Определение ранга матрицы.
Определение
Пусть в матрице A существует линейно независимая система из r строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы A равен r. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.
Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен r_{1}, если есть линейно независимая система из r_{1} столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.
Утверждение 1.
Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка r.
Доказательство.
1^{\circ}. Пусть r строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольную подматрицу порядка r, расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейно зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, и подматрица является вырожденной.
2^{\circ}. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если она не нулевая. В этом случае она содержит ненулевой элемент, составляющий невырожденную подматрицу порядка 1.
Пусть теперь даны r линейно независимых строк. Первые r-1 из них также линейно независимы, и по предположению индукции содержат невырожденную подматрицу порядка r-1. Пусть j_{1},..., j_{r-1} — номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок r-й строки, расположенный под подматрицей, то есть составленный из элементов с номерами j_{1},..., j_{r-1}. По следствию из ранее доказанной теоремы этот отрезок раскладывается в линейную комбинацию строк подматрицы. Коэффициенты этой линейной комбинации обозначим \alpha_{1},..., \alpha_{r-1}.
Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами \alpha_{1},..., \alpha_{r-1}. Это обратит в нуль j_{1},..., j_{r-1}-й элементы r-й строки, но не всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной r-й строке есть ненулевой элемент a_{j}^{r}, и его номер j отличен от номеров j_{1},..., j_{r-1}.
В преобразованной матрице рассмотрим столбцы, имеющие номера j_{1},..., j_{r-1}, j. (Мы для удобства пишем j на последнем месте, хотя в действительности столбцы располагаются в порядке возрастания номеров.) Легко видеть, что эти столбцы линейно независимы. Действительно, пусть \tag{1} \alpha_{1}\boldsymbol{a}_{j_{1}}+...+\alpha_{r-1}\boldsymbol{a}_{j_{r-1}}+\alpha \boldsymbol{a}_{j}=\boldsymbol{o} их нулевая линейная комбинация. Тогда для последних элементов столбцов \alpha_{1}0+...+\alpha_{r-1}0+\alpha a_{j}^{r}=0. Так как a_{j}^{r} \neq 0, отсюда следует \alpha=0, и мы получаем \alpha_{1}\boldsymbol{a}_{j_{1}}+...+\alpha_{r-1}\boldsymbol{a}_{j_{r-1}}=\boldsymbol{o}. Если бы среди коэффициентов этой линейной комбинации были отличные от нуля, то столбцы с номерами j_{1},..., j_{r-1} были бы линейно зависимы. Это противоречило бы тому, что исходная подматрица порядка n-1 невырождена. Таким образом, все коэффициенты в (1) равны нулю, и столбцы с номерами j_{1},..., j_{r-1}, j линейно независимы. Отсюда следует, что составленная ими подматрица порядка r невырождена.
Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превратили ее в невырожденную матрицу. Это заканчивает доказательство.
Определение
В матрице A размеров m \times n подматрица порядка r называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.
Столбцы и строки матрицы A, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками A.
В силу утверждения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы.
Определение
Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.
Отметим два очевидных свойства ранга.
Свойство 1
Свойство 2
Основные теоремы.
Из утверждения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы:
Теорема 1.
Доказательство.
Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать. Будем говорить ранг матрицы и обозначать его \mathbf{Rg}\,A.
Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово “минор” означает “детерминант подматрицы”. В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.
Теорема 2.
Доказательство.
Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами.
Пусть теперь \boldsymbol{a}_{j} — не базисный столбец. Базисные столбцы обозначим через \boldsymbol{a}_{i_{1}},..., \boldsymbol{a}_{i_{r}}. По теореме о ранге матрицы любые r+1 столбцов линейно зависимы, и найдутся такие коэффициенты, что \alpha_{1}\boldsymbol{a}_{i_{1}}+...+\alpha_{r}\boldsymbol{a}_{i_{r}}+\alpha \boldsymbol{a}_{j}=\boldsymbol{o}. При этом мы можем быть уверены, что \alpha \neq 0, так как иначе это равенство означало бы линейную зависимость базисных столбцов. Деля на \alpha, мы получаем нужное нам разложение \boldsymbol{a}_{j}=-\alpha^{-1}\alpha_{1}\boldsymbol{a}_{i_{1}}-...-\alpha^{-1}\alpha_{r}\boldsymbol{a}_{i_{r}}.
Следствие.
Ранг произведения матриц.
Согласно ранее доказанным утверждениям элементарные преобразования не меняют столбцового ранга. Таким образом, справедливо
Утверждение 2.
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Отсюда и из ранее доказанного утверждения прямо следует
Утверждение 3.
Если матрица A невырождена и определены произведения AB и CA, то \mathbf{Rg}\,AB=\mathbf{Rg}\,B и \mathbf{Rg}\,CA=\mathbf{Rg}\,C.
В общем случае имеет место
Утверждение 4.
Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей.
Доказательство.
Пусть определено произведение AB. Рассмотрим матрицу D, составленную из всех столбцов матриц A и AB. Так как AB — подматрица, \mathbf{Rg}\,AB \leq \mathbf{Rg}\,D.
По утверждению о том, что столбцы AB — линейные комбинации столбцов A. Легко видеть, что приписывание к матрице линейной комбинации ее столбцов не меняет ранга матрицы. Действительно, не меняя ранга, элементарными преобразованиями столбцов мы можем обратить приписанный столбец в нулевой, а добавление нулевого столбца не создает новых невырожденных подматриц. Отсюда следует, что \mathbf{Rg}\,D=\mathbf{Rg}\,A. Итак, \mathbf{Rg}\,AB \leq\mathbf{Rg}\,A.
Аналогично доказывается, что \mathbf{Rg}\,AB \leq\mathbf{Rg}\,B. Для этого надо составить матрицу D' из всех строк матриц B и AB.
Нахождение ранга матрицы.
Определение
Матрица размеров m \times n называется упрощенной (или имеет упрощенный вид), если некоторые r ее столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка m и, в случае m > r, ее последние (m-r) строк — нулевые.
Утверждение 5.
Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно превратить в упрощенную матрицу.
Доказательство.
Если матрица нулевая, то она уже упрощенная (r=0). В общем случае применим метод Гаусса. В ранее доказанном утверждении мы превратили квадратную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк в единичную матрицу. Это — частный случай доказываемого утверждения. То обстоятельство, что матрица невырождена, использовалось, когда мы в очередной строке преобразованной матрицы находили ненулевой элемент.
В общем случае ненулевой элемент может не найтись, то есть очередная строка окажется нулевой. Все встречающиеся нулевые строки будем переставлять на последние места и будем продолжать преобразования так, как при доказательстве утверждения, на которое ссылались выше.
Преобразования закончатся, когда либо будут исчерпаны все строки, либо останутся только нулевые строки. При этом не существенно, квадратная матрица или нет. Конечно, может случиться, что некоторые столбцы не будут превращены в столбцы единичной матрицы, но это нам и не требуется. Пусть всего в столбцы единичной матрицы преобразовано r столбцов. Если остались строки ниже r-й, они нулевые, иначе преобразования можно продолжить. Предложение доказано.
Пусть мы привели матрицу A к упрощенному виду, и в упрощенной матрице A', столбцы \boldsymbol{a}_{j_{1}},..., \boldsymbol{a}_{j_{r}}\ (j_{1} <...< j_{r}) превращены в столбцы единичной матрицы \boldsymbol{e}_{1},..., \boldsymbol{e}_{r}. Можно считать, что \boldsymbol{a}_{j_{k}} \rightarrow \boldsymbol{e}_{k} для всех k=1,..., r. Это достигается перестановкой строк.
Рассмотрим упрощенную матрицу A'. В ней есть невырожденная подматрица порядка r, а невырожденных подматриц большего порядка, очевидно, нет. Следовательно, ранг матрицы равен r, а подматрица базисная.
Из этого следует, что \mathbf{Rg}\,A=r, так как ранг не изменился при элементарных преобразованиях. За базисную подматрицу в A можно принять подматрицу, расположенную в столбцах с номерами j_{1},..., j_{r} и строках, которые после перестановок попали на места 1,..., r в упрощенной матрице. Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ее строкам никаких строк, которые ее не пересекают.
Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведя ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место
Утверждение 6.
Какова бы ни была базисная подматрица матрицы A, элементарными преобразованиями строк можно привести A к такому упрощенному виду, в котором базисные столбцы будут первыми столбцами единичной матрицы.
Доказательство.
Действительно, небазисные строки можно обратить в нулевые, вычитая из них подходящие линейные комбинации базисных. После этого можно превратить базисную подматрицу в единичную так, как это было сделано здесь. (Элементарные преобразования производятся, конечно, над полными строками.)