Определение детерминанта.
Мы будем говорить, что на множестве квадратных матриц порядка n задана числовая функция, если каждой матрице из этого множества сопоставлено некоторое число. Примерами могут служить две часто употребляемые функции:
- след матрицы — функция, сопоставляющая каждой квадратной матрице сумму ее диагональных элементов a_{11}+...+a_{nn};
- евклидова норма матрицы — функция, сопоставляющая каждой матрице квадратный корень из суммы квадратов всех ее элементов.
Во многих вопросах необходимо уметь определить, вырождена данная матрица или нет. При этом полезна такая функция от матрицы, которая равна нулю для вырожденных матриц, отлична от нуля для невырожденных и при этом сравнительно просто вычисляется. Для матриц второго и третьего порядка такими функциями являются их детерминанты, уже известные нам.
Определение
Числовая функция f на множестве всех квадратных матриц порядка n называется детерминантом (или определителем) порядка n, а ее значение на матрице A — детерминантом A, если она обладает следующими тремя свойствами.
- Какую бы строку матрицы мы ни взяли, функция является линейным однородным многочленом от элементов этой строки. Для i-й строки матрицы A это значит, что \tag{1} f(A)=h_{1}a_{i1}+h_{2}a_{i2}+...+h_{n}a_{in}, где h_{1},..., h_{n} — коэффициенты, не зависящие от элементов i-й строки a_{i1},..., a_{in}, но зависящие от остальных элементов матрицы.
- Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю.
- Значение функции на единичной матрице равно 1.
Детерминант матрицы A обозначается \mathbf{det}\,A или, если нужно выписать элементы матрицы, прямыми линиями по бокам матрицы.
Рекомендуем читателю проверить, что известные нам детерминанты второго и третьего порядков удовлетворяют приведенному определению. Для матрицы порядка 1, состоящей из одного элемента, детерминантом является этот элемент.
Когда определение состоит из условий, которым должен удовлетворять определяемый объект, заранее не ясно, выполнимы ли эти условия, то есть существует ли объект, им удовлетворяющий. Кроме того, если такой объект существует, то не ясно, однозначно ли он определен этими условиями. Ниже мы докажем существование и единственность детерминанта.
Мы докажем также, что для любой невырожденной матрицы детерминант отличен от нуля. Однако сначала необходимо изучить условия, определяющие детерминант.
Условие 1 выражает свойство линейности детерминанта по строке. Его равносильную формулировку дает следующее
Утверждение 1.
Функция f на множестве квадратных матриц порядка п обладает свойством линейности по строке тогда и только тогда, когда для каждой строки произвольной матрицы A выполнено следующее: если эта строка есть линейная комбинация \alpha \boldsymbol{p}+\beta \boldsymbol{q} строк \boldsymbol{p} и \boldsymbol{q}, то \tag{2} f(A)=\alpha f(A_{p})+\beta f(A_{q}), где матрицы A_{p} и A_{q} получены из A заменой этой строки на \boldsymbol{p} и \boldsymbol{q}.
Доказательство.
1^{\circ}. Пусть функция f обладает свойством линейности по строке (1). Если i-я строка A есть линейная комбинация \alpha \boldsymbol{p}+\beta \boldsymbol{q}, то при любом k элемент a_{i} этой строки равен \alpha p_{k}+\beta q_{k}, где p_{k} и q_{k} — соответствующие элементы строк \boldsymbol{p} и \boldsymbol{q}. Следовательно, f(A)=h_{1}(\alpha p_{1}+\beta q_{1})+...+h_{n}(\alpha p_{n}+\beta q_{n}). Группируя члены, мы получим f(A)=\alpha(h_{1}p_{1}+...+h_{n}p_{n})+\beta(h_{1}q_{1}+...+h_{n}q_{n}). Здесь h_{1},..., h_{n} не зависят от элементов i-й строки, и потому h_{1}p_{1}+...+h_{n}p_{n}=f(A_{p})\ и\ h_{1}q_{1}+...+h_{n}q_{n}=f(A_{q}). Таким образом, получено равенство (2).
2^{\circ}. Докажем обратное. Возьмем i-ю строку матрицы A и разложим ее в линейную комбинацию строк единичной матрицы a_{i1}\boldsymbol{e}_{1}+...+a_{in}\boldsymbol{e}_{n}. Последовательно применяя равенство (2), получаем отсюда f(A)=a_{i1}f(A_{1})+...+a_{in}f(A_{n}), где матрицы A_{1},..., A_{n} получены из A заменой i-й строки на соответствующую строку единичной матрицы. Они не зависят от элементов i-й строки A, а потому значения f на данных матрицах также не зависят от этих элементов. Утверждение доказано.
Сформулированное в утверждении 1 свойство также называют свойством линейности по строке и часто формулируют в виде двух отдельных утверждений.
\bullet Множитель, общий для всех элементов строки, может быть вынесен за знак детерминанта.
\bullet Если какая-либо из строк матрицы A есть сумма двух строк, то \mathbf{det}\,A равен сумме детерминантов матриц, получаемых из A заменой этой строки на каждое из слагаемых.
Разумеется, если строка матрицы представлена как линейная комбинация \alpha_{1}\boldsymbol{p}_{1}+...+\alpha_{s}\boldsymbol{p}_{s} любого числа s строк, то
\tag{3}\mathbf{det}\,A=\alpha_{1} \mathbf{det}\,A_{1}+...+\alpha_{s} \mathbf{det}\,A_{s},
где A_{1},..., A_{s} — матрицы, получаемые из A заменой рассматриваемой строки соответственно на \boldsymbol{p}_{1},..., \boldsymbol{p}_{s}.
Утверждение 2.
Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то детерминант матрицы не изменится.
Доказательство.
Пусть в матрице A мы заменили i-ю строку \boldsymbol{a}_{i} на строку \boldsymbol{a}_{i}+\lambda \boldsymbol{a}_{j},\ i \neq j. Тогда по свойству линейности детерминант полученной матрицы A' равен \mathbf{det}\,A'=\mathbf{det}\,A+\lambda \mathbf{det}\,A_{j}, где матрица A_{j} получается из A заменой i-й строки на j-ю. В эту матрицу строка \boldsymbol{a}_{j} входит дважды: на i-м и на j-м местах. Поэтому матрица вырожденная, и \mathbf{det}\,A_{j}=0. Итак, \mathbf{det}\,A=\mathbf{det}\,A'.
Утверждение 3.
Если две строки матрицы поменять местами, то ее детерминант умножится на (-1).
Доказательство.
Пусть матрица A' получается из A перестановкой i-й и j-й строк. Выполним следующую последовательность преобразований матрицы A, не меняющих детерминанта в силу утверждения 2:
A=\begin{Vmatrix}\vdots\\\boldsymbol{a}_{i}\\\vdots\\\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\end{Vmatrix} \rightarrow\begin{Vmatrix}\vdots\\\boldsymbol{a}_{i}+\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\\\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\end{Vmatrix}\rightarrow \begin{Vmatrix}\vdots\\\boldsymbol{a}_{i}+\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\\\boldsymbol{a}_{j}-\boldsymbol{a}_{i}-\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\vdots\\\boldsymbol{a}_{i}+\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\\-\boldsymbol{a}_{i}\\\vdots\end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix}\vdots\\\boldsymbol{a}_{j}\\\vdots\\-\boldsymbol{a}_{i}\\\vdots\end{Vmatrix}.
Детерминант последней матрицы равен детерминанту A и отличается только знаком от детерминанта матрицы A'.
Свойство, выраженное утверждением 3, носит название антисимметрии детерминанта по строкам.
Утверждение 4.
Пусть некоторая функция f на множестве квадратных матриц линейна по строкам, и для матриц, имеющих две одинаковые строки, ее значение равно нулю. Тогда на всех вырожденных матрицах ее значение равно нулю.
Доказательство.
Пусть A — произвольная вырожденная матрица. Если строк больше одной, и они линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация остальных. Допустим для определенности, что строка \boldsymbol{a}_{1} разложена по \boldsymbol{a}_{2},..., \boldsymbol{a}_{n} с коэффициентами \alpha_{2},..., \alpha_{n}. Тогда последовательно применяя формулу (2), получаем f(A)=\alpha_{2}f(A_{2})+...+\alpha_{n}f(A_{n}), где матрицы A_{2},..., A_{n} получены из A заменой первой строки на ее 2-ю,…, n-ю строки. Каждая из них имеет две одинаковых строки, и потому f(A_{i})=0,\ i=2,..., n. Отсюда f(A)=0, как и требовалось.
Единственность детерминанта.
Начнем с того, что с помощью известных нам свойств детерминанта вычислим детерминанты элементарных матриц.
Если матрица S_{1} получена из единичной умножением какой-либо строки на число \lambda \neq 0, то \mathbf{det}\,S_{1}=\lambda \mathbf{det}\,E=\lambda, согласно свойству линейности детерминанта по строке. Если матрица S_{2} получена из единичной матрицы прибавлением одной строки к другой, то из утверждения 2 видно, что \mathbf{det}\,S_{2}=\mathbf{det}\,E=1. Таким образом, имеет место
Утверждение 5.
Если существуют две функции d_{1} и d_{2} удовлетворяющие определению детерминанта, то для любой элементарной матрицы d_{1}(S)=d_{2}(S).
Кроме того, легко проверить, что для любой матрицы A и любой элементарной матрицы S выполнено равенство \tag{4}\mathbf{det}\,(SA)=\mathbf{det}\,S \mathbf{det}\,A.
Действительно, достаточно вспомнить, что SA получается из A тем же элементарным преобразованием, что и S из E. Отсюда для матриц первого типа \mathbf{det}\,(S_{1}A)=\lambda \mathbf{det}\,A. Поскольку \mathbf{det}\,S_{1}=\lambda, равенство (4) справедливо. Точно так же, для матриц второго типа \mathbf{det}\,(S_{2}A)=\mathbf{det}\,A и \mathbf{det}\,S_{2}=1.
Теперь может быть доказана
Теорема 1.
Доказательство.
Вместе с доказательством теоремы, мы получили важную формулу: если невырожденная матрица A разложена в произведение элементарных матриц, то \tag{5} \mathbf{det}\,A=\mathbf{det}\,S_{1}...\mathbf{det}\,S_{N}.
Отметим, что детерминант элементарной матрицы либо равен числу \lambda \neq 0, либо равен единице, то есть в любом случае отличен от нуля. Из равенства (5) тогда следует
Утверждение 6.
Если матрица невырожденная, то ее детерминант отличен от нуля.
Следствие.
Для того чтобы матрица была вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был равен нулю.
Существование детерминанта. Разложение по столбцу.
Минором матрицы называется детерминант какой-либо ее квадратной подматрицы. В частности, вводится
Определение.
Разумеется, говорить о дополнительном миноре имеет смысл только в том случае, если детерминант порядка n-1 существует.
Теорема 2.
Доказательство.
Докажем это методом полной индукции по порядку матрицы. Начало индукции трудностей не вызывает, так как мы знаем, что известные нам детерминанты второго и третьего порядка обладают нужными свойствами.Предположим теперь, что на множестве матриц порядка n-1 детерминант существует, и построим на множестве матриц порядка n функцию следующим образом. Фиксируем произвольно номер столбца j и произвольной матрице A порядка n сопоставим число \tag{6} f_{j}(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{kj}(-1)^{k+j} d_{kj}, где d_{kj} — дополнительный минор элемента a_{kj} в матрице A. Дополнительные миноры существуют в силу предположения индукции. Докажем, что функция (6) удовлетворяет трем условиям, входящим в определение детерминанта.
1. Выберем произвольную строку (пусть ее номер i) и покажем, что выражение в правой части формулы (6) есть линейный многочлен относительно элементов этой строки. В самом деле, при k=i слагаемое a_{ij}(-1)^{i+j} d_{ij} содержит элемент из i-й строки. Коэффициент при нем не зависит от элементов i-й строки, так как эта строка в подматрицу D_{ij} не входит. В остальных слагаемых (при i \neq k) множитель a_{kj} не принадлежит i-й строке, a d_{kj} — линейный многочлен от элементов i-й строки. Теперь свойство линейности по строке для функции f_{j} следует из того, что сумма линейных многочленов — линейный многочлен.
2. Докажем, что для вырожденных матриц f_{j} равна нулю. В силу утверждения 4 и уже доказанной линейности по строке для этого достаточно проверить, что f_{j}(A)=0 для произвольной матрицы, имеющей две одинаковые строки. Пусть в матрице A строки с номерами i и l одинаковы (l > i). Тогда в сумме (6) могут быть не равны нулю только два слагаемых, так как при k \neq i и k \neq l дополнительная подматрица D_{kj} содержит одинаковые строки, и потому минор d_{kj} равен нулю. Итак, f_{j}(A)=(-1)^{i+j}a_{ij}d_{ij}+(-1)^{l+j}a_{lj}d_{lj}.
Учтем, что a_{ij}=a_{lj} ввиду совпадения строк. Тогда \tag{7} f_{j}(A)=(-1)^{j}a_{ij}((-1)^{j}d_{ij}+(-1)^{l}d_{lj}).
Дополнительные подматрицы D_{ij} и D_{lj} состоят из одинаковых элементов, но отличаются порядком строк: в каждой из них осталась одна из двух одинаковых строк, но в D_{lj} она стоит на i-м месте, а в D_{ij} — на (l-1)-м. Переставим в матрице D_{ij} строку с номером l-1 на i-е место, не нарушая взаимное расположение остальных строк. Для этого меняем ее последовательно местами с (l-2)-й, (l-3)-й,…, i-й строками. Потребуется (l-2)-(i-1)=l-i-1 перестановок. Отсюда следует, что d_{ij}=(-1)^{l-i-1}d_{lg}. Подставив это в равенство (7), мы увидим, что f_{j}(A)=0.
3. Рассмотрим f_{j}(E), где E — единичная матрица порядка n. В этом случае в сумме (6) только одно ненулевое слагаемое f_{j}(E)=(-1)^{j+j}d_{jj}.
Но D_{jj}— единичная матрица порядка n-1, и ее детерминант равен 1. Отсюда f_{j}(E)=1, как и требовалось. Теорема доказана.
В силу теоремы 1 функции f_{j} при всех j совпадают, и мы можем написать:\tag{8} \mathbf{det}\,A=\sum_{k=1}^{n} a_{kj}(-1)^{k+j}d_{kj}.
Правая часть этой формулы — линейный многочлен от элементов j-ro столбца, следовательно, имеет место
Утверждение 7.
Детерминант обладает свойством линейности по столбцам.
Свойства детерминантов.
Используя формулу (8) разложения детерминанта по столбцу, мы можем найти коэффициенты в формуле (1).
Утверждение 8.
Каков бы ни был номер строки i, детерминант матрицы A порядка n вычисляется по формуле \tag{9} \mathbf{det}\,A=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}d_{ij}, где d_{ij} — дополнительный минор элемента a_{ij}.
Доказательство.
Для того чтобы найти коэффициент h_{j} при a_{ij} в формуле (1), сгруппируем все члены в этой формуле, кроме интересующего нас, и обозначим их сумму через q. Тогда \mathbf{det}\,A=h_{j}a_{ij}+q.
Аналогично мы можем преобразовать разложение по j-му столбцу: \mathbf{det}\,A=a_{ij}(-1)^{i+j}d_{ij}+r.
По определению h_{1} не зависит от элементов i-й строки, a q содержит все ее элементы кроме a_{ij}. Точно так же, при всех к в дополнительную подматрицу D_{kj} не входит j-й столбец, и, следовательно, d_{kj} не зависит от a_{ij}. В частности, d_{ij} не зависит от a_{ij}. Отсюда же видно, что и i не зависит от этого элемента.
Заметив это, обозначим через A_{0} матрицу, которая получена из матрицы A заменой элемента на 0, и увидим, что \mathbf{det}\,A_{0}=q и \mathbf{det}\,A_{0}=r. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы A_{1}, отличающейся от A заменой элемента a_{ij} на 1:\mathbf{det}\,A_{1}=h_{j}+r=(-1)^{i+j}d_{ij}+r.
Отсюда получается нужное значение для h_{j}.
Утверждение 9.
Для любой квадратной матрицы \mathbf{det}\,A=\mathbf{det}\,A^{T}.
Доказательство.
Для доказательства определим функцию от матрицы A равенством f(A)=\mathbf{det}\,A^{T}. По утверждению 7 эта функция линейна по столбцам A^{T}, то есть по строкам A. Если матрица A вырождена, то вырождена и A^{T} (согласно следствию из утверждения о разложении невырожденных матриц), и потому f(A)=\mathbf{det}\,A^{T}=0. Наконец, E^{T}=E, а значит, f(E)=\mathbf{det}\,E^{T}=\mathbf{det}\,E=1.
Таким образом, f удовлетворяет всем условиям в определении детерминанта, что и заканчивает доказательство.
Из утверждения 9 следует равноправность строк и столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно. Поэтому известные нам свойства детерминантов можно переформулировать для столбцов.
Утверждение 10.
Столбцы матрицы линейно зависимы, тогда и только тогда, когда матрица вырождена и детерминант ее равен нулю.
Если переставить два столбца матрицы, то ее детерминант умножится на (—1).
Если в матрице к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на число, то детерминант ее не изменится.
Утверждение 11.
Для любых двух квадратных матриц одного порядка \mathbf{det}\,AB=\mathbf{det}\,A \mathbf{det}\,B.
Если же матрица A порядка n вырождена, то \mathbf{Rg}\,A < n. Из доказанного нами ранее утверждения тогда следует \mathbf{Rg}\,AB < n. Значит, произведение AB также вырождено и \mathbf{det}\,AB равен нулю так же, как и \mathbf{det}\,A \mathbf{det}\,B.
Формула полного разложения детерминанта.
Здесь мы получим формулу полного разложения детерминанта порядка n, представляющую его как многочлен от элементов матрицы.
Введем предварительно некоторые определения. Мы будем называть перестановкой чисел 1,..., n эти числа, написанные в каком-либо определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2 образуются две перестановки: 1, 2 и 2, 1. Перестановку чисел 1,..., n обозначим i_{1},..., i_{n}.
Число i_{k} виновно в нарушении порядка в перестановке i_{1},..., i_{n}, если оно стоит левее меньшего числа: k < s, но i_{k} > i_{s} Например, при n-4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, а число 4 — в двух. Итак, общее число нарушений порядка в перестановке равно четырем. Число всех нарушений порядка в перестановке i_{1},..., i_{n} мы обозначим N(i_{1},..., i_{n}).
Перестановка называется четной, если N(i_{1},..., i_{n}) — четное число, и нечетной в противном случае.
Теорема.
Формула полного разложения детерминанта: \tag{10} \mathbf{det}\,\begin{Vmatrix}a_{11}&...& a_{1n}\\\cdots\\a_{n1}&...& a_{nn}\end{Vmatrix}=\sum_{(i_{1},..., i_{n})} (-1)^{N(i_{1},..., i_{n})} a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}...a_{ni_{n}}.
Сумма в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1,..., n соответствует слагаемое. Слагаемое для перестановки i_{1},..., i_{n}, составляют так: берут из 1-й строки i_{1}-й элемент, из 2-й строки — i_{2}-й элемент и т. д. и перемножают их. В результате в произведение входит по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок.
Доказательство.
Формулу (10) мы докажем по индукции. Пусть при n-2 дана матрица \begin{Vmatrix}a_{11}&...& a_{12}\\a_{21}&...& a_{22}\end{Vmatrix}.
Двум перестановкам 1, 2 и 2, 1 отвечают, соответственно, слагаемые (-1)^{N(1, 2)}a_{11}a_{22} и (-1)^{N(2, 1)}a_{12}a_{21} Их сумма равна a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} то есть как раз детерминанту данной матрицы.
Допустим, что формула верна для матриц порядка n-1, и докажем ее для произвольной матрицы A порядка n. Напишем разложение \mathbf{det}\,A по первой строке: \tag{11} \mathbf{det}\,A=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}a_{1k}d_{1k}.
В k-е слагаемое этого разложения входит множитель d_{1k}, равный детерминанту подматрицы D_{1k}. Порядок этой матрицы n-1, и по предположению индукции d_{1k}=\mathbf{det}\,D_{1k}=\sum_{i_{1},..., i_{n-1}} (-1)^{N(i_{1},..., i_{n-1})}a_{2i_{1}}a_{3i_{2}}...a_{ni_{n-1}}.
Здесь все номера i_{1},..., i_{n} отличны от k, а первые индексы у сомножителей равны 2,..., n, так как, сохраняя старые обозначения для элементов матрицы A, мы должны учесть, что в D_{1k} не входят первая строка и k-й столбец.
Теперь в k-м слагаемом формулы (11) можно внести множитель (-1)^{k+1}a_{1k} под знак суммы и записать это слагаемое так: (-1)^{k+1}a_{1k}d_{1k}=\sum_{i_{1},..., i_{n-1}} (-1)^{N(i_{1},..., i_{n-1})+k+1}a_{1k}a_{2i_{1}}a_{3i_{2}}...a_{ni_{n-1}}.
Числа k, i_{1},..., i_{n-1} образуют перестановку чисел 1,..., n, причем N(k, i_{1},..., i_{n-1})=N(i_{1},..., i_{n-1})+k-1, так как правее k стоит ровно k-1 чисел, меньших k. Следовательно, N(k, i_{1},..., i_{n-1}) имеет ту же четность, что и N(k, i_{1},..., i_{n-1})+k+1, и мы имеем (-1)^{k+1}a_{1k}d_{1k}=\sum_{i_{1},..., i_{n-1}} (-1)^{N(k,i_{1},..., i_{n-1})}a_{1k}a_{2i_{1}}a_{3i_{2}}...a_{ni_{n-1}}.
В правой части этого выражения собраны все те члены из суммы (10), которые соответствуют перестановкам, имеющим к на первом месте. В сумму (11) входят слагаемые для любого k, и потому сумма (11) содержит все члены суммы (10) и, конечно, не содержит никаких других членов. Этим формула полного разложения доказана.