Первая квадратичная форма поверхности.
Пусть простая поверхность задана векторным уравнением
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v),\ (u, v) \in \overline{\Omega},\label{ref1}
$$
где \(\Omega\) плоская область.
Найдем скалярный квадрат вектора
$$
d\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{u}(u, v)\ du + \boldsymbol{r}_{v}(u, v)\ dv.\nonumber
$$
Полагая
$$
E = (\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{u}),\quad F = (\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}),\quad G = (\boldsymbol{r}_{v}, \boldsymbol{r}_{v}),\label{ref2}
$$
получаем, что справедлива формула
$$
|d\boldsymbol{r}|^{2} = (d\boldsymbol{r}, d\boldsymbol{r}) = E(u, v)\ du^{2} + 2F(u, v)\ du\ dv + G(u, v)\ dv^{2}.\label{ref3}
$$
Выражение, стоящее в правой части равенства \eqref{ref3}, называется первой квадратичной формой поверхности, числа \(E\), \(F\) и \(G\) называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
Лемма 1.
Первая квадратичная форма простой поверхности положительно определена, то есть \(|d\boldsymbol{r}|^{2} > 0\), если \((du)^{2} + (dv)^{2} > 0\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как
$$
(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \cos \widehat{\boldsymbol{ab}},\quad |[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]| = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \cdot |\sin \widehat{\boldsymbol{ab}}|,\nonumber
$$
то справедливо тождество
$$
|[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} \cdot |\boldsymbol{b}|^{2}-|(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})|^{2},\nonumber
$$
Подставляя в это тождество \(\boldsymbol{a} = \boldsymbol{r}_{u}\), \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{r}_{v}\), и пользуясь тем, что в любой точке простой поверхности векторы \(\boldsymbol{r}_{u}\) и \(\boldsymbol{r}_{v}\) неколлинеарны, получаем
$$
|[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|^{2} = EG-F^{2} > 0.\nonumber
$$
Условия \(E > 0\), \(G > 0\), \(EG-F^{2} > 0\) достаточны для положительной определенности первой квадратичной формы поверхности. \(\bullet\)
Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхности метрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности, определить площадь поверхности. Например, дифференциалы длин дуг координатных кривых, проходящих через точку \(A(u, v)\) поверхности, равны следующим величинам:
$$
ds_{1} = |\boldsymbol{r}_{u}du| = \sqrt{E}|du|,\quad ds_{2} = |\boldsymbol{r}_{v}dv| = \sqrt{G}|dv|.\label{ref4}
$$
Площадь простой поверхности.
Пусть простая поверхность задана уравнением \eqref{ref1}. Рассмотрим на поверхности криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями \(u\), \(u + \Delta u\), \(v\), \(v + \Delta v\). Векторы \(\boldsymbol{r}_{u}(u, v)\Delta u\) и \(\boldsymbol{r}_{v}(u, v)\Delta v\) будут касательными к координатным линиям, проходящим через точку \(A(u, v)\) поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул \eqref{ref4} будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на \(o(\Delta u)\) и \(o(\Delta v)\) соответственно при \(\Delta u \rightarrow 0\), \(\Delta v \rightarrow 0\). Поэтому естественно считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади \(dS\) параллелограмма, построенного на векторах \(\boldsymbol{r}_{u} \Delta u\) и \(\boldsymbol{r}_{v} \Delta v\). Таким образом, при \(\Delta u > 0\), \(\Delta v > 0\).
$$
dS = |[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}] \Delta u \Delta v| = \sqrt{EG-F^{2}}\ du\ dv.\label{ref5}
$$
Выражение \eqref{ref5} называется элементом площади поверхности.
Определим формально площадь простой поверхности \(\Sigma\) как следующий двойной интеграл (область \(\Omega\) предполагается измеримой по Жордану):
$$
S(\Sigma) = \iint\limits_{\Omega} |[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|\ du\ dv = \iint\limits_{\Omega} \sqrt{EG-F^{2}}\ du\ dv.\label{ref6}
$$
Это определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади поверхности.
Свойство 1.
Число \(S(\Sigma)\) не зависит от способа параметризации поверхности.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть переход от параметрического уравнения \eqref{ref1} к параметрическому уравнению
$$
\boldsymbol{\rho} = \boldsymbol{\rho}(u’, v’),\ (u’, v’) \in \Omega’,\nonumber
$$
совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно дифференцируемого отображения области \(\Omega’\) на область \(\Omega\) с якобианом, не равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой отсюда и формулой замены переменных в двойном интеграле, получаем
$$
S(\Sigma) = \iint\limits_{\Omega’} |[\boldsymbol{\rho}_{u’}, \boldsymbol{\rho}_{v’}]|\ du’\ dv’ = \iint\limits_{\Omega’} |[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]| \cdot \left|\frac{\partial(u, v)}{\partial(u’, v’)}\right|\ du’\ dv’ = \iint\limits_{\Omega} |[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|\ du\ dv.\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 2.
Если поверхность \(\Sigma\) есть плоская измеримая по Жордану область \(\Omega\), заданная уравнениями
$$
x = u,\ y = v,\ z = 0,\ (u, v) \in \Omega,\nonumber
$$
то ее площадь, вычисленная при помощи формулы \eqref{ref6}, совпадает с плоской мерой Жордана области \(\Omega\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как
$$
\boldsymbol{r} = (u, v, 0),\ \boldsymbol{r}_{u} = (1, 0, 0),\ \boldsymbol{r}_{v} = (0, 1, 0),\ E = G = 1,\nonumber F = 0,
$$
то
$$
S(\Sigma) = \iint\limits_{\Omega} |[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|\ du\ dv = \iint\limits_{\Omega} du\ dv = m(\Omega).\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 3.
Выражение \(S(\Sigma)\) аддитивно зависит от поверхности.
Доказательство.
\(\circ\) Если область \(\Omega\) гладкой перегородкой разбита на области \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\), то и поверхность \(\Sigma\) разобьется на простые поверхности \(\Sigma_{1}\) и \(\Sigma_{2}\). Из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следует, что
$$
S(\Sigma) = S(\Sigma_{1}) + S(\Sigma_{2}).\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 4.
Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области \(\Omega\), формула \eqref{ref6} для площади поверхности имеет следующий вид:
$$
S(\Sigma) = \iint\limits_{\Omega} \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}\ dx\ dy.\label{ref7}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Действительно, так как
$$
\boldsymbol{r} = (x, y, f(x, y)),\ \boldsymbol{r}_{x} = (1, 0, f_{x}(x, y)),\ \boldsymbol{r}_{y} = (0, 1, f_{y}(x, y)),\nonumber
$$
то
$$
E = \boldsymbol{r}_{x}^{2} = 1 + f_{x}^{2},\ F = (\boldsymbol{r}_{x}, \boldsymbol{r}_{y}) = f_{x}f_{y},\ G = \boldsymbol{r}_{y}^{2} = 1 + f_{y}^{2},\nonumber
$$
$$
EG-F^{2} = (1 + f_{x}^{2})(1 + f_{y}^{2})-f_{x}^{2}f_{y}^{2} = 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}.\ \bullet\nonumber
$$
Пример 1.
Найти площадь части сферы \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\), вырезаемой из нее цилиндром \(x^{2}-ax + y^{2} = 0\) (см. рис. 48.10).
Решение.
\(\triangle\) В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенствами и равенствами:
$$
x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2},\ x^{2}-ax + y^{2} \leq 0,\ x \geq 0,\ y \geq 0,\ z \geq 0.\label{ref8}
$$
Если перейти к сферическим координатам, полагая
$$
x = a \cos \psi \cos \varphi,\ y = a \cos \psi \sin \varphi,\ z =a \sin \psi,\label{ref9}
$$
то система равенств и неравенств \eqref{ref8} эквивалентна равенствам \eqref{ref9} и неравенствам
$$
0 \leq \varphi \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\label{ref10}
$$
определяющим в плоскости параметров \(\varphi, \psi\) треугольную область \(\Omega\) (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть образ треугольной области \(\Omega\) при отображении \eqref{ref9}.
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем
$$
\boldsymbol{r} = (a \cos \psi \cos \varphi,\ a \cos \psi \sin \varphi,\ a \sin \psi),\nonumber
$$
$$
\boldsymbol{r}_{\psi} = (-a \sin \psi \cos \varphi,\ -a \sin \psi \sin \varphi,\ a \cos \psi),\nonumber
$$
$$
\boldsymbol{r}_{\varphi} = (-a \cos \psi \sin \varphi,\ a \cos \psi \cos \varphi,\ 0),\nonumber
$$
$$
E = \boldsymbol{r}_{\psi}^{2} = a^{2},\ F = (\boldsymbol{r}_{\varphi}, \boldsymbol{r}_{\psi}) = 0,\ G = \boldsymbol{r}_{\varphi}^{2} = a^{2} \cos^{2} \psi.\nonumber
$$
Площадь части сферы \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\), вырезаемой из нее цилиндром \(x^{2}-ax + y^{2} = 0\), равна
$$
S(\Sigma) = 4 \iint\limits_{\Omega} \sqrt{EG-F^{2}}\ d\varphi\ d\psi = 4 \int\limits_{0}^{\pi/2} d\varphi \int\limits_{\varphi}^{\pi/2} a^{2} \cos \psi\ d\psi = 4a^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right).\ \blacktriangle\nonumber
$$
Площадь почти простой поверхности.
Почти простая поверхность задается уравнением \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v)\), \((u, v) \in \overline{\Omega}\), где \(\Omega\) — плоская область. По определению найдется последовательность ограниченных областей \(\{\Omega_{n}\}\) такая, что \(\overline{\Omega}_{n} \subset \Omega_{n + 1}\), \(\displaystyle\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}\) а поверхности \(\Sigma_{n}\), определяемые уравнениями \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v)\), \((u, v) \in \overline{\Omega}\), являются простыми. Предположим дополнительно, что области \(\Omega_{n}\) измеримы по Жордану. Тогда под площадью \(S(\Sigma)\) почти простой поверхности будем понимать \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} S(\Sigma_{n})\).
Так как числовая последовательность \(S(\Sigma_{n})\) монотонно возрастает, то она всегда имеет конечный или бесконечный предел
$$
S(\Sigma) = \lim_{n \rightarrow \infty} S(\Sigma_{n}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \iint\limits_{\Omega_{n}} \sqrt{EG-F^{2}}\ du\ dv = \iint\limits_{\Omega} \sqrt{EG-F^{2}}\ du\ dv.\label{ref11}
$$
Интеграл в формуле \eqref{ref11} нужно понимать как несобственный. Если область \(\Omega\) измерима по Жордану, а функция \(\sqrt{EG-F^{2}}\) ограничена на \(\Omega\), то интеграл в формуле \eqref{ref11} будет двойным интегралом Римана.
Найти площадь части боковой поверхности конуса \(z^{2} = x^{2} + y^{2}\), \(z \geq 0\), вырезаемой из нее цилиндром \(x^{2}-ax + y^{2} = 0\).
\(\triangle\) Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из нее цилиндром, через \(\Sigma\). Если перейти к цилиндрическим координатам, то \(\Sigma\) будет почти простой поверхностью, определяемой параметрическими уравнениями
$$
x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi,\ z = r,\ (r, \varphi) \in \Omega,\nonumber
$$
$$
\Omega = \left\{(r, \varphi): r \leq a \cos \varphi,\ -\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\right\}.\nonumber
$$
Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности:
$$
\boldsymbol{r} = (r \cos \varphi, r \sin \varphi, r),\ \boldsymbol{r}_{\varphi} = (-r \sin \varphi, r \cos \varphi, 0),\nonumber
$$
$$
\boldsymbol{r}_{r} = (\cos \varphi, \sin \varphi, 1),\ E = \boldsymbol{r}_{\varphi}^{2} = r^{2},\ F = 0,\ G = \boldsymbol{r}_{r}^{2} = 2,\nonumber
$$
$$
\sqrt{EG-F^{2}}\ dr\ d\varphi = r\sqrt{2}\ dr\ d\varphi.\nonumber
$$
Применяя формулу \eqref{ref11}, получаем
$$
S(\Sigma) = \iint\limits_{\Omega} \sqrt{2}r\ dr\ d\varphi = \sqrt{2} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} d\varphi \int\limits_{0}^{a \cos \varphi}\ r\ dr = \frac{\pi a^{2} \sqrt{2}}{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Если поверхность \(\Sigma\) не является простой или почти простой, но может быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее площадью называют сумму площадей всех простых кусков.