Постановка задачи.
Систему уравнений вида \tag{1}\begin{matrix} a_{1}^{1}x^{1}+a_{2}^{1}x^{2}+...+a_{n}^{1}x^{n}=b^{1},\\a_{1}^{2}x^{1}+a_{2}^{2}x^{2}+...+a_{n}^{2}x^{n}=b^{2},\\\cdots\\a_{1}^{m}x^{1}+a_{2}^{m}x^{2}+...+a_{n}^{m}x^{n}=b^{m}\end{matrix} мы будем называть системой m линейных уравнений с n неизвестными x^{1},..., x^{n}. Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы A=\begin{Vmatrix} a_{1}^{1}& a_{2}^{1}&...& a_{n}^{1}\\\cdots\\a_{1}^{m}& a_{2}^{m}&...& a_{n}^{m}\end{Vmatrix}, называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец \boldsymbol{b}, называемый столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается A^{*}: A^{*}=\begin{Vmatrix} a_{1}^{1}& a_{2}^{1}&...& a_{n}^{1}& b^{1}\\\cdots\\a_{1}^{m}& a_{2}^{m}&...& a_{n}^{m}& b^{m}\end{Vmatrix}.
Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.
Определение.
Совокупность n чисел \alpha^{1},..., \alpha^{n} называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел \alpha^{1},..., \alpha^{n} вместо соответствующих неизвестных x^{1},..., x^{n}.
Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы можем записать систему (1) в виде x^{1} \begin{Vmatrix} a_{1}^{1}\\ \vdots\\ a_{1}^{m} \end{Vmatrix}+...+x^{n} \begin{Vmatrix} a_{n}^{1}\\ \vdots\\ a_{n}^{m} \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} b^{1}\\ \vdots\\ b^{m} \end{Vmatrix}, или, короче, x^{1}\boldsymbol{a}_{1}+...+x^{n}\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{b}, где \boldsymbol{a}_{1},..., \boldsymbol{a}_{n} — столбцы матрицы системы, а \boldsymbol{b} — столбец свободных членов. Отсюда сразу вытекает следующая интерпретация решения системы линейных уравнений.
Утверждение 1.
Решение системы линейных уравнений — это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы.
Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче: A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}. Выбор обозначений определяется решаемой задачей.
Наша цель состоит в нахождении всех решений системы (1), причем мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и неизвестных. Поэтому могут представиться различные возможности. Система может вообще не иметь решения, как система x^{1}+x^{2}=1,\\x^{1}+x^{2}=0, определяющая две параллельные прямые. Система может иметь бесконечное множество решений, как система (n=2, m=1) x^{1}+x^{2}=0, решением которой является любая пара чисел, равных по модулю и отличающихся знаком. Примеры систем, имеющих одно-единственное решение, в изобилии встречаются в школьном курсе.
Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений — несовместными.
Как следствие утверждения 1 и утверждения, которое мы доказывали ранее мы получаем
Утверждение 2.
Если столбцы матрицы системы линейно независимы, то система не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение.
Основным средством исследования и решения систем линейных уравнений для нас будут элементарные преобразования матриц. Причину этого показывает
Утверждение 3.
Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системы уравнений, не меняющие множества ее решений.
Доказательство.
Действительно, если строка матрицы A^{*} умножается на число \lambda \neq 0, то преобразованная матрица является расширенной матрицей для системы, получаемой из (1) умножением соответствующего уравнения на \lambda. Если в матрице i-я строка прибавляется к j-й, то в системе уравнений i-e уравнение прибавляется к j-му. В любом случае преобразованная система является следствием исходной. Но элементарные преобразования обратимы, а значит, и исходная система может быть получена из преобразованной и является ее следствием. Поэтому множества решений обеих систем совпадают.
Основной случай.
В этом параграфе мы рассмотрим основной случай, когда число уравнений равно числу неизвестных: m=n. Кроме того, мы наложим определенные ограничения на коэффициенты системы. Если этого не сделать, то нам придется изучать здесь, например, и систему из одного уравнения, повторенного n раз.
Мы хотим, чтобы ни одно уравнение не было следствием остальных. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы ни одно из них не было линейной комбинацией остальных (в действительности, этого и достаточно, но мы можем не вникать сейчас в этот вопрос). В случае m=n для линейной независимости уравнений необходимо потребовать, чтобы матрица системы была невырожденной, или, что то же, чтобы ее детерминант был отличен от нуля. Действительно, если одно из уравнений — линейная комбинация остальных с коэффициентами \alpha_{1},..., \alpha_{n-1}, то соответствующая строка расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных строк с теми же коэффициентами. То же относится и к матрице системы.
Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными \tag{2} \begin{matrix}a_{1}^{1}x^{1}+a_{2}^{1}x^{2}+...+a_{n}^{1}x^{n}=b^{1},\\a_{1}^{2}x^{1}+a_{2}^{2}x^{2}+...+a_{n}^{2}x^{n}=b^{2},\\\cdots\\a_{1}^{n}x^{1}+a_{2}^{n}x^{2}+...+a_{n}^{n}x^{n}=b^{n}\end{matrix}. Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно.
В самом деле, зная утверждение 1, мы можем сформулировать эту теорему иначе. Пусть A — квадратная матрица порядка n и \det A \neq 0. Тогда любой столбец \boldsymbol{b} высоты n раскладывается по столбцам A, и коэффициенты разложения определены однозначно. Так как отличие детерминанта от нуля равносильно невырожденности матрицы, это утверждение совпадает с теоремой 1, которую мы доказывали здесь.
Правило Крамера.
Правилом Крамера называются формулы для нахождения решения системы из n уравнений с n неизвестными и детерминантом, отличным от нуля.
Для того, чтобы найти значения неизвестных, составляющие решение, выберем произвольный номер неизвестной j и рассмотрим детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов \boldsymbol{b}: \vartriangle^{i}=\det \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}_{1},..., \boldsymbol{a}_{i-1}\ \boldsymbol{b}\ \boldsymbol{a}_{i+1},..., \boldsymbol{a}_{n} \end{Vmatrix}. Если x^{1},..., x^{n} — решение, то \boldsymbol{b}=x^{1}\boldsymbol{a}_{1}+...+x^{n}\boldsymbol{a}_{n}, и в силу линейности детерминанта по столбцу \vartriangle^{i}=x^{1} \det \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}_{1},..., \boldsymbol{a}_{i-1}\ \boldsymbol{a}_{1}\ \boldsymbol{a}_{i+1},..., \boldsymbol{a}_{n} \end{Vmatrix}+...\\...+x^{i} \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}_{1},..., \boldsymbol{a}_{i-1}\ \boldsymbol{a}_{i}\ \boldsymbol{a}_{i+1},..., \boldsymbol{a}_{n} \end{Vmatrix}+x^{n} \det \begin{Vmatrix} \boldsymbol{a}_{1},..., \boldsymbol{a}_{i-1}\ \boldsymbol{a}_{n}\ \boldsymbol{a}_{i+1},..., \boldsymbol{a}_{n} \end{Vmatrix}.
Все слагаемые, кроме i-го, равны нулю, так как матрицы в них имеют по два одинаковых столбца. Поэтому \vartriangle^{i}=x^{i} \det A. Отсюда \tag{3} x^{i}=\frac{\vartriangle^{i}}{\det A}\ (i=1,..., n)
Напомним, что формулы Крамера при n=3 мы ранее уже выводили.
Формулы для элементов обратной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу A с детерминантом, отличным от нуля. Правило Крамера позволяет получить формулы, выражающие элементы обратной матрицы A^{1} через элементы A.
Пусть \boldsymbol{e}_{j} — j-й столбец единичной матрицы. Заметим, что j-й столбец A^{-1} при произвольном j равен A^{-1}\boldsymbol{e}_{j}. Если мы обозначим его \boldsymbol{x}_{j}, то A\boldsymbol{x}_{j}=\boldsymbol{e}_{j}.
Применим правило Крамера для нахождения i-й неизвестной в решении этой системы: x_{j}^{i}=\vartriangle^{i}/ \det A, где \vartriangle^{i} — детерминант матрицы, получаемой из A заменой ее i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы. Разлагая \vartriangle^{i} по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в \boldsymbol{e}_{j} только j-Й элемент равен 1, а остальные равны нулю.
Следовательно, \vartriangle^{i}=(-1)^{i+j}d_{i}^{j} — где d_{i}^{j} — дополнительный минор элемента a_{i}^{j} в матрице A. Подчеркнем, что этот элемент стоит в позиции, симметричной с позицией, в которой расположен вычисляемый нами элемент x_{j}^{i}. Окончательно, \tag{4} x_{j}^{i}=\frac{(-1)^{i+j}d_{i}^{j}}{\det A}.
Формулы (4), как и правило Крамера, имеют некоторое теоретическое значение, но для численного решения систем линейных уравнений и обращения матриц применяются совсем другие методы.