Поверхности и линии первого порядка.
Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label{ref1}
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^{2}+B^{2}+C^{2} \neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label{ref2}
$$
при условии \(A^{2}+B^{2} \neq 0\).
В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref{ref1} и \eqref{ref2} определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.
Теорема 1.
В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.
Теорема 2.
В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.
Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.
Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка \(M_{0}\) и задан ненулевой вектор \(\boldsymbol{a}\), параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором. Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинеарными векторами, ей параллельными, — начальной точкой и направляющими векторами плоскости.
Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.
Пусть дана прямая. Обозначим через \(\boldsymbol{r}_{0}\) и \(\boldsymbol{a}\) соответственно радиус-вектор ее начальной точки \(M_{0}\) и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{r}\) (рис. 6.1).
Вектор \(\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}\), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда \(M\) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки \(M\) найдется такое число \(t\), что
$$
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0} = t\boldsymbol{a}.\label{ref3}
$$
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref{ref3} в качестве \(t\), вектор \(\boldsymbol{r}\) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.
Уравнение \eqref{ref3} называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина \(t\), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.
Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.
Рассмотрим прямую в пространстве. Пусть \((x, y, z)\) и \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) — координаты точек \(M\) и \(M_{0}\), соответственно, а вектор \(\boldsymbol{a}\) имеет компоненты \((a_{1}, a_{2}, a_{3})\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref{ref3}, мы получим
$$
x-x_{0} = a_{1}t,\ y-y_{0} = a_{2}t,\ z-z_{0} = a_{3}t.\label{ref4}
$$
Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично,
$$
x-x_{0} = a_{1}t,\ y-y_{0} = a_{2}t.\label{ref5}
$$
Уравнения \eqref{ref4} или \eqref{ref5} называются параметрическими уравнениями прямой.
Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol{r}_{0}\) — радиус-вектор ее начальной точки \(M_{0}\). Пусть точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{r}\) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).
Вектор \(\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}\), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец \(M\) также лежит на плоскости. Так как \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}\) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка \(M\) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа \(t_{1}\) и \(t_{2}\), что
$$
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0} = t_{1}\boldsymbol{p}+t_{2}\boldsymbol{q}.\label{ref6}
$$
Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_{1}\) и \(t_{2}\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_{1}\) и \(t_{2}\), уравнение \eqref{ref6} определит некоторую точку плоскости.
Пусть \((x, y, z)\) и \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) — координаты точек \(M\) и \(M_{0}\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\) имеют компоненты \((p_{1}, p_{2}, p_{3})\) и \((q_{1}, q_{2}, q_{3})\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref{ref6}, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_{0} = t_{1}p_{1}+t_{2}q_{1},\ y-y_{0} = t_{1}p_{2}+t_{2}q_{2},\ z-z_{0} = t_{1}p_{3}+t_{2}q_{3}.\label{ref7}
$$
Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.
Прямая линия на плоскости.
Параметрическое уравнение прямой утверждает, что точка \(M\) лежит на прямой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_{0}\) коллинеарна направляющему вектору \(\boldsymbol{a}\). Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора \(M(x, y)\), \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\), \(\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})\). Тогда условие коллинеарности может быть записано в виде равенства
$$
\begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\\
a_{1}& a_{2}
\end{vmatrix}
= 0.\label{ref8}
$$
Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 1.
В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) и направляющим вектором \(\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})\) может быть записано в виде \eqref{ref8}.
Уравнение \eqref{ref8} линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид \(a_{2}x-a_{1}y+(a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}) = 0\), то есть \(Ax+By+C = 0\), где \(A = a_{2}\), \(B = -a_{1}\) и \(C = a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}\).
С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена \(Ax+By+C\), \(A^{2}+B^{2} \neq 0\), найдутся такая точка \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) и такой вектор \(\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})\), что
$$
Ax+By+C =
\begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\\
a_{1}& a_{2}
\end{vmatrix}.\label{ref9}
$$
Действительно, выберем числа \(x_{0}\) и \(y_{0}\) так, чтобы \(Ax_{0}+By_{0}+C = 0\). В качестве таких чисел можно взять, например,
$$
x_{0} = \frac{-AC}{A^{2}+B^{2}},\ y_{0} = \frac{-BC}{A^{2}+B^{2}}.\label{ref10}
$$
Если \(C = -Ax_{0}-By_{0}\), то \(Ax+By+C = A(x-x_{0})+B(y-y_{0})\), то есть выполнено равенство \eqref{ref9} при \(a_{2} = A\), \(a_{1} = -B\). Итак, мы получили следующее утверждение.
Утверждение 2.
Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref{ref2} в общей декартовой системе координат, а точку \eqref{ref10} за начальную точку.
Следствие.
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol{n}(A, B)\) перпендикулярен прямой с уравнением \eqref{ref1}.
Действительно, в этом случае \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) = -BA+AB = 0\).
Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label{ref11}
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_{2}/a_{1}\) (рис. 6.3).
Определение.
Отношение компонент направляющего вектора \(a_{2}/a_{1}\) называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol{e}_{1}\) к \(\boldsymbol{e}_{2}\) (рис. 6.4).
Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref{ref11}, получаем \(y = b\). Это означает, что свободный член уравнения \(b\) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.
Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref{ref11}, то обязательно \(A \neq 0\). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид \(x = x_{0}\), где \(x_{0} = -C/A\) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.
Векторные уравнения плоскости и прямой.
Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_{0}\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{q}\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}) = 0.\label{ref12}
$$
Вектор \(\boldsymbol{n} = [\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref{ref12} в виде
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) = 0.\label{ref13}
$$
Уравнения \eqref{ref12} и \eqref{ref13} называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в \eqref{ref13} \(D = -(\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\), получим
$$
(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})+D = 0.\label{ref14}
$$
Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref{ref13} и \eqref{ref14},
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) = 0\ \mbox{или}\ (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})+C = 0.\nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}\) перпендикулярен ненулевому вектору \(\boldsymbol{n}\), перпендикулярному направляющему вектору \(\boldsymbol{a}\), и потому коллинеарен \(\boldsymbol{a}\).
Утверждение 3.
Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol{r}\) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\) при \(\boldsymbol{n} \neq 0\) записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\), где \((A^{2}+B^{2}+C^{2} \neq 0)\).
Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol{r}_{0}\) и \(\boldsymbol{n} \neq 0\), что в заданной общей декартовой системе координат \(Ax+By+Cz+D = (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\).
Доказательство.
Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol{r}\) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}+z\boldsymbol{e}_{3}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}),\nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\) и
$$
A = (\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{n}),\ B = (\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{n}),\ C = (\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{n})\label{ref15}
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol{n}\) не может быть ортогонален всем векторам базиса.
Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol{n}\) из равенств \eqref{ref15}, считая \(A\), \(B\) и \(C\) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
\boldsymbol{n} = \frac{A[\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}]}{(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3})}+\frac{B[\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{e}_{1}]}{(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3})}+\frac{C[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}]}{(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3})}.\label{ref16}
$$
Вектор \(\boldsymbol{r}_{0}\) должен удовлетворять условию \(D = -(\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\). Один из таких векторов можно найти в виде \(\boldsymbol{r}_{0} = \lambda \boldsymbol{n}\). Подставляя, видим, что \(-\lambda(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}) = D\), откуда \(\boldsymbol{r}_{0} = -D\boldsymbol{n}/|\boldsymbol{n}|^{2}\).
Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol{n}\) и \(\boldsymbol{r}_{0}\) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{n})+y(\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{n})+z(\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{n})-(\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}),\nonumber
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\).
Утверждение 4.
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).
Доказательство.
Это сразу вытекает из формул \eqref{ref15} и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.
Рассмотрим вектор \(\boldsymbol{a} = \alpha_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\alpha_{1}\boldsymbol{e}_{2}+\alpha_{1}\boldsymbol{e}_{3}\) в общей декартовой системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\). Очевидно, что \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) = \alpha_{1}(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{n})+\alpha_{2}(\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{n})+\alpha_{3}(\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{n})\). Теперь из формул \eqref{ref15} следует, что
$$
(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) = A\alpha_{1}+B\alpha_{2}+C\alpha_{3}.\nonumber
$$
(Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа \(A\), \(B\), \(C\), вообще говоря, не являются координатами вектора \(\boldsymbol{n}\), и скалярное произведение не записывается как сумма произведений одноименных компонент, но \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее утверждение.
Утверждение 5.
Вектор \(\boldsymbol{a}\) с компонентами \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\) общей декартовой системе координат параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\) тогда и только тогда, когда
$$
A\alpha_{1}+B\alpha_{2}+C\alpha_{3} = 0.\label{ref17}
$$
Следствие.
Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref{ref17}, можно принять за направляющие векторы плоскости.
Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.
Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.
Утверждение 6.
Вектор \(\boldsymbol{a}\) с компонентами \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) в общей декартовой системе координат параллелен прямой с уравнением \(Ax+By+C = 0\) тогда и только тогда, когда
$$
A\alpha_{1}+B\alpha_{2} = 0.\label{ref18}
$$
Доказательство.
Действительно, \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.
Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде
$$
[\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}] = 0.\label{ref19}
$$
Здесь \(\boldsymbol{a}\) — направляющий вектор прямой, а \(\boldsymbol{r}_{0}\) — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное параметрическое, выражает коллинеарность векторов \(\boldsymbol{r}_{0}\) и \(\boldsymbol{a}\).
Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.
Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.
Утверждение 7.
Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_{1}x+B_{1}y+C_{1} = 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_{1} = \lambda A,\ B_{1} = \lambda B.\label{ref20}
$$
Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref{ref20} выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
C_{1} = \lambda C.\label{ref21}
$$
Доказательство.
Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_{1}, A_{1})\) — направляющие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах \eqref{ref20} и \eqref{ref21} \(\lambda \neq 0\), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.
Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_{1} = 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) обеих прямых, то \(Ax_{0}+By_{0}+C = 0\) и \(\lambda(Ax_{0}+By_{0})+C_{1} = 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_{1} = \lambda C\), как и требовалось.
Утверждение 8.
Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1} = 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_{1} = \lambda A,\ B_{1} = \lambda B,\ C_{1} = \lambda C.\label{ref22}
$$
Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref{ref22} выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
D_{1} = \lambda D.\label{ref23}
$$
Доказательство.
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol{n}\) и \(\boldsymbol{n}_{1}\) коллинеарны, и существует такое число \(\lambda\), что \(\boldsymbol{n}_{1} = \lambda\boldsymbol{n}\). В силу уравнений \eqref{ref15} \(A_{1} = (\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{n}_{1}) = \lambda(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{n}) = \lambda A\). Аналогично доказываются и остальные равенства \eqref{ref22}. Обратно, если равенства \eqref{ref22} выполнены, то из формулы \eqref{ref16} следует, что \(\boldsymbol{n}_{1} = \lambda\boldsymbol{n}\). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.
Условия \eqref{ref20} выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами \((A, B)\) и \((A_{1}, B_{1})\). Точно так же условия \eqref{ref22} означают коллинеарность векторов с компонентами \((A, B, C)\) и \((A_{1}, B_{1}, C_{1})\). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
\begin{vmatrix}
A& B\\
A_{1}& B_{1}
\end{vmatrix}
= 0,\label{ref24}
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin{vmatrix}
B& C\\
B_{1}& C_{1}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
C& A\\
C_{1}& A_{1}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
A& B\\
A_{1}& B_{1}
\end{vmatrix}
= 0.\label{ref25}
$$
Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.
Утверждение 9.
При условии \eqref{ref24} система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0,\ A_{1}x+B_{1}y+C_{1} = 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_{1}\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin{vmatrix}
A& B\\
A_{1}& B_{1}
\end{vmatrix}
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_{1}\) система имеет единственное решение \((x, y)\).
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\{\begin{array}{l}
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1} = 0.
\end{array}\right.\label{ref26}
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref{ref25} означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
\begin{vmatrix}
B& C\\
B_{1}& C_{1}
\end{vmatrix}^{2} +
\begin{vmatrix}
C& A\\
C_{1}& A_{1}
\end{vmatrix}^{2} +
\begin{vmatrix}
A& B\\
A_{1}& B_{1}
\end{vmatrix}^{2}
\neq 0.\label{ref27}
$$
Разумеется, систему \eqref{ref26} можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.
Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref{ref4}. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = \frac{x-x_{0}}{\alpha_{1}},\ t = \frac{y-y_{0}}{\alpha_{2}},\ t = \frac{z-z_{0}}{\alpha_{3}},\nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac{y-y_{0}}{\alpha_{2}} = \frac{z-z_{0}}{\alpha_{3}},\ \frac{x-x_{0}}{\alpha_{1}} = \frac{z-z_{0}}{\alpha_{3}},\label{ref28}
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac{x-x_{0}}{\alpha_{1}} = \frac{y-y_{0}}{\alpha_{2}} = \frac{z-z_{0}}{\alpha_{3}},\label{ref29}
$$
Уравнения \eqref{ref28} представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная \(x\)), а вторая параллельна оси ординат.
Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_{1}\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_{0},\ \frac{y-y_{0}}{\alpha_{2}} = \frac{z-z_{0}}{\alpha_{3}},\label{ref30}
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_{0}\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_{1}\), а другая компонента.
Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_{1}\) и \(\alpha_{2}\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_{0},\ y = y_{0}.\label{ref31}
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.
Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref{ref26}. По условию \eqref{ref27} один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что \(AB_{1}-A_{1}B \neq 0\). В силу утверждения 9 при любом фиксированном \(z\) система уравнений будет иметь единственное решение \((x, y)\), в котором \(x\) и \(y\), разумеется, зависят от \(z\). Они — линейные многочлены от \(z\): \(x = \alpha_{1}z+\beta_{1}\), \(y = \alpha_{2}z+\beta_{2}\).
Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_{1}t+\beta_{1},\ y = \alpha_{2}t+\beta_{2},\ z = t.\nonumber
$$
Первые две координаты начальной точки прямой \(M_{0}(\beta_{1}, \beta_{2}, 0)\) можно получить, решая систему \eqref{ref26} при значении \(z = 0\).
Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_{1}, \alpha_{2}, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref{ref26}, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
\begin{vmatrix}
B& C\\
B_{1}& C_{1}
\end{vmatrix},\
\begin{vmatrix}
C& A\\
C_{1}& A_{1}
\end{vmatrix},\
\begin{vmatrix}
A& B\\
A_{1}& B_{1}
\end{vmatrix}.\label{ref32}
$$
Утверждение 10.
Вектор с компонентами \eqref{ref32} есть направляющий вектор прямой с уравнениями \eqref{ref26}, какова бы ни была декартова система координат.
Доказательство.
Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_{1}+B\alpha_{2}+C\alpha_{3} = 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_{1}\alpha_{1}+B_{1}\alpha_{2}+C_{1}\alpha_{3} = 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref{ref32} ненулевой в силу неравенства \eqref{ref27}. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.