Производная n-го порядка.
Вторая производная.
Определение.
Пусть функция \(f(x)\) имеет производную во всех точках интервала \((a,b)\). Если функция \(f'(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\in (a,b)\), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) и обозначают \(f″(x_0)\), \(f^{(2)}(x_{0})\), \(\displaystyle \frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}}\), \(f_{xx}″(x_0)\). Таким образом, по определению
$$
f″(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.\nonumber
$$
Заметим, что функцию \(f'(x)\) часто называют первой производной или производной первого порядка функции \(f(x)\), а под производной нулевого порядка \(f^{(0)}(x)\) подразумевается функция \(f(x)\), то есть \(f^{(0)}(x)\equiv f(x)\).
Пример 1.
Найти \(f″(x)\), если:
- \(f(x)=\sin^{2}x\);
- \(f(x)=e^{-x^{2}}\);
- \(f(x)=\operatorname{ln}(x+\sqrt{x^2+1})\);
- \(f(x)=|x|^{3}\).
Решение.
- \(\triangle\) Так как \(f'(x)=2\sin {x}\cos {x}=\sin 2x\), то \(f″(x)=2\cos{2x}\).
- \(f'(x)=-2xe^{-x^2},\;f″(x)=-2e^{-2x^2}+(-2x)^2e^{-2x^2}=2e^{-x^2}(2x^2-1)\).
- Так как \(f'(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\), то \(f″(x)=-x(x^2+1)^{-3/2}\).
- Если \(x\neq 0\), то
$$
f'(x)=\left\{\begin{array}{l}3x^2\quad при\quad x\;>\;0\\-3x^2\quad при\quad x\;<\;0\end{array}\right.\label{ref1}
$$
а если \(x=0\), то по определению производной
$$
f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|^{3}}{x}=0.\label{ref2}
$$
Следовательно,
$$
f'(x)=3x^{2}\operatorname{sign}x.\label{ref3}
$$
Из равенства \eqref{ref1} следует, что
$$
f″(x)=\left\{\begin{array}{l}6x\quad при\quad x\;>\;0\\-6x\quad при\quad x\;<\;0\end{array}\right.\nonumber
$$Покажем, пользуясь определением производной, что \(f″(0)\) существует и \(f″(0)=0\). Из \eqref{ref2} и \eqref{ref3} находим
$$
f″(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}\operatorname{sign}x}{x}=0.\nonumber
$$Таким образом, \(f″(x)=6|x|\), то есть
$$
(|x|)^{3})″=6|x|.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Дадим физическое истолкование второй производном. Пусть материальная точка движется прямолинейно, и пусть \(S=S(t)\) — путь, пройденный ею за время \(t\) от начала движения. Тогда \(v=S'(t)\) — скорость точки в момент времени \(t\).
Отношение \(\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{S'(t+\Delta t)-S'(t)}{\Delta t}\) представляет собой среднее ускорение точки на промежутке времени от \(t\) до \(t+\Delta t\), а предел этого отношения (если он существует), равный \(S″(t)\) , называют ускорением точки в момент \(t\).
Таким образом, вторая производная пути по времени есть ускорение точки в момент времени \(t\).
Выведем, далее, формулу для второй производной функции в случае, когда эта функция задана параметрически. Пусть функции \(x=x(t)\) и \(y=y(t)\) удовлетворяют условиям, указанным нами ранее, и пусть, кроме того, существуют производные \(x″(t_0)\) и \(y″(t_{0})\), которые будем обозначать соответственно \(x_{tt}″,\ y_{tt}″\). Тогда функция \(y=у(x)\) имеет в точке \(x_0\), где \(x_0=x(t_{0})\), вторую производную \(y_{xx}″=y_{xx}″(x_{0})\), причем
$$
y_{xx}″=\left(\frac{y_{t}’}{x_{t}’}\right)_{t}’\frac{1}{x_{t}’},\label{ref4}
$$
или
$$
y_{xx}″=\frac{y_{tt}″x_{t}’-y_{t}’x_{tt}″}{(x_{t}’)^{3}}.\label{ref5}
$$
\(\circ\) Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
$$
y_{xx}″=(y_{x}’)_{t}’t_{x}’,\nonumber
$$
где \(y_{x}’=\displaystyle \frac{y_{t}’}{x_{t}}\), \(t_{x}’=\displaystyle \frac{1}{x_{t}’}\), откуда следует формула \eqref{ref4}, которую можно представить в виде \eqref{ref5}. \(\bullet\)
Пример 2.
Найти \(y_{xx}″\), если \(\displaystyle x=\frac{1}{\cos t},\ y=\operatorname{tg}t-t,\ 0 < t <\displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Решение.
\(\triangle\) Так как \(x_{t}’=\displaystyle \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\), \(y_{t}’=\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}t}-1=\frac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}\), то \(y_{x}’=\displaystyle \frac{y_{t}’}{x_{t}}=\sin t\), и по формуле \eqref{ref4} получаем
$$
y_{xx}″=\cos t\frac{1}{x_{t}’}=\frac{\cos^{3}t}{\sin t}.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Обратимся к вопросу о вычислении второй производной сложной и неявной функции.
Если функция \(y=y(x)\) имеет вторую производную в точке \(x_0\), а функция \(z=z(y)\) — вторую производную в точке \(y_0\), где \(y_0=y(x_0)\), то существует вторая производная в точке \(x_0\) сложной функции \(w=z(y(x))\), причем
$$
w″(x_{0})=z_{yy}″(y_{x}’)^{2}+z_{y}’y_{xx}″,\label{ref6}
$$
где в правой части формулы \eqref{ref6} опущены обозначения аргументов.
\(\circ\) Заметим сначала, что в некоторой окрестности точки \(x_0\) определена сложная функция \(w=z(y(x))\), так как функции \(y(x)\) и \(z(y)\) непрерывны соответственно в точках \(x_0\) и \(y_0\), причем \(y_0=у(x_0)\). По правилу дифференцирования сложной функции \(w_{x}’=z_{y}’y_{x}’\), откуда \(w_{xx}″=(z_{y}’)_{x}’y_{x}’+z_{y}’y_{xx}″\), где \((z_{y}’)_{x}’=z_{yy}″y_{x}’\). Формула \eqref{ref6} доказана. \(\bullet\)
Вторую производную неявной функции в простейших случаях часто удается найти с помощью дифференцирования тождества, которое получается при вычислении первой производной.
Пример 3.
Найти \(y_{xx}″\), где \(y=y(x)\) — неявная функция, определяемая уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.\nonumber
$$
Решение.
Ранее мы уже доказали, что
$$
y_{x}’=-\frac{b^2x}{a^2y}.\label{ref7}
$$
Дифференцируя тождество \eqref{ref7} по \(x\) получаем \(y_{xx}″=-\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}y}+\frac{b^{2}x}{a^{2}y^{2}}y_{x}’\), откуда, используя формулу \eqref{ref7} и равенство \(a^2y^2+b^2x^2=a^2b^2\), находим
$$
y_{xx}″=-\frac{b^{4}}{a^{2}y^{3}}.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Производная n-го порядка.
Производную от второй производной функции \(f(x)\) называют третьей производной или производной третьего порядка этой функции и обозначают \(f′′′(x)\) или \(f^{(3)}(x)\). Аналогично определяются производные любого порядка.
Пусть функция \(f(x)\) имеет на интервале \((a,b)\) производные \(f'(x),\ldots,\ f^{(n-1)}(x)\). Если в точке \(x\in(a,b)\) существует производная функции \(f^{(n-1)}(x)\), то эту производную называют производной n-го порядка или n-й производной функции \(f(x)\) и обозначают \(f^{(n)}(x)\).
Таким образом, если функция \(f(x)\) имеет в точке \(x\) производные до n-го порядка включительно, то
$$
f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))’,\nonumber
$$
то есть
$$
f^{(n)}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f^{(n-1)}(x+\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\Delta x}.\nonumber
$$
Функцию, имеющую в каждой точке множества \(E\) производные до n-го порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве \(E\).
Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют в точке \(x\) производные \(n\)-го порядка. Тогда функция \(Af(x)+Bg(x)\), где \(A\) и \(B\) — постоянные, также имеет производную n-го порядка в точке \(x\) причем
$$
(Af(x)+Bg(x))^{(n)}=Af^{(n)}(x)+Bg^{(n)}(x).\label{ref8}
$$
При вычислении производных любого порядка часто используют следующие основные формулы.
$$
(x^\alpha)^{(n)}=\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-(n-1))x^{\alpha-n}.\label{ref9}
$$
В частности, если \(\alpha=m\), где \(m\in\mathbb{N}\), то
$$
{(x^m)}^{(n)}=\left\{\begin{array}{l}m!\quad при\quad n=m\\0\quad при\quad n\;>\;m\end{array}\right.\label{ref10}
$$
$$
(a^x)^{(n)}=a^x\operatorname{ln}^na,\quad a\;>\;0,\quad a\neq 1\label{ref11}
$$
В частности,
$$
(e^{x})^{(n)}=e^{x}.\label{ref12}
$$
Далее,
$$
\left(\frac{1}{x+\alpha}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+\alpha)^{n+1}}.\label{ref13}
$$
$$
(\operatorname{ln}|x+\alpha|)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+\alpha)^{n}}.\label{ref14}
$$
$$
(\sin x)^{(n)}=\sin {\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)},\label{ref15}
$$
$$
(\cos x)^{(n)}=\cos {\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)}.\label{ref16}
$$
Формулы \eqref{ref9}-\eqref{ref14} легко проверяются с помощью индукции. Докажем формулу \eqref{ref15}. Так как \((\sin x)’=\cos x\), то из равенства \(\cos x=\sin {\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\) следует справедливость формулы \eqref{ref15} при \(n=1\). Применив метод индукции, докажем, что формула \eqref{ref15} верна при любом \(n\in\mathbb{N}\). Аналогично проверяется формула \eqref{ref16}. Из равенств \eqref{ref15} и \eqref{ref16} следует, что если \(\alpha=\operatorname{const}\), то
\begin{align}
(\sin {\alpha x})^{(n)}=\alpha^n\sin {\left(\alpha x+n\frac{\pi}{2}\right)},\nonumber\\
(\cos {\alpha x})^{(n)}=\alpha^n \cos {\left(\alpha x+n\frac{\pi}{2}\right)}.\label{ref17}
\end{align}
Пример 4.
Найти \(f^{(n)}(x)\), если:
- \(f(x)=\sin^{3}x\);
- \(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^{2}-3x+2}\).
Решение.
- Из равенства \(\sin^{3} x=3\sin x-4\sin^3 x\) следует, что \(\sin^{3} x=\displaystyle \frac{3}{4}\sin x-\displaystyle \frac{1}{4}\sin3x\). Применяя формулы \eqref{ref8} и \eqref{ref17}, получаем
$$
(\sin^{3}х)^{(n)}=\frac{3}{4}\sin \left(x+n\frac{\pi}{2}\right)-\frac{3^{n}}{4}\sin \left(3x+n\frac{\pi}{2}\right).\nonumber
$$ - Так как \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}-3x+2}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\), то, применяя формулу \eqref{ref13}, получаем
$$
\left(\frac{1}{x^{2}-3x+2}\right)^{(n)}=(-1)^{n}n!\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right).\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Формула Лейбница.
Теорема.
Если функции \(u\) и \(v\) имеют в точке \(x\) производные n-го порядка, то функция \(uv\) также имеет в точке \(x\) производную n-го порядка, причем
$$
(uv)^{(n)}=uv^{(n)}+C_{n}^{1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_{n}^{2}u^{(2)}v^{(n-2)}+\ldots+C_{n}^{n-1}u^{(n-1)}v^{(1)}+u^{(n)}v,\label{ref18}
$$
где \(C_{n}^{k}=\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots(n-(k-1))}{k!},\; 1\leq k\leq n\).
Формулу \eqref{ref18} называют формулой Лейбница и записывают в виде
$$
(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n-k)},\label{ref19}
$$
где \(u^{(0)}=u,\ v^{(0)}=v,\ C_{n}^{0}=1\).
Доказательство.
\(\circ\) Докажем формулу \eqref{ref18} методом индукции. При \(n=1\) эта формула верна, так как
$$
(uv)’=uv’+vu’.\nonumber
$$
Пусть формула Лейбница верна для производной n-го порядка. Докажем справедливость этой формулы для производной (n+1)-го порядка, предполагая, что существуют \(u^{(n+1)}\) и \(v^{(n+1)}\). Так как функции \(u\) и \(v\) имеют производные n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки \(x\), то в силу индуктивного предположения равенство \eqref{ref19} справедливо в окрестности точки \(x\). Дифференцируя это равенство и учитывая, что
$$
(u^{(k)}v^{(n-k)})’=u^{(k+1)}v^{(n-k)}+u^{(k)}v^{(n+1-k)},\nonumber
$$
получаем
$$
(uv)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k+1)}v^{(n-k)}+\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n+1-k)}.\label{ref20}
$$
Преобразуем суммы в правой части равенства \eqref{ref20}, выделяя в первой сумме последнее слагаемое, а во второй — первое и сдвигая индекс суммирования в первой сумме на единицу. Получим
$$
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k+1)}v^{(n-k)}=u^{(n+1)}v+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}u^{(k)}v^{(n+1-k)},\nonumber
$$
$$
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n+1-k)}=u^{(n+1)}+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n+1-k)}.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
(uv)^{(n+1)}=uv^{(n+1)}+\sum_{k=1}^{n}(C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k})u^{(k)}v^{(n+1-k)}+u^{(n+1)}v.\nonumber
$$
Используя равенство \(C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\), получаем
$$
(uv)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}u^{(k)}v^{(n+1-k)},\nonumber
$$
то есть формула Лейбница справедлива для производных (n+1)-го порядка. \(\bullet\)
Пример 5.
Найти \(f^{(n)}(x)\) при \(n > 2\), если:
- \(f(x)=(x-1)^2\sin x\sin (x-1)\);
- \(f(x)=(1-2x^2)\ln (1-3x)^3\).
Решение.
- Так как \(\sin x\sin (х-1)=\displaystyle \frac{1}{2}(\cos 1-\cos(2x-1))\) то, применяя формулу Лейбница \eqref{ref18}, вторую из формул \eqref{ref17} и учитывая, что \(((x-1)^{2})^{(k)}=0\) при \(k > 2\), получаем (при \(n > 2\))
$$
f^{(n)}(x)=-(x-1)^{2}2^{n-1}\cos\left(2x-1+\frac{n\pi}{2}\right)-n(x-1)2^{n-1}\cos \left(2x-1+\frac{(n-1)\pi}{2}\right)-n(n-1)2^{n-3}\cos \left(2x-1+\frac{(n-2)\pi}{2}\right).\nonumber
$$ - Применяя формулы \eqref{ref18} и \eqref{ref14}, получаем (\(n\;>\;2\))
$$
f^{(n)}(x)=(2x^{2}-1)\frac{3^{n+1}(n-1)!}{(1-3x)^n}+4xn\frac{3^{n}(n-2)!}{(1-3x)^{n-1}}+2n(n-1)\frac{3^{n-1}(n-3)!}{(1-3x)^{n-2}}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Дифференциал n-го порядка.
Пусть функция \(y=f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\). Тогда ее дифференциал
$$
dy=f'(x)dx\nonumber
$$
в точке \(x\in(a,b)\), который называют также первым дифференциалом функции \(f\), зависит от двух переменных, а именно от \(x\) и \(dx\).
Если дифференциал \(dx\), совпадающий с приращением \(\Delta x\) независимого переменного \(x\) не меняется (фиксирован), то дифференциал \(dy\) является функцией только от \(x\). Дифференциал этой функции, то есть дифференциал от \(f'(x)dx\), где \(dx\) — постоянная величина, называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции \(y=f(x)\) в точке \(x\) и обозначают \(d^{2}y\) или \(d^{2}f\). При этом предполагается, что при вычислении дифференциала \(d(dy)\) (если он существует) приращение \(dx\) независимого переменного выбрано таким же, как и при вычислении первого дифференциала.
Пусть функция \(f\) имеет вторую производную в точке \(x\). Тогда, пользуясь тем, что \(dg=g'(x)dx\) и \(d(Cg)=Cdg\), где \(C=const\), получаем
$$
d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=dxd(f'(x))=dxf″(x)dx=f″(x)dx^{2}.\nonumber
$$
Таким образом, при указанных выше условиях второй дифференциал функции \(y=f(x)\) в точке \(x\) существует, причем
$$
d^{2}y=f″(x)dx^{2} =y″dx^2,\label{ref21}
$$
где
$$
dx^{2}=(dx)^{2}.\nonumber
$$
Аналогично, предполагая, что функция \(y=f(x)\) имеет в точке \(x\) производную n-го порядка, определим n-й дифференциал \(d^{n}y\) как дифференциал от \(d^{n-1}y\), то есть
$$
d^{n}y=d(d^{n-1}y).\nonumber
$$
Предполагая, что приращение независимого переменного при вычислении первого и всех последующих дифференциалов выбирается одним и тем же, легко доказать методом индукции формулу
$$
d^{n}y=f^{(n)}(x)dx^{n}.\label{ref22}
$$
Из формулы \eqref{ref22} следует, что
$$
y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{dx^n},\nonumber
$$
то есть производная \(n\)-го порядка функции \(y=f(x)\) равна отношению дифференциала \(n\)-го порядка этой функции к n-й степени дифференциала независимого переменного.
Из формулы \eqref{ref22} следует, что
$$
d^{n}x=0\ при \ n > 1,\nonumber
$$
то есть дифференциал n-го порядка независимого переменного при \(n\geq 2\) равен нулю.
Отметим еще следующие свойства дифференциалов \(n\)-го порядка в предположении существования \(u^{(n)}\) и \(v^{(n)}\).
- \(d^{n}(Au+Bv)=Ad^{n}u+Bd^{n}v\), \(A,B\) — постоянные;
- \(d^{n}(uv)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v\).
Первое из этих свойств следует из равенств \eqref{ref22} и \eqref{ref8}, а второе — из равенства \eqref{ref22} и формулы \eqref{ref19}.
Замечание.
Дифференциал второго порядка, в отличие от первого дифференциала, не обладает свойством инвариантности формы, то есть формула \eqref{ref21} не сохраняется при замене \(x\) на функцию \(\varphi(t)\).
\(\circ\) Действительно, пусть, \(x=\varphi(t)\), тогда \(y=f(x)=f(\varphi(t))\). Если существуют \(f″(x)\) и \(\varphi″(t)\), то, используя определение дифференциала и правила дифференцирования произведения и сложной функции, получаем
$$
dy=f'(x)dx=f'(\varphi(t))\varphi'(t)dt,\nonumber
$$
откуда
$$
d^{2}y=(f'(\varphi(t))\varphi'(t))’dt^{2}=f″(\varphi(t))(\varphi'(t)dt)^{2}+f'(\varphi(t))\varphi″(t)dt^{2}.\nonumber
$$
Так как \(\varphi'(t)dt=dx,\;\varphi″(t)dt^{2}=d^{2}x\), то
$$
d^{2}y=f″(x)dx^{2}+f'(x)d^{2}x,\nonumber
$$
или
$$
d^{2}y=y″dx^{2}+y’d^{2}x.\label{ref23}
$$
Из равенств \eqref{ref21} и \eqref{ref23} следует, что при замене \(x\) на функцию \(\varphi(t)\) изменяется вид второго дифференциала — в нем появляется слагаемое \(y’d^{2}x\). Если \(x=\varphi(t)=at+b\), где \(a,b\) — постоянные, то \(d^{2}x=0\), и в этом случае вид второго дифференциала не меняется. \(\bullet\)