют условию x < M}.

B = {существует число M > 0 такое, что все элементы x из множества X удовлетворяют условию |x| ≥ M}.

Решение.

Пусть A не имеет места, т.е. не все элементы x множества X удовлетворяют условию x < M. Это означает, что найдется такой элемент xX, для которого неравенство x < M не выполняется, т.е. имеет место противоположное неравенство x ≥ M.

Запишем А и ⌉A с помощью кванторов:

$$A=\left\{\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;<\;M\right\}\nonumber$$

$$\rceil A=\left\{\exists x\;\in\;X\;\rightarrow\;x\;\geq\;M\right\}\nonumber$$

Пусть B не имеет места, т.е. не существует числа M > 0 такого, чтобы для любого x ∈ X имело место неравенство |x| ≥ M. Это означает, что для любого M > 0 неравенство |x| ≥ M не может выполняться для каждого x ∈ X. Иначе говоря, существует такой элемент x = xMX (зависящий, вообще говоря, от M), для которого неравенство |x| ≥ M не выполняется, т.е. справедливо неравенство |x| < M. С помощью кванторов это можно записать так:

$$B=\left\{\exists M\;>\;0;\;\forall x\;\in\;X\;\rightarrow\;\left|x\right|\;\geq\;M\right\}\nonumber$$

$$\rceil B=\left\{\forall M\;>\;0;\;\exists x_M\;\in\;X\;\rightarrow\;\left|x_M\right|\;<\;M\right\}\nonumber$$


В этих примерах показано, что отрицание утверждения, содержащего кванторы ∀, ∃ и свойство P (в данных примерах это неравенства x < M и |x| ≥ M соответственно), получается заменой ∀ на ∃, ∃ на ∀ и свойства P — на его отрицание.


Рациональные числа и их свойства.

Рациональное число - такое число, которое можно записать в виде p/q, где p — целое число, q — натуральное число. В частности, любое целое число является рациональным, поскольку его можно записать в виде p = p/1. Например, 0 = 0/1, 1=1/1.

Пусть a = p/q, b = p1/q1 — два рациональных числа. Тогда правило упорядочения этих чисел определяется так:

  • если pq1 = qp1, то a = b;
  • если pq1 > qp1, то a > b;
  • если pq1 < qp1, то a < b;

а сумма и произведение чисел a и b определяется равенствами

$$a+b=\frac{pq_1+qp1}{qq_1},\;ab=\frac{pp_1}{qq_1}\nonumber$$

Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают свойствами:

  • коммутативности:

    $$a+b=b+a,\;ab=ba\nonumber$$

  • ассоциативности:

    $$(a+b)+c=a+(b+c),\;(ab)c=a(bc)\nonumber$$

  • дистрибутивности:

    $$a(b+c)=ab+ac\nonumber$$

  • для любого рационального числа a справедливы неравенства

    $$a+0=a,\;a\cdot1=a\nonumber$$

Операции вычитания и деления вводятся как обратные соответственно к операциям сложения и умножения:

  • (для любых рациональных чисел a, b существует (и притом единственное) число x такое, что

    $$b+x=a\nonumber$$

    это число называют разностью чисел a и b и обозначают a - b).

  • если b ≠ 0, то существует единственное число z такое, что

    $$bz=a\nonumber$$

    это число называют частным чисел a и b и обозначают a/b.

Отметим еще основные свойства неравенств для рациональных чисел:

  • если a > b и b > c, то a > c (транзитивность);
  • если a > b, то a + c > b +c при любом c;
  • если a > b и c > d, то a + c > b + d;
  • если a > b и c > 0, то ac > bc;
  • если a > b и c < 0, то ac < bc.

В дальнейшем, мы будем использовать следующие обозначения:

  • \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел;
  • \(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел;
  • \(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел.

В множестве \(\mathbb{Q}\) можно выполнять не только четыре арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первой степени. Однако, даже простейшие квадратные уравнения вида x2=a, где \(a\in\mathbb{N}\), не всегда разрешимы в множестве \(\mathbb{Q}\). Так например, уравнение x2=3 не имеет решений в множестве рациональных чисел \(\mathbb{Q}\).

Докажем, что решение данного уравнения \(\sqrt{3}\) не является рациональным числом.

Давайте предположим противное, т.е. что \(\sqrt{3}\) — рациональное число. Тогда по определению рациональных чисел можем записать его как несократимую (и это важно) дробь, т.е.:
$$
\sqrt{3}=\frac{p}{q},\qquad p\in\mathbb{Z},\;q\in\mathbb{N}\nonumber
$$
Возведем обе части в квадрат и преобразуем дробь. Получаем
$$
p^2=3q^2\nonumber
$$
Как видно из выражения, p2 делится на 3 без остатка. Если записать это «по-умному», то
$$
p^2\;\equiv\;0\;(\operatorname{mod}\; 3)\nonumber
$$
Но это означает, что также и само p2 делится на три без остатка. В самом деле, любое натуральное число можно разложить на простые множители. Запишем p следующим образом:
$$
p=p_0^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{x_n}\nonumber
$$
, где \(p_0,p_1,\ldots ,p_n\) — простые числа, а \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) — целые числа).

Тогда p2 можно записать так:

$$
p^2=p_0^{2x_0}\cdot p_1^{2x_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{2x_n}\nonumber
$$
Поскольку p2 делится на 3 целиком, то это значит, что в нашем разложении какое-то p= 3. А поскольку множество всех pi (i лежит в пределах от 0 до n включительно) образует множество всех делителей исходного p, то 3 также является делителем p. То есть мы можем записать, что:
$$
p=3\cdot k,\qquad k\in\mathbb{N}\nonumber
$$
То есть, если вернемся к одному из первых утверждений и заменим наше p, то получим:
$$
9\cdot k^2=3\cdot q^2\quad\Leftrightarrow\quad q^2=3\cdot k^2\nonumber
$$
Повторяя вышеизложенные рассуждения, получим, что q так же делится на 3, как и p. Предположим, что:
$$
q=3\cdot m,\qquad m\in\mathbb{N}\nonumber
$$
Таким образом:
$$
\frac{p}{q}=\frac{3\cdot k}{3\cdot m}=\frac{k}{m},\nonumber
$$
что противоречит первоначальному утверждению, что p/q — несократимая дробь. Следовательно, \(\sqrt{3}\) не является рациональным. \(\bullet\)

Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа x2=a, x3=a, где \(a\in\mathbb{N}\), приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) путем добавления к этому множеству новых элементов, называемых иррациональными числами.


Бесконечные десятичные дроби и их приближения.

а) Периодичные десятичные дроби. Известно, что любое рациональное число можно представить либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби. Например, рациональному числу 5/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,625, т.е. 5/8=0,625. Аналогично, рациональному числу −27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь −2,454545… = −2(45), т.е. −27/11 = −2(45).

Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь является. Для этого используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(a+aq+aq^2+...=\frac a{1-q},\;\left|q\right|<1\).

Например,

$$2,(45)=2+\frac2{45}+\frac2{45^2}+...=2+\frac{\displaystyle\frac{45}{100}}{1-{\displaystyle\frac1{100}}}=2+\frac{45}{99}=\frac{27}{11}\nonumber$$

Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 = 2,5(0) = 2,4(9).

Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью. с цифрой 0 в периоде.

б) Множество вещественных чисел. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида

$$\pm a_0,a_1a_2...a_n...\label{ref2}$$

Эта дробь определяется заданием знака + или , целого неотрицательного числа a0 и последовательности десятичных знаков a1, a2, …, an,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида \eqref{ref2} будем называть вещественным числом. Если перед дробью \eqref{ref2} стоит знак +, его обычно опускают и пишут

$$a_0,a_1a_2...a_n...\label{ref3}$$

Число вида \eqref{ref3} будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a0, a1, a2, …, an, … отлично от нуля — положительным вещественным числом. Число вида

$$-a_0,a_1a_2...a_n...\label{ref4}$$

где хотя бы одно из чисел a0, a1, a2,… отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.

Если a = a0,a1a2…an и b = −a0,a1a2…an, то число b называют противоположным числу a, а число a — противоположным числу b.

Если дробь \eqref{ref2} является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дробей вида \eqref{ref2} называют множеством вещественных чисел и обозначают \(\mathbb{R}\), а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают \(\mathbb{J}\).

Примеры иррациональных чисел.

$$a=0,1234567891011...\label{ref5}$$

Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные последовательно друг за другом, начиная с единицы.

$$b=27,1010010001000010...\label{ref6}$$

Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000 и т. д.

в) Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу \eqref{ref3} конечные десятичные дроби

$${\overline\alpha}_n=a_0,a_1a_2...a_n+\frac1{10^n},\quad\underline{\alpha}_n=a_{0,}a_1...a_n\nonumber$$

и будем называть их n-ми десятичными приближениями числа α=a0,a1a2…an соответственно с избытком и недостатком. Если α — отрицательное вещественное число вида \eqref{ref4}, то для него n-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами

$${\overline\alpha}_n=-a_0,a_1...a_n,\quad\underline{\alpha}_n=-a_0,a_1...a_n-\frac1{10^n}.\nonumber$$

Десятичные приближения найдут свое применение при определении арифметических операций на множестве \(\mathbb{R}\).


Сравнение вещественных чисел.

а) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных вещественных числа

$$\alpha=a_0,a_1a_2...a_n...\qquad\beta=b_0,b_1b_2...b_n...\nonumber$$

называют равными и пишут α = β при k = 0,1,2,…, т.е.

$$\left\{\alpha=\beta\right\}\Leftrightarrow\left\{a_k=b_k,\;k=0,1,2,...\right\}.\nonumber$$

Например,

$$\left\{\alpha=0\right\}\Leftrightarrow\left\{a_k=0,\;k=0,1,2,...\right\}.\nonumber$$

Дадим определение α < β и α > β. Говорят, что число α меньше числа β и пишут α < β, если либо a0 < b0, либо a0 = b0 и существует такой номер n, что a1 = b1, a2 = b2,…, an-1 = bn-1, но an < bn, т.е.

$$\left\{\alpha\;<\;\beta\right\}\;\Leftrightarrow\;\left\{a_0\;<\;b_0\right\}\vee\left\{\exists n\in\mathbb{N}:\;a_k=b_k,\;k=\overline{0,\;n-1};\;a_n\;<\;b_n\right\}.\nonumber$$

Запись \(k=\overline{0,\;n-1}\) означает, что равенство a= bk выполняется при значениях k от 0 до n-1 включительно, так что n — наименьший номер, для которого это неравенство не выполняется и имеет место неравенство an < bn. Аналогично,

$$\left\{\alpha\;>\;\beta\right\}\;\Leftrightarrow\;\left\{a_0\;>\;b_0\right\}\vee\left\{\exists n\in\mathbb{N}:\;a_k=b_k,\;k=\overline{0,\;n-1};\;a_n\;>\;b_n\right\}.\nonumber$$

Из определения равенства α = β и неравенств α < β и α > β следует, что для любых неотрицательных вещественных чисел α и β выполняется одно из трех условий: α = β, α < β, α > β.

Отметим, что для любого неотрицательного вещественного числа α справедливо неравенство α ≥ 0.

б) Сравнение произвольных вещественных чисел. Назовем модулем вещественного числа α вещественное число, обозначаемое символом |α|, представимое той же бесконечной дробью, что и α, но взятое со знаком +. Таким образом, если

$$\alpha=\pm a_0,a_1a_2...a_n...,\qquadто\qquad\left|\alpha\right|=a_0,a_1a_2...a_n...,\nonumber$$

откуда следует, что |α| — неотрицательное вещественное число при любом α.

Введем правило сравнения двух вещественных чисел α и β для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно.

Если α - неотрицательное, β - отрицательное число, то считают, что α > β.

Если оба числа α и β отрицательны, то будем считать, что:

  1. α = β, если |α| = |β|;
  2. α < β, если |α| > |β|.
Замечание 1.

Легко убедиться в том, что сформулированное правило сравнения вещественных чисел в применении к рациональным числам, записанным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и правило сравнения рациональных чисел (п.2), представленных в виде отношения целых чисел.

Замечание 2.

Если \(\underline{\alpha}_n\), \(\underline{\beta}_n\) — n-е приближение с недостатком, а \({\overline\alpha}_n\), \({\overline\beta}_n\) — n-е приближение с избытком чисел α и β соответственно, то из правила сравнения вещественных чисел следует, что:

  1. \(\underline{\alpha}_n\leq\alpha\leq{\overline\alpha}_n,\;\underline{\beta}_n\leq\beta\leqslant{\overline\beta}_n\) для любого n ∈ \(\mathbb{N}\);
  2. \(\alpha<\beta\Rightarrow\exists n:\;{\overline\alpha}_n<\underline{\beta_n}\).

в) Транзитивность правил сравнения. Докажем, что если α < β и β < γ, то α < γ. Ограничимся доказательством случая, когда сравниваются неотрицательные числа. Пусть

$$\begin{array}{l}\alpha=a_0,a_1a_2...a_n...\\\beta=b_0,b_1b_2...b_n...\\\gamma=c_0,c_1c_2...c_n...\end{array}\nonumber$$

Пусть p и m — наименьшие номера, для которых нарушаются соответственно равенства ak = bk и bk = ck (k = 0, 1, 2,…), и пусть, например p ≤ m. тогда p — наименьший номер, при котором нарушается равенство аk = ck и имеет место неравенство ap < cp. По правилу сравнения вещественных чисел отсюда следует, что α < γ.


Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами.

Лемма 1. Если α и β — вещественные числа, причем α < β, то найдется такое рациональное число r, что

$$\alpha < r < \beta\label{ref7}$$

Доказательство.

а) Пусть α и β — рациональные числа (α ∈ \(\mathbb{Q}\), β ∈ \(\mathbb{Q}\)). Тогда для них определены арифметические операции, и в качестве r можно взять число \(\frac{\alpha+\beta}2\), так как

$$\alpha\;<\;\frac{\alpha+\beta}2\;<\beta\nonumber$$

б) Пусть по крайней мере одно из чисел α, β является иррациональным. Будем считать, что β ∈ \(\mathbb{J}\). Предположим для определенности, что α ≥ 0 и что

$$\alpha=a_0,a_1a_2...a_n...\nonumber$$

Так как β > α и α ≥ 0, то β > 0. Пусть

$$\beta=b_0,b_1b_2...b_n...\nonumber$$

Пусть p — наименьший номер, при котором нарушается равенство ak = bk (k=0,1,2,…). Будем считать, что p > 0. Тогда

$$a_0=b_0,\qquad...,\qquad a_{p-1}=b_{p-1},\qquad a_p\;<\;b_p\label{ref8}$$

По условию β ∈ \(\mathbb{J}\), и, значит, β не может быть конечной десятичной дробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтому найдется номер номер, больший p (обозначим его p+m) и такой, что

$$b_{p+m}>0\label{ref9}$$

Покажем, что рациональное число r = a0,a1…ap-1bp…bp+m-1(0) удовлетворяет условию \eqref{ref7}. Из \eqref{ref8} следует, что α < r. Далее, r = b0,b1…bp+m-1(0) < b0,b1…bp+m-1bp+m в силу условия \eqref{ref9}, т.е. r < β. Итак, доказано, что α < r < β, причем r ∈ \(\mathbb{Q}\).


Следствие. Если α ∈ \(\mathbb{R}\), β ∈ \(\mathbb{R}\) и α < β, то

$$\exists r\;\in\;\mathbb{Q}\;\;\;\;\;\exists r^,\;\in\;\mathbb{Q}:\;\;\;\;\;\alpha\;<\;r\;<\;r^,\;<\;\beta\label{ref10}$$


Лемма 2. Пусть δ ∈ \(\mathbb{R}\), δ’ ∈ \(\mathbb{R}\) и пусть существуют такие последовательности рациональных чисел {xn} и {yn}, что для всех n ∈ \(\mathbb{N}\) справедливы неравенства

$$x_n\;\leq\;\delta\;\leq\;\delta^,\;\leq\;y_n,\label{ref11}$$

$$y_n-x_n\;\leq\frac1{10^n}.\label{ref12}$$

Тогда

$$\delta\;=\;\delta^,.\label{ref13}$$

Доказательство.

\(\circ\) Пусть равенство \eqref{ref13} не выполняется; тогда из условия \eqref{ref11} следует, что δ < δ’. В силу следствия леммы 1 существуют рациональные числа r и r’ , такие, что

$$\delta\;<\;r\;<\;r^,\;<\;\delta^,.\label{ref14}$$

Из \eqref{ref14} следует, что r’-r > 0, и поэтому

$$\exists m\in\mathbb{N}:\;\;\;\;\;r^,-r\;>\;\frac1{10^m}.\label{ref15}$$

Из \eqref{ref11} и \eqref{ref14} следует, что

$$x_n\;\leqslant\;\delta\;<\;r\;<\;r^,\;<\;\delta^,\;\leqslant\;y_n,\nonumber$$

откуда в силу транзитивности правила сравнения получаем

$$x_n\;<\;r\;<\;r^,\;<\;y_n.\label{ref16}$$

Используя неравенства \eqref{ref15}, \eqref{ref12}, \eqref{ref16} и свойства неравенств для рациональных чисел, получаем

$$\frac1{10^m}\;<\;r^,-r\;<\;y_n-x_n\;\leqslant\;\frac1{10^n},\nonumber$$

откуда следует, что

$$\frac1{10^m}\;<\;\frac1{10^n}.\label{ref17}$$

Неравенство \eqref{ref17} должно выполняться при фиксированном m ∈ \(\mathbb{N}\) и при любом n ∈ \(\mathbb{N}\). Однако, при n = m неравенство \eqref{ref17} не выполняется. Поэтому неравенство δ < δ’, не может иметь место, т.е. справедливо равенство \eqref{ref13}. \(\bullet\)


Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

Рассмотрим прямую l, выберем на ней начало отсчета (точку O) и масштабный отрезок OE длины 1. Числу 0 поставим в соответствие точку O, числу 1 — точку E, числу -1 — точку E’, симметричную точке E относительно точки O. Положительному числу α =a0,a1a2…an поставим в соответствие точку M, находящуюся справа от O на расстоянии α, а отрицательному числу β = b0,b1b2…bn — точку M’, находящуюся слева от O на расстоянии |β|.

Эта прямая называется числовой прямой или числовой осью. Из аксиом геометрии и свойств вещественных чисел следует, что между множеством вещественных чисел \(\mathbb{R}\) и числовой прямой l устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому вещественному числу соответствует единственная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует некоторое вещественное число. Поэтому будем в дальнейшем будем отождествлять множество \(\mathbb{R}\) с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа часто будем называть точками.

Условимся о следующих обозначениях для некоторых наиболее употребительных числовых множеств:

  1. отрезок [a, b] ={x: a ≤ x ≤ b};
  2. интервал (a, b) ={x: a < x < b};
  3. полуинтервалы [a, b) = {x: a ≤ x < b}, (a, b] = {x: a < x ≤ b}.

Точки a и b называют концами отрезка, интервала, полуинтервала (a — левым концом, b — правым концом), отрезок [a, b], интервал (a, b), полуинтервалы [a, b) и (a, b] называют конечными промежутками (или промежутками), а точки x такие, что a < x < b, — их внутренними точками.

Наряду с конечными промежутками рассматривают также бесконечные промежутки:

  • интервалы

$$\left(a,\;+\infty\;\right)=\left\{x:\;x\;>\;a\right\}\;и\;\left(-\infty,\;a\right)=\left\{x:\;x\;<\;a\right\};\nonumber$$

  • полуинтервалы

$$\left[a,\;+\infty\;\right)=\left\{x:\;x\;\geqslant\;a\right\},\qquad\left(-\infty,\;a\right]=\left\{x:\;x\;\leqslant\;a\right\};\nonumber$$

  • \(\left(-\infty,\;+\infty\right)=\left\{x:\;x\in\mathbb{R}\right\}\) — множество вещественных чисел.

Напомним, что если каждый элемент множества A является элементом множества B, то пишут AB или BA и говорят, что A является подмножеством множества B. Например, \(\mathbb{J}\;\in\;\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\;\in\;\mathbb{R}\).

Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B, называется объединением множеств A и B и обозначается AB.

Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B, называется пересечением множеств A и B и обозначается AB.

Отметим, что

$$\mathbb{J}\;\cup\;\mathbb{Q}\;=\;\mathbb{R},\qquad\mathbb{J}\;\cap\;\mathbb{Q}\;=\;\varnothing,\nonumber$$

где ∅ — пустое множество, т.е. множество, не содержащее элементов.