Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.\label{ref9}
$$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Утверждение.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
$$
Поэтому, если \(b^{2}-a^{2}k^{2} > 0\), то
$$
x=\pm \frac{ab}{\sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).
Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^{2}\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).
К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Определение.
Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
Запишем уравнения асимптот в виде \(bx-ay=0\) и \(bx+ay=0\). Расстояния от точки \(M(x, y)\) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=\frac{|bx-ay|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ h_{2}=\frac{|bx+ay|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\nonumber
$$
Если точка \(M\) находится на гиперболе, то \(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\), и
$$
h_{1}h_{2}=\frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.\nonumber
$$
Утверждение.
Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно \(a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})\).
Отсюда следует важное свойство асимптот.
Свойство.
Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.
Доказательство.
Действительно, хотя бы одно из расстояний \(h_{1}\) или \(h_{2}\) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Определение.
Введем число \(c\), положив
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}\label{ref10}
$$
и \(c > 0\). Фокусами гиперболы называются точки \(F_{1}\) и \(F_{2}\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат.
Отношение \(\varepsilon=c/a\), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы \(\varepsilon > 1\).
Утверждение 9.
Расстояния от произвольной точки \(M(x, y)\) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы \(x\):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=|a-\varepsilon x|,\ r_{2}=|F_{2}M|=|a+\varepsilon x|.\label{ref11}
$$
Доказательство.
Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.
Заметим, что равенства \eqref{ref11} можно подробнее записать так:
- для правой ветви гиперболы \((x \geq a)\)
$$
r_{1}=\varepsilon x-a,\ r_{2}=\varepsilon x+a;\nonumber
$$ - для левой ветви гиперболы \((x \leq -a)\)
$$
r_{1}= a-\varepsilon x,\ r_{2}=-\varepsilon x-a;\nonumber
$$
Итак, для правой ветви \(r_{2}-r_{1}=2a\), а для левой ветви \(r_{1}-r_{2}=2a\). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.\label{ref12}
$$
Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
$$
x=\frac{a}{\varepsilon},\ x=-\frac{a}{\varepsilon}.\label{ref13}
$$
Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.
Точки гиперболы и их свойства.
Утверждение 10.
Для того чтобы точка \(M\) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы \(2a\).
Доказательство.
Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
$$
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\nonumber
$$
Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\), а не \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\).
Утверждение 11.
Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету \(\varepsilon\) (рис. 8.10).
Доказательство.
Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса \(F_{2}(-c, 0)\). Пусть \(M'(x, y)\) — точка гиперболы. Расстояние от \(M’\) до директрисы с уравнением \(x=-a/\varepsilon\) по формуле (9) § 3 гл. II равно
$$
d’=\left|x+\frac{a}{\varepsilon}\right|=\frac{1}{\varepsilon}|\varepsilon x+a|.\nonumber
$$
Из формулы \eqref{ref11} мы видим теперь, что \(r’/d’=\varepsilon\).
Уравнение касательной к гиперболе.
Уравнение касательной к гиперболе в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
\frac{xx_{0}}{a^{2}}-\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.\label{ref14}
$$
Утверждение 12.
Касательная к гиперболе в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Доказательство почти не отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса.