Формула Грина на плоскости

разделов

от теории до практики

примеров

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Содержание

Ориентация границы плоской области.
Начать изучение
Формула Грина.
Начать изучение
Формула Грина для многосвязной области.
Начать изучение
Применение формулы Грина к вычислению площадей.
Начать изучение
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (плоский случай).
Начать изучение

Ориентация границы плоской области.

Напомним, что областью в $\boldsymbol{R}^{2}$ называется открытое связное множество, а замыкание области получается присоединением к области ее границы.

Теорема Жордана утверждает, что любая простая (без точек самопересечения) замкнутая кривая разделяет плоскость на две области, ограниченную и неограниченную, общей границей которых она является.

Область $\Omega \subset \boldsymbol{R}^{2}$ называется односвязной, если для любого простого контура $\gamma \subset \Omega$ ограничиваемая этим контуром область $\Omega_{1} \subset \Omega$. В частности, область на рис. 51.1 односвязна.

Будем говорить, что простой контур $\Gamma$ ориентирован положительно, если при обходе контура ограничиваемая им область остается слева (рис. 51.1). Противоположно ориентированный контур будем обозначать через $\Gamma^{-}$.

Формула Грина.

Теорема.

Пусть функции $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ непрерывно дифференцируемы в односвязной области $\Omega \subset \boldsymbol{R}^{2}$, а простой кусочно гладкий контур $\Gamma \subset \Omega$ ограничивает область $G \subset \Omega$. Тогда справедлива формула Грина
$$
\int\limits_{\partial G} P\ dx + Q\ dy = \iint\limits_{G} \left[\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right]\ dx\ dy,\label{ref1}
$$
где $\partial G$ есть положительно ориентированная граница области $G$.

Доказательство.

$\circ$ Докажем сначала формулу \eqref{ref1} в наиболее простом случае, когда область $G$ еще и элементарна относительно обеих координатных осей, то есть существуют такие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $x \in [a, b]$, и $\alpha(y)$, $\beta(y)$, $y \in [c, d]$, что (рис. 51.2)
$$
\overline{G} = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ \varphi(x) \leq y \leq \psi(x)\} = \{(x, y): c \leq y \leq d,\ \alpha(x) \leq x \leq \beta(x)\}.\nonumber
$$

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства
$$
\iint\limits_{G} \frac{\partial P}{\partial y} (x, y)\ dx\ dy =-\int\limits_{a}^{b} dx \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} \frac{\partial P}{\partial y} (x, y)\ dx\ dy =\\= \int\limits_{a}^{b} P(x, \varphi(x))dx-\int\limits_{a}^{b} P(x, \psi(x))dx =\\= \int\limits_{ABCD} P\ dx + \int\limits_{DE} P\ dx + \int\limits_{EFMN} P\ dx + \int\limits_{NA} P\ dx = \int\limits_{\partial G} P\ dx.\label{ref2}
$$

При выводе формулы \eqref{ref2} была использована формула для криволинейного интеграла $\int\limits_{\Gamma} P\ dx$ по кривой $\Gamma$, являющейся графиком функции. Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам $DE$ и $NA$ равны нулю, так как на этих отрезках $x = \operatorname{const}$.

Аналогично доказывается формула
$$
\iint\limits_{G} \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}\ dx\ dy = \int\limits_{\partial G} Q(x, y)\ dy.\label{ref3}
$$

Складывая равенства \eqref{ref2} и \eqref{ref3}, получаем формулу Грина \eqref{ref1}.

Пусть теперь область $G$ по-прежнему ограничена кусочно гладкой замкнутой кривой $\partial G$. Предположим, что ее можно кусочно гладкой простой кривой $\Gamma$ (перегородкой) разбить на две области простейшего вида, рассмотренные выше (рис. 51.3). Тогда
$$
\partial G_{1} = \Gamma \cup \Gamma_{1},\ \partial G_{2} = \Gamma^{-} \cup \Gamma_{2}.\nonumber
$$

Применяя формулу Грина в каждой из областей $G_{1}$ и $G_{2}$, получаем
$$
\iint\limits_{G_{1}} \left[\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right]\ dx\ dy = \int\limits_{\partial G} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\Gamma_{1}} P\ dx + Q\ dy + \int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy,\nonumber
$$
$$
\iint\limits_{G_{1}} \left[\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right]\ dx\ dy = \int\limits_{\Gamma_{2}} P\ dx + Q\ dy + \int\limits_{\Gamma^{-}} P\ dx + Q\ dy.\nonumber
$$

Складывая эти два равенства и учитывая, что криволинейные интегралы по противоположно ориентированным кривым $\Gamma$ и $\Gamma^{-}$ взаимно уничтожаются, получаем, что формула Грина \eqref{ref1} верна для области $G = G_{1} \cup G_{2}$.

При помощи математической индукции теперь легко обобщить формулу Грина на односвязную область, которая при помощи $n-1$ непересекающихся гладких перегородок разбивается на области $G_{1}, \ldots, G_{n}$ простейшего вида (рис. 51.3). В частности, формула Грина обобщается на многоугольные области, ограниченные простыми замкнутыми ломаными. В общем случае можно доказать формулу Грина, аппроксимируя область с кусочно гладкой границей многоугольной областью. $\bullet$

Формула Грина для многосвязной области.

Формула Грина может быть обобщена и на случай многосвязной ($n$-связной) области, ограниченной внешним контуром $\Gamma$ и непересекающимися внутренними контурами $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n-1}$. Все контуры предполагаются кусочно гладкими. На рис. 51.4 изображены ограниченные двусвязная и трехсвязная области.

Внешний контур ориентируем так, чтобы при его обходе область оставалась слева. Так ориентированный контур будем обозначать $\Gamma$. А внутренние контуры ориентируем так, чтобы при их обходе область $G$ оставалась справа. Будем писать
$$
\partial G = \left(\bigcup_{i=1}^{n} \gamma_{i}^{-}\right) \bigcup \Gamma.\nonumber
$$

Пусть непрерывно дифференцируемое поле $(P(x, y), Q(x, y))$ задано в двусвязной области $G$, ограниченной кусочно гладкими простыми контурами: внешним $\Gamma$ и внутренним $\gamma$ (рис. 51.4).

При помощи гладких перегородок $\gamma_{3}$ и $\gamma_{4}$ (рис. 51.5) разделим двусвязную область $G$ на две односвязных, $G_{1}$ и $G_{2}$. Как видно из рис. 51.5,
$$
\Gamma = \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2},\ \gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}.\nonumber
$$

Применяя к $G_{1}$ и $G_{2}$ формулу Грина для односвязной области, получаем (рис. 51.5)
$$
\iint\limits_{G_{1}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\ dy = \int\limits_{\partial G_{1}} P\ dx + Q\ dy = \left(\int\limits_{\Gamma_{1}} + \int\limits_{\gamma_{3}} + \int\limits_{\gamma_{1}^{-}} + \int\limits_{\gamma_{4}}\right) (P\ dx + Q\ dy),\nonumber
$$
$$
\iint\limits_{G_{2}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\ dy = \int\limits_{\partial G_{1}} P\ dx + Q\ dy = \left(\int\limits_{\Gamma_{2}} + \int\limits_{\gamma_{4}^{-}} + \int\limits_{\gamma_{2}^{-}} + \int\limits_{\gamma_{3}^{-}}\right) (P\ dx + Q\ dy),\nonumber
$$
где в правой части употреблено сокращенное обозначение для суммы четырех криволинейных интегралов по соответствующим кривым. Складывая эти равенства и учитывая, что криволинейные интегралы по противоположно ориентированным кривым взаимно уничтожаются, получаем
$$
\iint\limits_{G} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\ dy = \int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy + \int\limits_{\gamma^{-}} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\partial G} P\ dx + Q\ dy.\nonumber
$$

Формально формула Грина для двусвязной области имеет тот же вид, что и для односвязной, если $\displaystyle\int\limits_{\partial G} P\ dx + Q\ dy$ понимать как сумму криволинейных интегралов по $\Gamma$ и $\gamma^{-}$.

Индукцией эта формула Грина обобщается и на $n$-связную область:
$$
\iint\limits_{G} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\ dy = \int\limits_{\partial G} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy + \sum_{i=1}^{\substack{n-1}} \int\limits_{\gamma_{i}^{-}} P\ dx + Q\ dy.\nonumber
$$

Применение формулы Грина к вычислению площадей.

Полагая в формуле Грина \eqref{ref1} $Q = x$, $P = -y$, получаем формулу для вычисления площади, ограниченной гладким контуром,
$$
m(G) = \frac{1}{2} \int\limits_{\partial G} x\ dy-y\ dx.\label{ref4}
$$

Иногда при практическом применении формулы \eqref{ref4} полезно воспользоваться тем, что
$$
x\ dy-y\ dx = (x^{2} + y^{2})d\left(\operatorname{arctg} \frac{y}{x}\right).\nonumber
$$

Пример 1.

Найти площадь, ограниченную кривой (рис. 51.6)
$$
x = \frac{3at}{1 + t^{3}},\quad y = \frac{3at^{2}}{1 + t^{3}},\quad 0 \leq t \leq +\infty.\nonumber
$$

Решение.

$\vartriangle$ Эта кривая (декартов лист), как нетрудно показать, симметрична относительно прямой $y = x$.

Поэтому можно ограничиться вычислением площади половинки листа, для которой $0 \leq t \leq 1$. Получаем
$$
x\ dy-y\ dx = (x^{2} + y^{2})d\left(\operatorname{arctg} \frac{y}{x}\right) = \frac{9a^{2}t^{2}(1 + t^{2})}{(1 + t^{3})^{2}}d(\operatorname{arctg} t) = \frac{9a^{2}t^{2}}{(1 + t^{3})^{2}}dt = -3a^{2}\ d\left(\frac{1}{1 + t^{3}}\right).\nonumber
$$

По формуле \eqref{ref4} площадь половинки листа Декарта равна
$$
m(G) = \frac{1}{2} \int\limits_{\Gamma} x\ dy-y\ dx = -\frac{3a^{2}}{2} \int\limits_{0}^{1} d\left(\frac{1}{1 + t^{3}}\right) = \frac{3a^{2}}{4},\nonumber
$$
а искомая площадь равна $\displaystyle\frac{3a^{2}}{2}$. $\blacktriangle$

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (плоский случай).

Пусть в области $G \subset \boldsymbol{R}^{2}$ задано непрерывное векторное поле $(P(x, y), Q(x, y))$. Например, это может быть силовое поле. Возьмем в области $G$ две произвольные точки, $A(x_{0}, y_{0})$ и $B(x, y)$. Соединим эти две точки кусочно гладкой кривой $\Gamma_{AB}$, лежащей в $G$. Вычислим интеграл $\displaystyle\int\limits_{\Gamma_{AB}} P\ dx + Q\ dy$. Этот интеграл можно интерпретировать как работу силы при движении точки по кривой $\Gamma_{AB}$. Вообще говоря, $\displaystyle\int\limits_{\Gamma_{AB}} P\ dx + Q\ dy$ зависит как от точек $A$ и $B$, так и от пути, по которому мы из точки $A$ приходим в точку $B$. Наша цель — выяснить условия независимости величины этого интеграла (работы силы) от пути интегрирования.

Теорема 1.

Следующие три условия эквивалентны:

для любой замкнутой ломаной $L \subset G$
$$
\int\limits_{L} P\ dx + Q\ dy = 0;\label{ref5}
$$
$\displaystyle\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy$ не зависит от ломаной $L_{AB} \subset G$, соединяющей точки $A$ и $B$;
поле $(P(x, y), Q(x, y))$ потенциально, то есть существует такая непрерывно дифференцируемая функция $U(x, y)$ (потенциал поля), что
$$
P(x, y)\ dx + Q(x, y)\ dy = dU,\nonumber
$$
$$
P(x, y) = \frac{\partial U(x, y)}{\partial x},\quad Q(x, y) = \frac{\partial U(x, y)}{\partial y}.\nonumber
$$

Доказательство.

$\circ$ Доказательство проведем по круговой схеме: $1.\Rightarrow 2. \Rightarrow 3.\Rightarrow 1.$

Докажем, что $1. \Rightarrow 2.$ Пусть выполнено условие $1.$ Возьмем две произвольных точки, $A$ и $B$, в области $G$. Соединим их ломаной $L_{AB}$. Пусть $L’_{AB}$ — любая другая ломаная, соединяющая точки $A$ и $B$. Тогда $L = L_{AB} + L’_{BA}$ есть замкнутая ломаная. В силу условия $1.$ имеем
$$
0 = \int\limits_{L} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy + \int\limits_{L’_{BA}} P\ dx + Q\ dy =\\= \int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy-\int\limits_{L’_{BA}} P\ dx + Q\ dy,\nonumber
$$
$$
\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{L’_{BA}} P\ dx + Q\ dy,\nonumber
$$
то есть интеграл $\nonumber\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy$ не зависит от ломаной $L_{AB}$, соединяющей точки $A$ и $B$.
Докажем, что $2. \Rightarrow 3.$ Пусть $\displaystyle\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy$ не зависит от ломаной $L_{AB}$, соединяющей точки $A$ и $B$. Фиксируем точку $A(x_{0}, y_{0})$, а точку $B(x, y)$ будем считать переменной. Тогда $\displaystyle\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy$ зависит только от точки $B$, и, следовательно, в области $G$ определена функция
$$
U(x, y) = \int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy.\nonumber
$$
Покажем, что функция $U(x, y)$ — потенциал поля. Соединим точки $B(x, y)$ и $C(x + \Delta x, y)$ отрезком $BC$, лежащим в области $G$ (рис. 51.7). Это всегда можно сделать при достаточно малом $\Delta x$, так как $G$ — открытое множество. Тогда
$$
\frac{1}{\Delta x} (u(x + \Delta x, y)-U(x, y)) = \frac{1}{\Delta x} \left[\int\limits_{L_{ABC}} P\ dx + Q\ dy-\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy\right] =\\= \frac{1}{\Delta x} \int\limits_{BC} P\ dx + Q\ dy = \frac{1}{\Delta x} \int\limits_{x}^{x + \Delta x} P(\xi, y) d\xi.\nonumber
$$

Рис. 51.7

Применяя при фиксированном $y$ к непрерывной функции $P(\xi, y)$ интегральную теорему о среднем, получаем
$$
\frac{1}{\Delta x} (U(x + \Delta x, y)-U(x, y)) = P(x + \theta \Delta x, y),\ \mbox{где}\ 0 < \theta < 1.\nonumber
$$

Воспользовавшись непрерывностью функции $P(x, y)$ и переходя к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$, получаем
$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{U(x + \Delta x, y)-U(x, y)}{\Delta x} = P(x, y) = \frac{\partial U}{\partial x}.\nonumber
$$

Аналогично доказывается, что $\displaystyle\frac{\partial U}{\partial y} = Q(x, y)$.

Так как $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ — непрерывные в области $G$ функции, то функция $U(x, y)$ непрерывно дифференцируема в области $G$.
Докажем, что $3. \Rightarrow 1.$ Это следует из более общего утверждения: если $P(x, y)\ dx + Q(x, y)\ dy = dU$, то для любого кусочно гладкого контура $\gamma$ справедливо равенство $\displaystyle\int\limits_{\gamma} P\ dx + Q\ dy = 0$. Действительно, если $x = x(t),\ y = y(t),\ \alpha \leq t \leq \beta$, есть уравнение кривой $\gamma$, то
$$
\int\limits_{\gamma} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\alpha}^{\beta} [P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)] dt =\\= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \left[\frac{\partial U}{\partial x} (x(t), y(t))x'(t) + \frac{\partial U}{\partial y} Q(x(t), y(t))y'(t)\right] dt =\\= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{d}{dt} [U(x(t), y(t))] dt = U(x(\beta), y(\beta))-U(x(\alpha), y(\alpha)) = 0,\nonumber
$$
так как начало и конец замкнутой кривой совпадают. $\bullet$

Следствие.

Если $\displaystyle\int\limits_{\gamma} P\ dx + Q\ dy$ равен нулю по любой замкнутой ломаной, то этот интеграл равен нулю и по любому кусочно гладкому контуру $\gamma$.

$\circ$ Пусть $\displaystyle\int\limits_{L} P\ dx + Q\ dy = 0$ для любой замкнутой ломаной $L$. Тогда существует потенциал $U(x, y)$ и
$$
P\ dx + Q\ dy = \frac{\partial U}{\partial x} (x, y)\ dx + \frac{\partial U}{\partial y} (x, y)\ dy.\nonumber
$$

Следовательно, $\displaystyle\int\limits_{\gamma} P\ dx + Q\ dy = 0$. $\bullet$

Теорема 1 не дает практического способа для выяснения вопроса о потенциальности поля $P, Q$. Для односвязной области $G$ докажем эффективный критерий, основанный на использовании формулы Грина.

Теорема 2.

Для того чтобы дифференцируемое в области $G$ поле было потенциальным, необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
\frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}.\label{ref6}
$$

Доказательство.

$\circ$ Необходимость. Пусть поле $(P(x, y), Q(x, y))$ непрерывно дифференцируемо и потенциально. Тогда
$$
P(x, y) = \frac{\partial U(x, y)}{\partial x},\quad Q(x, y) = \frac{\partial U(x, y)}{\partial y},\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial^{2} U(x, y)}{\partial x \partial y},\quad \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial^{2} U(x, y)}{\partial y \partial x}.\nonumber
$$

Так как производные $\partial P/\partial y$ и $\partial Q/\partial x$ непрерывны, то смешанные производные $U_{xy}$, $U_{yx}$ также непрерывны, а следовательно, равны. Условие \eqref{ref6} выполнено в области $G$.

Достаточность. Пусть поле $P, Q$ задано в односвязной области $G \subset \boldsymbol{R}^{2}$ и выполнено условие \eqref{ref6}.

Возьмем произвольную простую замкнутую ломаную $L \subset G$. Так как область $G$ односвязна, то ограничиваемая ломаной $L$ область $\Omega \subset G$ и к ней применима формула Грина
$$
\int\limits_{L} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\Omega} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\ dx\ dy = 0.\label{ref7}
$$

Таким образом, интеграл \eqref{ref7} равен нулю для любой простой замкнутой ломаной $L$.

Теперь нетрудно показать, что интеграл \eqref{ref7} равен нулю для любой замкнутой ломаной (даже имеющей точки самопересечения).

Для трехзвенной ломаной интеграл \eqref{ref7} всегда равен нулю, если эта ломаная замкнута. Если три ее вершины не лежат на одной прямой, то трехзвенная ломаная будет простой и по доказанному интеграл \eqref{ref7} равен нулю. Если же все три вершины лежат на одной прямой, то и в этом случае, как легко видеть, интеграл равен нулю (рис. 51.8).

То, что интеграл \eqref{ref7} равен нулю для любой $n$-звенной замкнутой ломаной, докажем индукцией по числу звеньев ломаной.

Пусть выполнено условие \eqref{ref6} и интеграл \eqref{ref7} равен нулю по любой замкнутой ломаной, число звеньев которой меньше, чем $n$. Покажем тогда, что криволинейный интеграл \eqref{ref7} равен нулю и по любой замкнутой $n$-звенной ломаной. Если ломаная $L(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{1})$ простая, то это уже доказано. Пусть у $L$ есть точки самопересечения. Предположим, что два звена, $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k + 1}$, пересекаются. Тогда либо они пересекаются в единственной точке В (рис. 51.8), либо эти два звена пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{k}$, $A_{k + 1}$ лежат на одной прямой (рис. 51.9).

Рассмотрим первый случай. За последующими рассуждениями проще следить по рис. 51.9. В случаях а) и б) ломаная $L$ будет объединением замкнутых ломаных $L_{1}(B, A_{k + 1}, \ldots, A_{n}, A_{1}, B)$ и $L_{2}(B, A_{2}, \ldots, A_{k}, B)$. Количество звеньев $L_{1}$ и $L_{2}$ меньше $n$. По предположению индукции интеграл \eqref{ref7} по каждой из этих ломаных равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по их объединению — ломаной $L$.

Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{k}$, $A_{k + 1}$ лежат на одной прямой и отрезки $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k + 1}$ пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка $A_{k}$ лежит на отрезке $A_{1}A_{2}$. Тогда $L$ есть объединение замкнутых ломаных $L_{1}(A_{k}, A_{k + 1}, \ldots, A_{n}, A_{1}, A_{k})$ и $L_{2}(A_{k}, A_{2}, \ldots, A_{k-1}, A_{k})$, имеющих меньше, чем $n$ звеньев. Интеграл \eqref{ref7} по $L_{1}$ и $L_{2}$ равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по ломаной $L$.

Так как интеграл \eqref{ref7} равен нулю по любой замкнутой ломаной $L \subset G$, то в силу теоремы 1 поле $(P, Q)$ будет потенциальным. $\bullet$

Заметим, что условие односвязности области существенно для справедливости теоремы 2. Подтвердим это следующим примером.

Пример 2.

Показать, что непрерывно дифференцируемое при $x^{2} + y^{2} > 0$ плоское векторное поле
$$
P(x, y) = -\frac{\omega}{2\pi} \frac{y}{x^{2} + y^{2}},\quad Q(x, y) = \frac{\omega}{2\pi} \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\label{ref8}
$$
удовлетворяет условию \eqref{ref6}, но не является потенциальным при $\omega \neq 0$.

Решение.

$\vartriangle$ Условие \eqref{ref6} выполняется, так как
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\omega}{2\pi} \frac{y^{2}-x^{2}}{(y^{2} + x^{2})^{2}} = \frac{\partial Q}{\partial x}.\nonumber
$$

Рассмотрим окружность $C_{R}$, заданную уравнениями $x = R \cos t$, $y = R \sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$. Тогда
$$
\int\limits_{C_{R}} P\ dx + Q\ dy = \frac{\omega}{2\pi} \int\limits_{C_{R}} \frac{x\ dy-y\ dx}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\omega}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} dt = \omega\nonumber
$$
и в силу теоремы 1 поле $(P, Q)$ не может быть потенциальным.

Теорема 2 неприменима, поскольку поле определено в неодносвязной области $G = \{(x, y): x^{2} + y^{2} > 0\}$. $\blacktriangle$

Замечание

В гидродинамике поле \eqref{ref8} интерпретируется как поле скоростей точечного вихря, расположенного в точке $(0, 0)$ и имеющего интенсивность $\omega$. Если перейти к полярным координатам $r$, $\varphi$, то
$$
v = (p, Q) = \frac{\omega}{2\pi r} (-\sin \varphi, \cos \varphi).\nonumber
$$
Жидкие частицы вращаются по концентрическим окружностям с постоянными скоростями, обратно пропорциональными расстоянию от точечного вихря (рис. 51.10).