Вертикальная асимптота.
Определение 1.
Если выполнено хотя бы одно из условий
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=\infty,\qquad\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\infty,\nonumber
$$
то прямую \(x=x_{0}\) называют вертикальной асимптотой графика функции \(y=f(x)\).
Например, прямая \(x=0\) — вертикальная асимптота графиков функций \(y=\displaystyle \frac{1}{x}\), \(y=\operatorname{lg}x^2\), \(y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\), \(y=\operatorname{cth}x\), прямая \(x=-1\) — вертикальная асимптота графика функции \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\), прямые \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2} +\pi k\ (k\in \mathbb{Z})\) — вертикальные асимптоты графика функции \(y=\operatorname{tg}x\).
| Асимптота | Функция | График функции |
| \(x=0\) | \(y=\displaystyle \frac{1}{x}\) |
 |
| \(y=\operatorname{lg}x^2\) |
 |
|
| \(y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\) |
 |
|
| \(y=\operatorname{cth}x\) |
 |
|
| \(x=-1\) | \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\) |
 |
Асимптота (невертикальная асимптота).
Определение 2.
Прямую
$$
y=kx+b\nonumber
$$
называют асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функции \(y=f(x)\) при \( x\rightarrow+\infty\), если
$$
\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-(kx+b))=0.\label{ref29}
$$
Если \(k\neq 0\), то асимптоту называют наклонной, а если \(k=0\), то асимптоту \(y=b\) называют горизонтальной.
Аналогично вводится понятие асимптоты при \(x\rightarrow-\infty\).
Например, прямая \(y=0\) — горизонтальная асимптота графиков функции \(y=\displaystyle \frac{1}{x}\), \(y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\) при \(x\rightarrow +\infty\) и \(x\rightarrow -\infty\), графика функции \(y=a^x,\ a > 1)\), при \(x\rightarrow -\infty\). Прямая \(y=1\) — асимптота графиков функций \(y=e^{1/x}\), \(y=\operatorname{th}x\) и \(y=\operatorname{cth}x\) (см.график ниже) при \(x\rightarrow +\infty\); прямая \(y=\displaystyle \frac{\pi}{2}\) — асимптота графика функции \(y=\operatorname{arctg}x\) при \(x\rightarrow +\infty\) (см.график ниже), а прямая \(y=\pi\) — асимптота графика функции \(y=\operatorname{arcctg}x\) при \(x\rightarrow -\infty\).
| Асимптота | Функция | График функции |
| \(y=1\) | \(y=e^{1/x}\) |
 |
| \(y=\operatorname{th}x\) |
 |
|
| \(y=\operatorname{cth}x\) |
|
|
| \(y=\displaystyle \frac{\pi}{2}\) | \(y=\operatorname{arctg}x\) |
 |
| \(y=\pi\) | \(y=\operatorname{arcctg}x\) |
 |
Пример 1.
Найти асимптоту при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\) графика функции:
- \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\);
- \(y=\displaystyle \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}\);
- \(y=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}\);
- \(y=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x}e^{-5/(3x)}\).
Решение.
- \(\triangle\) Так как \(y=-2+\displaystyle \frac{5}{x+1}\), то прямая \(y=-2\) — асимптота графика \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\) (рис. 9.4) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\).
\(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\) - Разделив числитель \(x^{3}\) на знаменатель \((x+1)^2\) по правилу деления многочленов (можно воспользоваться равенством \(x^{3}=((x+1)-1)^{3}=(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+3(x+1)-1\)), получим
$$
\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}=x-2+\frac{3x+2}{(x+1)^{2}}.\label{ref30}
$$
Отсюда следует, что асимптотой графика функции \(y=\displaystyle \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}\) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\) является прямая \(y=x-2\). - Используя равенство \(y=\displaystyle \sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1/3}\) и локальную формулу Тейлора, получаем \(y=x\left(1+\displaystyle \frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x+\frac{1}{3}+o(1)\) при \(x\rightarrow 0\), откуда следует, что прямая \(y=x+\displaystyle \frac{1}{3}\) — асимптота графика функции \(y=\sqrt[3]{x^3+x^2}\) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\).
- Применяя формулу Тейлора для экспоненты, получаем \(y=\left(x-\displaystyle \frac{4}{x}\right)\left(1-\frac{5}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x-\frac{5}{3}+o(1)\) при \(x\rightarrow \infty\), откуда следует, что \(y=x-\displaystyle \frac{5}{3}\) — асимптота графика данной функции при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\). \(\blacktriangle\)
Теорема 1.
Для того, чтобы прямая \(y=kx+b\) была асимптотой графика функции \(y=f(x)\) при \( x\rightarrow+\infty\), необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
$$
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=k,\label{ref31}
$$
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-kx)=b.\label{ref32}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Если прямая \(y=kx+b\) — асимптота графика функции \(y=f(x)\) при \(x\rightarrow+\infty\), то выполняется условие \eqref{ref29} или равносильное ему условие
$$
f(x)=kx+b+\alpha(x),\quad \alpha(x)\rightarrow 0 \quad при \quad x\rightarrow +\infty.\label{ref33}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref33} на \(x\), получим
$$
\frac{f(x)}{x}=k+\frac{b}{x}+\frac{\alpha(x)}{x},\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref{ref31}.
Из равенства \eqref{ref33} получаем
$$
f(x)-kx=b++\alpha(x),\ где \ \alpha(x)\rightarrow 0 \ при \ x\rightarrow+\infty,\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref{ref32}.
Достаточность. Если существуют конечные пределы \eqref{ref31} и \eqref{ref32}, то \(f(x)-(kx+b)=\alpha(x)\), где \(\alpha(x)\rightarrow 0\) при \(x\rightarrow+\infty\), то есть выполняется условие \eqref{ref29}. Это означает, что прямая \(y=kx+b\) — асимптота графика функции \(y=f(x)\) . \(\bullet\)
Для случая горизонтальной асимптоты данная теорема формулируется в следующем виде: для того, чтобы прямая \(y=b\) была асимптотой графика функции \(y=f(x)\) при \(x\rightarrow+\infty\), необходимо и достаточно, чтобы \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=b\).