Определение эллипса.
Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\label{ref1}
$$
при условии \(a \geq b > 0\).
Из уравнения \eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).
Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты \((a, 0)\), \((-a, 0)\), \((0, b)\) и \((0, -b)\), называются вершинами эллипса. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты \((x, y)\) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты \((-x, y)\), \((x, -y)\) и \((-x, -y)\) точек \(M_{1}\), \(M_{2}\) и \(M_{3}\) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.
Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.
Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| < a\), найдутся две точки эллипса с ординатами \(\pm b \sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\) и две точки окружности с ординатами \(\pm a \sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно \(b/a\). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении \(b/a\) (рис. 8.2).
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.
Определение.
Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}\label{ref2}
$$
и \(c \geq 0\).
Фокусами называются точки \(F_{1}\) и \(F_{2}\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).
Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.
Определение.
Отношение
$$
\varepsilon=\frac{c}{a}\label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.
Отметим, что \(\varepsilon < 1\).
Утверждение 2.
Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-\varepsilon x,\ r_{2}=|F_{2}M|=a+\varepsilon x.\label{ref4}
$$
Доказательство.
Очевидно, что \(r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}\). Подставим сюда выражение для \(y^{2}\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.\nonumber
$$
Учитывая равенство \eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-\varepsilon x)^{2}.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon < 1\), отсюда следует, что справедливо первое из равенств \eqref{ref4}: \(r_{1}=a-\varepsilon x\). Второе равенство доказывается аналогично.
Утверждение 3.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).
Доказательство.
Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.\label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref{ref5}, то есть
$$
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.\label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref{ref2}. Мы придем к \(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\), равносильному уравнению эллипса \eqref{ref1}.
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=\frac{a}{\varepsilon},\\ x=-\frac{a}{\varepsilon}.\label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.
Утверждение 4.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).
Доказательство.
Докажем это предложение для фокуса \(F_{2}(-c, 0)\). Пусть \(M(x, y)\) — произвольная точка эллипса. Расстояние от \(M\) до директрисы с уравнением \(x=-a/\varepsilon\) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+\frac{a}{\varepsilon}|=\frac{1}{\varepsilon}(\varepsilon x+a).\nonumber
$$
Из формулы \eqref{ref4} мы видим теперь, что \(r_{2}/d_{2}=\varepsilon\).
Обратно, пусть для какой-то точки плоскости \(r_{2}/d_{2}=\varepsilon\), то есть
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=\varepsilon \left(x+\frac{a}{\varepsilon}\right).\nonumber
$$
Так как \(\varepsilon=c/a\), это равенство легко приводится к виду \eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу.
Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) — точка на эллипсе и \(y_{0} \neq 0\). Через \(M_{0}\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_{0} > 0\) это график \(f_{1}(x)=b\sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\), для \(y_{0} < 0\) — график \(f_{2}(x)=-b\sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\). Не уточняя знака \(y_{0}\), обозначим подходящую функцию \(f(x)\).) Для нее выполнено тождество
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.\nonumber
$$
Дифференцируем его по \(x\):
$$
\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2ff’}{b^{2}}=0.\nonumber
$$
Подставляя \(x=x_{0}\) и \(f(x_{0}=y_{0})\), находим производную от \(f\) в точке \(x_{0}\), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}.\nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).\nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что \(b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}\), так как \(M_{0}\) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
\frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.\label{ref8}
$$
При выводе уравнения \eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), положив \(y_{0} \neq 0\). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения \(x=a\) и \(x=-a\). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение \eqref{ref8} определяет касательную для любой точки \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) на эллипсе.
Утверждение 5.
Касательная к эллипсу в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Нам надо сравнить углы \(\varphi_{1}\) и \(\varphi_{2}\), составленные векторами \(\overrightarrow{F_{1}M_{0}}\) и \(\overrightarrow{F_{2}M_{0}}\) с вектором \(\boldsymbol{n}\), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения \eqref{ref8} находим, что \(\boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})\), и потому
$$
(\overrightarrow{F_{1}M_{0}}, \boldsymbol{n})=\frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+\frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-\frac{x_{0}c}{a^{2}}=\frac{a-\varepsilon x_{0}}{a}.\nonumber
$$
Используя \eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что \(\cos \varphi_{1}=1/(a|\boldsymbol{n}|)\). Аналогично находим \(\cos \varphi_{2}=1/(a|\boldsymbol{n}|)\). Утверждение доказано.
