Образ прямой линии.
Изучим геометрические свойства аффинных преобразований. Ниже \(f\) обозначает аффинное преобразование, записываемое в декартовой системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\) формулами
$$
x^{*}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1},\ y^{*}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}.\label{ref1}
$$
при условии
$$
\begin{vmatrix}
a_{1}& b_{1}\\
a_{2}& b_{2}
\end{vmatrix} \neq 0.\label{ref2}
$$
Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{0}+\boldsymbol{a}t\) и найдем ее образ при преобразовании \(f\). (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа \(M^{*}\) произвольной точки \(M\) можно вычислить так:
$$
\overrightarrow{OM^{*}}=\overrightarrow{Of(O)}+f\overrightarrow{(O)M^{*}}=\boldsymbol{c}+f(\boldsymbol{r}).\nonumber
$$
Здесь \(\boldsymbol{c}\) — постоянный вектор \(\overrightarrow{Of}(O)\), а \(\boldsymbol{r}\) — радиус-вектор точки \(M\). Согласно (11) §2 мы получаем
$$
\overrightarrow{OM^{*}}=\boldsymbol{c}+f(\boldsymbol{r}_{0})+f(\boldsymbol{a})t.\label{ref3}
$$
Так как \(f\) — аффинное преобразование и \(\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}\), то \(\boldsymbol{a}\) перейдет в вектор \(f(\boldsymbol{a}) \neq 0\), и уравнение \eqref{ref3} является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{0}+\boldsymbol{a}t\) лежат на прямой \eqref{ref3}.
Более того, преобразование \(f\) определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка \(M^{*}\) имеет на прямой \eqref{ref3} то же значение параметра \(t\), что и точка \(M\) на исходной прямой. Отсюда мы получаем первое утверждение.
Утверждение 1.
При аффинном преобразовании:
- прямая линия переходит в прямую линию;
- отрезок переходит в отрезок;
- параллельные прямые переходят в параллельные.
Доказательство.
Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида \(t_{1} \leq t \leq t_{2}\) Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеар-ные векторы переходят в коллинеарные.
Утверждение 2.
При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.
Доказательство.
Пусть отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны. Это значит, что существует такое число \(\lambda\), что \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{CD}\). Образы векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) связаны той же зависимостью \(\overrightarrow{A^{*}B^{*}}=\lambda \overrightarrow{C^{*}D^{*}}\). Отсюда вытекает, что
$$
\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{CD}|}=\frac{|\overrightarrow{A^{*}B^{*}}|}{|\overrightarrow{C^{*}D^{*}}|}=|\lambda|.\nonumber
$$
Следствие.
Если точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в некотором отношении \(\lambda\), то ее образ \(C^{*}\) делит образ \(A^{*}B^{*}\) отрезка \(AB\) в том же отношении \(\lambda\).
Изменение площадей при аффинном преобразовании.
Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\) и обозначим через \((p_{1}, p_{2})\) и \((q_{1}, q_{2})\) компоненты векторов \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\), на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользуясь формулой:
$$
S_{\pm}=S_{\pm} (\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}) S_{\pm} (\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}).\nonumber
$$
Пусть аффинное преобразование \(f\) записывается в выбранной системе координат формулами \eqref{ref1}. Из ранее доказанного утверждения следует, что векторы \(f(\boldsymbol{p})\) и \(f(\boldsymbol{q})\) имеют в базисе \(f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2})\) те же компоненты \((p_{1}, p_{2})\) и \((q_{1}, q_{2})\), что и векторы \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\) в базисе \(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\). Образ параллелограмма построен на векторах \(f(\boldsymbol{p})\) и \(f(\boldsymbol{q})\), и площадь его равна
$$
S_{\pm}^{*}=S_{\pm} (f(\boldsymbol{p}), f(\boldsymbol{q}))=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}) S_{\pm} (f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2})).\nonumber
$$
Вычислим последний множитель. Как мы знаем из уже доказанного утверждения 7, координаты векторов \(f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2})\) равны соответственно \((a_{1}, a_{2})\) и \((b_{1}, b_{2})\). Поэтому \(S_{\pm} (f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2}))=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) S_{\pm} (\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2})\) и
$$
S_{\pm}^{*}=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1})(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) S_{\pm} (\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}).\nonumber
$$
Отсюда мы видим, что
$$
\frac{S_{\pm}^{*}}{S_{\pm}}=\begin{vmatrix}
a_{1}& b_{1}\\
a_{2}& b_{2}
\end{vmatrix}.\label{ref4}
$$
Таким образом, отношение площади образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно \(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\).
Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина — инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования.
Из формулы \eqref{ref4} видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно
$$
S^{*}/S=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|.\label{ref5}
$$
Если \(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} > 0\), то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании, а если \(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} < 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.
Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение площади образа треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет равенству \eqref{ref5}.
Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следовательно, формула \eqref{ref5} справедлива и для произвольных многоугольников.
Мы не будем здесь касаться определения площади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: если последовательность \(S_{n}\) стремится к пределу \(S\), то последовательность \(\delta S_{n}\), где \(\delta\) постоянное, стремится к пределу \(\delta S\). На основании этого предложения мы заключаем, что формула \eqref{ref5} справедлива в самом общем случае.
В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. Ранее мы доказали, что эллипс с полуосями \(a\) и \(b\) может быть получен сжатием окружности радиуса \(a\) к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен \(b/a\). В одном из примеров мы получили координатную запись сжатия к прямой \(x^{*}=x\), \(y^{*}=\lambda y\). Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен \(\lambda\), то есть в нашем случае \(b/a\). Таким образом, отношение площади эллипса к площади окружности равно \(b/a\), и эта площадь равна \(S=(b/a)\pi a^{2}\). Окончательно имеем
$$
S=\pi ab.\nonumber
$$
Образы линий второго порядка.
Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего утверждения.
Утверждение 3.
Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того же порядка.
Доказательство.
В самом деле, пусть линия \(L\) в декартовой системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\) имеет алгебраическое уравнение порядка \(p\). Мы уже доказали, что образы всех точек линии \(L\) при аффинном преобразовании \(f\) имеют в системе координат \(f(O), f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2})\) те же координаты, что и их прообразы в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\). Следовательно, координаты образов в системе \(f(O), f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_{2})\) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка \(p\). Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение.
Из доказанного выше утверждения, в частности, следует, что линия второго порядка при аффинном преобразовании перейдет в линию второго порядка. Мы докажем более сильное утверждение. Как мы уже знаем, линии второго порядка можно разделить на семь классов. Мы увидим, что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем новое утверждение.
Утверждение 4.
Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса.
Доказательство.
Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — в неограниченную.
- Эллипс — ограниченная линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, то есть пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс.
- Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды.Из всех линий второго порядка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу.
- Парабола — неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу.
- Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия не может перейти в линию никакого другого класса.
Докажем вторую часть предложения. В уже доказанной нами теореме канонические уравнения линий второго порядка написаны в декартовой прямоугольной системе координат и содержат параметры \(a, b, …\) Если мы откажемся от ортонормированности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат \(x’=x/a\), \(y’=y/b\) переводит уравнение эллипса \(x^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}=1\) в уравнение \(x’^{2}+y’^{2}=1\), каковы бы ни были \(a\) и \(b\). (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)
Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:
- \(x^{2}+y^{2}=1\);
- \(x^{2}+y^{2}=0\);
- \(x^{2}-y^{2}=1\);
- \(x^{2}-y^{2}=0\);
- \(y^{2}=2x\);
- \(y^{2}-1=0\);
- \(y^{2}=0\).
Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.
Из ранее доказанного утверждения следует, что аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство.
Разложение ортогонального преобразования.
Теорема 1.
Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии.
Доказательство.
Пусть \(f\) — ортогональное преобразование и \(\vartriangle ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом \(A\). При преобразовании \(f\) он перейдет в равный ему треугольник \(\vartriangle A^{*}B^{*}C^{*}\) с прямым углом при вершине \(A^{*}\). Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос \(p\), поворот \(q\) и (в случае необходимости) осевую симметрию \(r\), мы сможем совместить треугольники \(ABC\) и \(A^{*}B^{*}C^{*}\). Действительно, произведение \(rqp\) — аффинное преобразование так же, как и \(f\), а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому \(rqp\) совпадает с \(f\).
Итак, переведем \(A\) и \(A^{*}\) параллельным переносом \(p\) на вектор \(\overrightarrow{AA^{*}}\) (если \(A=A^{*}\), то \(p\) — тождественное преобразование). Затем поворотом \(q\) вокруг точки \(A^{*}\) совместим \(p(B)\) с \(B^{*}\) (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка \(q(p(C))\) либо совпадает с \(C^{*}\), либо симметрична ей относительно прямой \(A^{*}B^{*}\). В первом случае цель уже достигнута, а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана.
Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрий, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и так далее. Мы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следующее общее свойство всех таких разложений.
Утверждение 5.
При любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных переносов, поворотов и осевых симметрий четность числа осевых симметрий, входящих в разложение, одна и та же.
Доказательство.
Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от \(\boldsymbol{e}_{1}\) к \(\boldsymbol{e}_{2}\)) при осуществляемых преобразованиях. Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входящих в разложение, может быть только четным.
Определение.
Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные — ортогональными преобразованиями второго рода.
Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами:
$$
\begin{array}{cc}
& x^{*}=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_{1},\\
& y^{*}=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_{2}.
\end{array}.\nonumber
$$
При верхних знаках коэффициентов у \(y\) в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен +1, а при нижних знаках он равен —1. Отсюда и из формулы \eqref{ref4} следует следующее утверждение.
Утверждение 6.
Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат формулами
$$
\begin{array}{cc}
& x^{*}=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_{1},\\
& y^{*}=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_{2}.
\end{array}.\nonumber
$$
с верхними знаками у коэффициентов при \(y\), а ортогональное преобразование второго рода — с нижними знаками.
Разложение аффинного преобразования.
Мы видели, насколько аффинное преобразование может изменить плоскость: окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — в совершенно произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут. Однако имеет место следующее утверждение
Утверждение 7.
Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикулярные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые.
Доказательство.
Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. При данном аффинном преобразовании она перейдет в эллипс. Каждая ось эллипса — множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа. Поэтому прообразы осей эллипса — отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. Это то, что нам требовалось: существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки — оси эллипса.
Стоит отметить один особый случай: окружность при аффинном преобразовании может перейти в окружность. В этом случае то же рассуждение проходит с любыми двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности-образа. Очевидно, что при этом любые два взаимно перпендикулярных направления остаются перпендикулярными.
Определение.
Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования \(f\), если они переходят во взаимно перпендикулярные направления.
Теорема 2.
Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование \(f\) и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) так, чтобы его катеты \(AB\) и \(AC\) были направлены вдоль главных направлений преобразования \(f\). Обозначим через \(A^{*}\), \(B^{*}\) и \(C^{*}\) образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование \(g\), при котором \(g(A)=A^{*}\), а точки \(g(B)\) и \(g(C)\) лежат соответственно на лучах \(A^{*}B^{*}\) и \(A^{*}C^{*}\). (Этого легко добиться, как и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.)
Пусть \(\lambda=|A^{*}B^{*}|/|A^{*}g(B)|\), a \(\mu=|A^{*}C^{*}|/|A^{*}g(C)|\). Тогда сжатие \(p_{1}\) к прямой \(A^{*}C^{*}\) в отношении \(\lambda\) переведет \(g(B)\) в \(p_{1}g(B)=B^{*}\) и не сдвинет точек \(A^{*}\) и \(g(C)\). Аналогично, сжатие \(p_{2}\) к прямой \(A^{*}B^{*}\) переведет \(g(C)\) в \(p_{2}g(C)=C^{*}\) и не сдвинет точек прямой \(A^{*}B^{*}\).
Это означает, что произведение \(p_{2}p_{1}g\) переводит точки \(A\), \(B\) и \(C\) в точки \(A^{*}\), \(B^{*}\) и \(C^{*}\) так же, как и заданное нам преобразование \(f\). Согласно ранее доказанному утверждению имеем \(p_{2}p_{1}g=f\), как и требовалось.