Символ суммирования.
Прежде чем двигаться дальше, остановимся на обозначениях. В математике часто приходится рассматривать суммы большого числа слагаемых, имеющих сходный вид и отличающихся только индексами. Для таких сумм принято следующее обозначение. Символ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\), после которого стоит некоторое выражение, содержащее индекс \(k\), обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от 1 до \(n\), например,
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n},\ \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}\beta_{k}=\alpha_{1}\beta_{1}+…+\alpha_{n}\beta_{n}.\nonumber
$$
Индекс \(k\) называется индексом суммирования. Разумеется, в качестве индекса суммирования может быть употреблена любая другая буква. На указанный символ и следующее за ним выражение можно смотреть как на скобку, содержащую \(n\) однотипных слагаемых.
Следующие формулы являются другой записью вынесения множителя за скобку и группировки слагаемых:
$$
\sum_{k=1}^{n} \alpha P_{k}=\alpha \sum_{k=1}^{n} P_{k},\label{ref1}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} (P_{k}+Q_{k})=\sum_{k=1}^{n} P_{k}+\sum_{k=1}^{n} Q_{k}.\label{ref2}
$$
Если имеется выражение, зависящее от двух индексов, принимающих значения \(1,…, n\) и \(1,…, m\), мы можем просуммировать сначала по одному из них, а затем полученные суммы — по-другому:
$$
\sum_{i=1}^{n} (\sum_{j=1}^{m} P_{ij}).\nonumber
$$
(Скобки обычно не пишутся.) Эта двойная сумма содержит слагаемые, соответствующие всевозможным парам значений индексов. Если мы запишем \(P_{ij}\) для всех \(i=1,…, n\) и \(j=1,…, m\) в виде матрицы, то сумма в скобках равна сумме элементов \(i\)-й строки, а во внешней сумме складываются результаты для всех строк.
То же самое число мы, конечно, получим, если сначала сложим элементы по столбцам, а затем просуммируем полученные суммы для всех столбцов. Поэтому
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} P_{ij}=\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} P_{ij}.\label{ref3}
$$
Определение и примеры.
Рассмотрим сначала строку \(\boldsymbol{a}\) с элементами \(a_{i}\ i=1,…, n\) и столбец \(\boldsymbol{b}\) с элементами \(b_{j}\ j=1,…, n\). Существенно, что в \(\boldsymbol{a}\) и в \(\boldsymbol{b}\) число элементов одинаково. Произведением \(\boldsymbol{a}\) на \(\boldsymbol{b}\) называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами, то есть
$$
\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+…+a_{b}b_{n}.\nonumber
$$
Пусть теперь дана матрица \(A\) размеров \(m \times n\) и матрица \(B\) размеров \(n \times p\). Матрицы таковы, что длина строки (число столбцов) первой матрицы равна высоте столбца (числу строк) второй. Умножим каждую строку \(A\) на каждый столбец \(B\). Полученные \(mp\) произведений запишем в виде матрицы \(C\) размеров \(m \times p\). Именно, каждый столбец \(C\) составим из произведений всех строк \(A\) на соответствующий столбец матрицы \(B\). Любая строка \(C\) состоит из произведений строки \(A\), имеющей тот же номер, на все столбцы \(B\). Таким образом, элементы матрицы \(C\) для всех \(i=1,…, m\) и \(j=1,…, p\) равны
$$
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}.\label{ref4}
$$
Определение.
Определение произведения матриц формулируется более сложно и выглядит менее естественно, чем определение суммы. Однако из дальнейшего читатель увидит, что именно такое определение оказывается полезным в целом ряде вопросов.
Как легко заметить, если матрицу \(B\) записать как строку из столбцов, то произведение \(AB\) запишется как строка из столбцов так:
$$
AB=A \begin{Vmatrix} \boldsymbol{b}_{1}&…& \boldsymbol{b}_{p}\\ \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} A\boldsymbol{b}_{1}&…& A\boldsymbol{b}_{p}\\ \end{Vmatrix}.\label{ref5}
$$
Действительно, для получения \(j\)-гo столбца произведения мы умножаем последовательно все строки \(A\) на столбец \(\boldsymbol{b}_{j}\).
Аналогично, строки \(AB\) — произведения строк \(A\) на матрицу \(B\):
$$
AB=\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}\\
\vdots\\
\boldsymbol{a}_{m}
\end{Vmatrix}\ B=\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}B\\
\vdots\\
\boldsymbol{a}_{m}B
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Приведем несколько примеров.
Пример 1.
$$
A\boldsymbol{x}=\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}&…& a_{n}^{1}\\
a_{1}^{2}&…& a_{n}^{2}\\
\cdots\\
a_{1}^{m}&…& a_{n}^{m}
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
x^{1}\\
x^{2}\\
\vdots\\
x^{m}
\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}x^{1}+…+a_{n}^{1}x^{n}\\
a_{1}^{2}x^{1}+…+a_{n}^{2}x^{n}\\
\cdots\\
a_{1}^{m}x^{1}+…+a_{n}^{m}x^{n}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Это столбец высоты \(m\). В обратном порядке эти матрицы при \(m \neq 1\) перемножить нельзя: произведение \(\boldsymbol{x}A\) не определено. Правую часть последнего равенства можно записать также и как линейную комбинацию столбцов матрицы \(A\) (пример здесь). Это показывает, что столбец \(A\boldsymbol{x}\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(A\) с коэффициентами, равными элементам столбца \(\boldsymbol{x}\):
$$
A\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{a}_{1}+…+x_{n}\boldsymbol{a}_{n}.\nonumber
$$
Пример 2.
$$
\begin{Vmatrix}
x_{1}&…& x_{m}
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
b_{1}^{1}&…& b_{n}^{1}\\
b_{1}^{2}&…& b_{n}^{2}\\
\cdots\\
b_{1}^{m}&…& b_{n}^{m}
\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}
\sum_{i=1}^{m} x_{i}b_{1}^{i}&…& \sum_{i=1}^{m} x_{i}b_{n}^{i}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Пример 3.
$$
\begin{Vmatrix}
x^{1}\\
x^{2}\\
\vdots\\
x^{m}
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
a_{1}&…& a_{n}
\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}
x^{1}a_{1}& x^{1}a_{2}&…& x^{1}a_{n}\\
x^{2}a_{1}& x^{2}a_{2}&…& x^{2}a_{n}\\
\cdots\\
x^{m}a_{1}& x^{m}a_{2}&…& x^{m}a_{n}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Пример 4.
$$
\boldsymbol{e}_{i}^{T}\ A\boldsymbol{e}_{j}=\begin{Vmatrix}
0&…& 1&…& 0
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
a_{11}&…& a_{1n}\\
a_{21}&…& a_{2n}\\
\cdots\\
a_{m1}&…& a_{mn}
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{Vmatrix}=a_{ij}.\nonumber
$$
Утверждение 1.
\(j\)-й столбец матрицы \(AB\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(A\) с коэффициентами равными элементам \(j\)-го столбца матрицы \(B\).
\(i\)-я строка матрицы \(AB\) есть линейная комбинация строк матрицы \(B\) с коэффициентами, равными элементам \(i\)-й строки матрицы \(A\).
Доказательство.
Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем первое. Мы видели, что \(i\)-й столбец произведения есть произведение \(A\) на \(i\)-й столбец \(B\) (формула \eqref{ref5}). Но произведение матрицы \(A\) на столбец — это линейная комбинация столбцов \(A\) с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов (пример 1).
Свойства умножения матриц.
Умножение матриц не коммутативно. Если \(A\) матрица размеров \(m \times n\), то оба произведения \(AB\) и \(BA\) определены только в том случае, когда \(B\) имеет размеры \(n \times m\), то есть такие же, как \(A^{T}\). При этом \(AB\) — квадратная матрица порядка \(m\), а \(BA\) — порядка \(n\). Итак, о равенстве \(AB=BA\) может идти речь, только если \(A\) и \(B\) — квадратные матрицы одного порядка. Но и в этом случае равенство выполнено далеко не всегда. Например,
$$
\begin{Vmatrix}
1& 1\\
0& 0
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
0& 0\\
1& 1
\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}
1& 1\\
0& 0
\end{Vmatrix},\
\begin{Vmatrix}
0& 0\\
1& 1
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
1& 1\\
0& 0
\end{Vmatrix} =
\begin{Vmatrix}
0& 0\\
1& 1
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Если какие-нибудь две матрицы \(A\) и \(B\) удовлетворяют равенству \(AB=BA\), то они называются перестановочными. Перестановочные матрицы существуют. Например, единичная матрица порядка \(n\) перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка:
$$
AE=EA=A.\label{ref6}
$$
Вообще, если определены произведения \(BE\) и \(EC\), то
$$
BE=B\ \mbox{и}\ EC=C.\nonumber
$$
Равенства \eqref{ref6} выражают важное свойство единичной матрицы, которому она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь другая матрица \(E’\) обладала этим свойством, мы имели бы \(E’E=E\) и \(E’E=E’\), откуда следовало бы \(E=E’\).
Очевидно, что произведение нулевой матрицы \(O\) (справа или слева) на любую другую матрицу равно нулевой матрице:
$$
AO=O’,\ OB=O″.\nonumber
$$
(Размеры матриц \(O\), \(O’\) и \(O″\), возможно, различны.)
Утверждение 2.
Умножение матриц ассоциативно, то есть если определены произведения \(AB\) и \((AB)C\), то определены \(BC\) и \(A(BC)\), и выполнено равенство \((AB)C=A(BC)\).
Доказательство.
Действительно, пусть размеры матриц \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно равны \(m_{A} \times n_{A}\), \(m_{B} \times n_{B}\) и \(m_{C} \times n_{C}\). Если \(AB\) определено, то \(n_{A}=m_{B}\), и матрица \(AB\) имеет размеры \(m_{A} \times n_{B}\). Поэтому, если определено \((AB)C\), то \(n_{B} \times m_{C}\). Матрица \(AB\) состоит из элементов
$$
\sum_{k=1}^{n_{A}} a_{ik}b_{kl} (i=1,…, m_{A};\ l=1,…, n_{B})\nonumber
$$
и, следовательно, элементы \((AB)C\) имеют вид
$$
\sum_{l=1}^{n_{B}} \left(\sum_{k=1}^{n_{A}} a_{ik}b_{kl}\right) c_{ls}\ (i=1,…, m_{A};\ s=1,…, n_{C}).\label{ref7}
$$
Поскольку \(n_{B}=m_{C}\), определено произведение \(BC\). Его элементы
$$
\sum_{l=1}^{n_{B}} b_{kl}c_{ls} (k=1,…, m_{B};\ s=1,…, n_{C}).\nonumber
$$
Так как \(n_{A}=m_{B}\), определено произведение \(A(BC)\) с элементами
$$
\sum_{k=1}^{n_{A}} a_{ik} \left(\sum_{l=1}^{n_{B}} b_{kl}c_{ls}\right)\ (i=1,…, m_{A};\ s=1,…, n_{C}).\label{ref8}
$$
В силу формул \eqref{ref1} и \eqref{ref3} выражения \eqref{ref7} и \eqref{ref8} совпадают, и наше утверждение доказано.
Утверждение 3.
Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению: если имеет смысл выражение \(A(B+C)\), то \(A(B+C)=AB+AC\), если имеет смысл выражение \((B+C)A\), то \((B+C)A=BA+CA\).
Доказательство.
Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую из них. Очевидно, что \(B\) и \(C\) должны иметь одинаковые размеры \(m \times n\), а \(A\) — размеры \(p \times m\) (\(p\) может быть любым). Выпишем элементы матрицы \(A(B+C)\) через элементы \(A\), \(B\) и \(C\):
$$
\sum_{i=1}^{m} a_{si}(b_{ij}+c_{ij})\ (s=1,…, p;\ j=1,…, n).\nonumber
$$
Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены:
$$
\sum_{i=1}^{m} a_{si}b_{ij}+\sum_{i=1}^{m} a_{si}c_{ij}.\nonumber
$$
Эти суммы равны элементам матриц \(AB\) и \(AC\), стоящим в строке с номером \(s\) и столбце с номером \(j\). Утверждение доказано.
Утверждение 4.
Если произведение \(AB\) определено, то при любом числе \(\alpha\)
$$
\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B).\nonumber
$$
Доказательство.
Доказательство стледует из формулы \eqref{ref1}
Утверждение 5.
Если определено произведение \(AB\), то определено и произведение \(B^{T}A^{T}\) и выполнено равенство
$$
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.
$$
Доказательство.
Пусть матрицы \(A\) и \(B\) имеют, соответственно, размеры \(m \times n\) и \(n \times p\). В матрице \(AB\) на пересечении \(i\)-й строки и \(j\)-то столбца стоит элемент
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}\ (i=1,…, m;\ j=1,…, p).\label{ref9}
$$
\(j\)-я строка матрицы \(B^{T}\) состоит из элементов \(b_{1j},…, b_{nj}\), а \(i\)-й столбец матрицы \(A^{T}\) — из элементов \(a_{i1},…, a_{1n}\). Поэтому произведение \(B^{T}A^{T}\) определено, и в нем на пересечении \(j\)-й строки и \(i\)-ro столбца стоит элемент
$$
\sum_{k=1}^{n} b_{kj}a_{ik}\ (j=1,…, p;\ i=1,…, m).\nonumber
$$
Он совпадает с элементом \eqref{ref9}, а индексы \(i\) и \(j\) принимают в обоих выражениях одни и те же значения. Этим предложение доказано.
Последовательно применяя доказанную формулу, мы получим
$$
(A_{1}A_{2}…A_{k})^{T}=A_{k}^{T}…A_{2}^{T}A_{1}^{T}.\nonumber
$$
Элементарные преобразования. Элементарные матрицы.
В этом пункте впервые появляются элементарные преобразования матриц. Они играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях.
Определение.
Мы назовем элементарными преобразованиями строк матрицы следующие преобразования:
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление одной строки к другой строке.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Все, сказанное ниже об элементарных преобразованиях строк, переносится на элементарные преобразования столбцов.
Следующие более сложные преобразования получаются последовательным применением нескольких элементарных преобразований:
- прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, в частности, вычитание одной строки из другой;
- перестановка двух строк.
Покажем, как эти преобразования сводятся к элементарным на примере матрицы, состоящей из двух строк \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\). Если в матрице есть еще строки, не участвующие в преобразованиях, они переписываются без изменения:
- \(\begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \alpha\boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \alpha\boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b}+\alpha\boldsymbol{a} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b}+\alpha\boldsymbol{a} \end{Vmatrix}\);
- \(\begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{b} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{b} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{b} — \boldsymbol{a} — \boldsymbol{b}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\ -\boldsymbol{a} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \boldsymbol{b}\\ -\boldsymbol{a} \end{Vmatrix} \rightarrow \begin{Vmatrix} \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{a} \end{Vmatrix}\).
Эти два типа преобразований также часто относят к числу элементарных. При описании длинных последовательностей элементарных преобразований мы будем включать в последовательность преобразования этих двух типов, не разлагая их на элементарные.
Возможность вычитать одну строку из другой и отличие числового множителя от нуля имеют следующее принципиальное значение: элементарные преобразования обратимы. Это значит, что перейдя от матрицы \(A\) к матрице \(B\) последовательностью элементарных преобразований, с помощью другой последовательности мы сможем вернуться от \(B\) к \(A\).
Каждое элементарное преобразование строк матрицы \(A\) размеров \(m \times n\) равносильно умножению \(A\) слева на некоторую квадратную матрицу \(S\) порядка \(m\). При этом \(S\) не зависит от \(A\), а полностью определяется преобразованием, которое она осуществляет.
Именно, пусть \(S_{1}\) — матрица, получаемая из единичной матрицы \(E\) порядка \(m\) заменой \(i\)-й единицы на диагонали на число \(\lambda \neq 0\). Тогда матрица \(S_{1}A\) отличается от \(A\) тем, что ее \(i\)-я строка умножена на \(\lambda\). Пусть \(S_{2}\) — матрица, которая отличается от \(E\) заменой на единицу нулевого элемента на пересечении \(i\)-й строки и \(j\)-ro столбца. Умножение \(А\) слева на \(S_{2}\) равносильно прибавлению \(j\)-й строки к \(i\)-й. Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем второе.
Рассмотрим строку матрицы \(S_{2}A\) с номером \(k \neq i\). Согласно утверждению 1, эта строка — линейная комбинация строк \(A\) с коэффициентами равными элементам \(k\)-й строки \(E\). Это значит, что в линейную комбинацию входит (с коэффициентом 1) только \(k\)-я строка \(A\), и потому \(k\)-я строка \(S_{2}A\) равна \(k\)-й строке \(A\). Для \(i\)-й строки положение другое: в линейную комбинацию входят \(i\)-я и \(j\)-я строки с коэффициентами 1. Значит, \(i\)-я строка \(S_{2}A\) равна сумме \(i\)-й и \(j\)-й строк \(A\).
Пример 5.
\begin{Vmatrix}
1& 0\\
0& \lambda
\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix}
a& b\\
c& d
\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}
a& b\\
\lambda c& \lambda d
\end{Vmatrix},\nonumber
$$
$$
\begin{Vmatrix}
1& 0\\
1& 1
\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix}
a& b\\
c& d
\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}
a& b\\
c+a& d+b
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Те матрицы, умножение на которые осуществляет элементарные преобразования, называются элементарными матрицами.
Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований строк осуществляется умножением слева на произведение соответствующих элементарных матриц, причем множитель, который соответствует преобразованию, сделанному позже, стоит левее.
Легко найти матрицу \(S\), умножение на которую производит заданную последовательность элементарных преобразований строк: надо осуществить эту последовательность элементарных преобразований над единичной матрицей. Это видно из равенства \(SE=S\).
Элементарные преобразования столбцов сводятся к умножению матриц аналогично. Разница состоит в том, что множители помещаются справа, а не слева от преобразуемой матрицы, и эти множители получаются из единичной матрицы подходящего порядка элементарными преобразованиями ее столбцов, а не строк.
Вырожденные и невырожденные матрицы.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая нулевую строку, или матрица, имеющая две одинаковых строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица (предложение 2 § 1).
Утверждение 6.
Элементарные преобразования строк переводят линейно независимые строки в линейно независимые, а линейно зависимые — в линейно зависимые. Точно так же при элементарных преобразованиях столбцов сохраняются линейная зависимость и независимость столбцов.
Доказательство.
Докажем это предложение для строк. Пусть строки \(\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2},…, \boldsymbol{a}_{n}\) линейно независимы, и мы прибавили, допустим, первую строку ко второй. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученных строк, равную нулевой строке:
$$
\alpha_{1}\boldsymbol{a}_{1}+\alpha_{2}(\boldsymbol{a}_{1}+\boldsymbol{a}_{2})+…+\alpha_{n}\boldsymbol{a}_{n}=(\alpha_{1}+\alpha_{2})\boldsymbol{a}_{1}+\alpha_{2}\boldsymbol{a}_{2}+…+\alpha_{n}\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{o}.
$$
Так как исходные строки линейно независимы, \(\alpha_{1}+\alpha_{2}=0, \alpha_{2}=0,…, \alpha_{n}=0\). Отсюда следует, что \(\alpha_{1}\) также нуль, и система строк, полученная прибавлением одной строки к другой, линейно независима. Сохранение линейной независимости системы строк при умножении \(i\)-й строки на число \(\lambda \neq 0\) доказывается аналогично.
Пусть теперь строки линейно зависимы. Вспомним, что последовательности элементарных преобразований обратимы. Если мы из линейно зависимой системы строк с помощью элементарных преобразований получили линейно независимую, то обратный переход должен переводить линейно независимую систему в линейно зависимую, что невозможно.
Доказательство предложения для столбцов не отличается от приведенного.
Следствие.
Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу — в вырожденную.
Утверждение 7.
Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные преобразования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками.
Доказательство.
Матрица \(A=\begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}_{1},…, \boldsymbol{a}_{n} \end{Vmatrix}\) после элементарного преобразования строк переходит в матрицу \(SA\), где \(S\) — соответствующая элементарная матрица. Столбцами матрицы \(SA\) будут \(S\boldsymbol{a}_{1},…, S\boldsymbol{a}_{n}\). Пусть в матрице \(A\) столбцы связаны линейной зависимостью \(\alpha_{1}\boldsymbol{a}_{1}+…+\alpha_{n}\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{o}\). Умножая это равенство на \(S\), мы получаем точно такую же зависимость между столбцами преобразованной матрицы: \(\alpha_{1}S\boldsymbol{a}_{1}+…+\alpha_{n}S\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{o}\).
Доказательство для элементарных преобразований столбцов аналогично.
Утверждение 8.
Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу.
Доказательство.
Пусть дана невырожденная квадратная матрица \(A\) порядка \(n\). Обозначим ее строки \(\boldsymbol{a}_{1},…, \boldsymbol{a}_{n}\). В первой строке обязательно есть элемент, отличный от нуля, так как в противном случае матрица имела бы строку из нулей и была бы вырожденной. Пусть этот элемент имеет номер \(s_{1}\), то есть расположен в \(s_{1}\)-м столбце. Разделим первую строку на этот элемент. В преобразованной матрице элемент в позиции \((1, s_{1})\) будет равен 1. После этого для всех \(i=2,…, n\) вычтем из \(i\)-й строки первую строку, умноженную на \(a_{is_{1}}\). Так преобразованную матрицу обозначим \(A^{(1)}\). Ее \(s_{1}\)-й столбец — это первый столбец единичной матрицы: все его элементы равны нулю, за исключением первого элемента, равного 1.
С каждой из остальных строк будем поступать таким же образом. Пусть после очередного преобразования получена матрица \(A^{(k)}\), у которой столбцы с номерами \(s_{1},…, s_{k}\) — первые к столбцов единичной матрицы; \((k+1)\)-я строка матрицы \(A^{(k)}\) отлична от нуля, так как \(A^{(k)}\) получена элементарными преобразованиями из \(A\) и, следовательно, не вырождена. При этом элементы строки с номерами \(s_{1},…, s_{k}\) — нули, а значит, не равен нулю другой элемент. Пусть его номер Делим строку на него и вычитаем ее с подходящими множителями из остальных так, чтобы превратить \(s_{k+1}\)-й столбец в \(k+1\)-й столбец единичной матрицы. Получается матрица \(A^{(k+1)}\).
После того, как будет произведена последовательность преобразований с \(n\)-й строкой, все столбцы полученной матрицы \(A^{(n)}\), будут различными столбцами единичной матрицы (1-й, 2-й,…, \(n\)-й столбцы единичной матрицы стоят на местах \(s_{1},…, s_{n}\)). Одновременно строки \(A^{(n)}\) являются различными строками единичной матрицы (при всех \(i\) в \(i\)-й строке на \(s_{i}\)-м месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю). Переставляя строки, мы можем расположить их в естественном порядке. Это закончит преобразование исходной матрицы \(A\) в единичную при помощи элементарных преобразований строк.
Метод преобразования матрицы, примененный при доказательстве, называется методом Гаусса, точнее “методом Гаусса-Жордана с выбором ведущего элемента по строке”. Различные варианты метода Гаусса широко применяются в вычислительной практике.
Утверждение 9.
Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц.
Доказательство.
В силу утверждения 8 найдутся такие элементарные матрицы \(T_{1},…, T_{M}\), что
$$
T_{M}… T_{1}\ A=E.\label{ref10}
$$
Так как последовательности элементарных преобразований обратимы, существуют элементарные матрицы \(S_{1},…, S_{N}\), для которых
$$
S_{1}S_{2}… S_{N}E=A.\nonumber
$$
Отбрасывая множитель \(E\), мы получаем требуемое разложение.
Обратно, последняя формула показывает, что произведение элементарных матриц получается элементарными преобразованиями строк из единичной матрицы, которая невырождена. Поэтому, согласно следствию из утверждения 6 оно невырождено.
Утверждение 10.
Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена.
Доказательство.
Действительно, элементарными преобразованиями строк мы превращаем невырожденную матрицу в единичную, столбцы которой линейно независимы. По предложению 7 столбцы исходной матрицы также должны быть линейно независимы. Обратно, пусть столбцы матрицы \(A\) линейно независимы. Это значит, что транспонированная матрица \(A^{T}\) невырождена, и по предыдущему ее столбцы — строки матрицы \(A\) — линейно независимы.
Иначе утверждение 10 можно сформулировать так.
Следствие.
Матрица \(A\) невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная \(A^{T}\).
Обратная матрица.
Определение.
Вспомним, что две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица.
Утверждение 11.
Если у матрицы \(A\) существует обратная, то она единственна.
Доказательство.
Это легко проверяется от противного. Допустим, что их нашлось две: \(X_{1}\) и \(X_{2}\). Тогда \(X_{1}=X_{1}(AX_{2})=(X_{1}A)X_{2}=X_{2}\).
Утверждение 12.
Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.
Доказательство.
Вернемся к формуле \eqref{ref10} и объединим в ней все элементарные матрицы в один множитель \(X\). Мы можем утверждать таким образом, что для любой невырожденной матрицы \(A\) существует матрица \(X\) такая, что \(XA=E\). Докажем, что \(X\) удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы. Для этого заметим, что \(X\) невырождена как произведение элементарных матриц, и потому для нее существует такая матрица \(Y\), что \(YX=E\). Рассмотрим произведение \(Y(XA)=Y\). При другой расстановке скобок мы видим, что \((YX)A=A\). Поэтому \(Y=A\), и равенство \(YX=E\) переписывается как \(AX=E\).
Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица \(A\) вырождена, то есть существует нулевая линейная комбинация ее строк \(\lambda_{1}\boldsymbol{a}_{1}+…+\lambda_{n}\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{o}\), причем \(\lambda_{1}^{2}+…+\lambda_{n}^{2} \neq 0\). Тогда согласно утверждению 1 произведение ненулевой строки \(\boldsymbol{v}=\begin{Vmatrix} \lambda_{1},…, \lambda_{n} \end{Vmatrix}\) на матрицу \(A\) — нулевая строка: \(\boldsymbol{v}A=\boldsymbol{o}\). Если матрица \(A\) имеет обратную \(X\), мы можем умножить на \(X\) справа обе части этого равенства: \(\boldsymbol{v}AX=\boldsymbol{o}X\). Таким образом, \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{o}\), что противоречит определению \(\boldsymbol{v}\). Это заканчивает доказательство.
Обратную к матрице \(A\) принято обозначать \(A^{-1}\). На символ —1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы \(A\) целая положительная степень \(A^{k}\) определяется как произведение матрицы \(A\) самой на себя к раз. Положительная степень \((A^{-1})^{k}\) матрицы \(A^{-1}\) считается отрицательной степенью \(A^{-k}\) матрицы \(A\). По определению нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка. При этом определении для невырожденной матрицы \(A^{k}A^{l}=A^{k+l}\) при любых целых \(k\) и \(l\).
Получим основные свойства обратной матрицы.
Свойство 1.
Из определения прямо видно, что \((A^{-1})^{-1}=A\).
Свойство 2.
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), так как
$$
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=E.\nonumber
$$
Свойство 3.
Из \(A^{-1}A=E\), получаем \(A^{T}(A^{-1})^{T}=E\). Поэтому \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\).
Опишем способ вычисления обратной матрицы. Именно, если элементарными преобразованиями строк мы обратим матрицу \(A\) в единичную, то те же преобразования переведут единичную матрицу в матрицу \(A^{-1}\), так как для соответствующих элементарных матриц из формулы \eqref{ref10} имеем \(T_{M}… T_{1}E=T_{M}… T_{1}=A^{-1}\).
Эти вычисления могут быть оформлены так: составим матрицу \(D\) размеров \(n \times 2n\), приписав к матрице \(A\) справа единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк преобразуем \(D\) так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда правая половина превратится в матрицу \(A^{-1}\).
Теорема 1.
Пусть \(A\) — невырожденная матрица порядка \(n\). Тогда любой столбец высоты \(n\) раскладывается по столбцам \(A\), причем коэффициенты разложения однозначно определены.
Доказательство.
Действительно, если матрица \(A\) невырождена, то у нее существует обратная, и мы можем написать равенство \(\boldsymbol{b}=AA^{-1}\boldsymbol{b}\). Из него видно, что столбец \(\boldsymbol{b}\) получается умножением матрицы \(A\) на столбец \(A^{-1}\boldsymbol{b}\) и, следовательно, является линейной комбинацией столбцов матрицы \(A\).
Для доказательства последнего утверждения достаточно вспомнить, что столбцы невырожденной матрицы линейно независимы, и сослаться на ранее доказанное утверждение.
Применяя теорему 1 к транспонированной матрице, мы получаем
Следствие.
Пусть \(A\) — невырожденная матрица порядка \(n\). Тогда любая строка длины \(n\) раскладывается по строкам \(A\), причем коэффициенты разложения однозначно определены.