Почленное дифференцирование ряда Фурье.
Теорема 1.
Если \(f(x)\) — кусочно гладкая \(2\pi\)-периодическая и непрерывная функция, то ряд Фурье производной \(f'(x)\) получается при помощи формального почленного дифференцирования ряда Фурье функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(a_{n}\) и \(b_{n}\) — коэффициенты Фурье функции \(f(x)\), а \(a’_{n}\) и \(b’_{n}\) — коэффициенты Фурье производной \(f'(x)\). Воспользовавшись непрерывностью и периодичностью функции и интегрируя по частям, получаем, что
$$
a’_{0} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x)\ dx = \frac{1}{\pi} (f(\pi)-f(-\pi)) = 0,\nonumber
$$
$$
\pi a’_{n} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos nx\ dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi} n f(x) \sin nx\ dx = n \pi b_{n},\nonumber
$$
$$
\pi b’_{n} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x) \sin nx\ dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi} n f(x) \cos nx\ dx = n \pi a_{n}.\nonumber
$$
Поэтому
$$
f'(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} a’_{n} \cos nx + b’_{n} \sin nx =\\= \sum_{n=1}^{\infty} nb_{n} \cos nx-na_{n} \sin nx = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)’.\ \bullet\nonumber
$$
Следствие 1.
Если \(2\pi\)-периодическая функция \(f(x)\) имеет непрерывные производные до порядка \(k-1\) и \(f^{(k-1)}(x)\) — кусочно гладкая функция, то ряд Фурье функции \(f^{(k)}(x)\) получается \(k\)-кратным почленным дифференцированием ряда Фурье функции \(f(x)\).
Следствие 2.
Если выполнены условия следствия 1, то для коэффициентов Фурье справедливы следующие асимптотические равенства:
$$
a_{n} = o(n^{-k}),\ b_{n} = o(n^{-k}),\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$
\(\circ\) В силу следствия 1 ряд Фурье функции \(f^{(k)}(x)\) получается при помощи \(k\)-кратного почленного дифференцирования ряда Фурье функции \(f(x)\), то есть
$$
f^{(k)}(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} n^{k}a_{n} \cos \left(nx + k\frac{\pi}{2}\right) + n^{k}b_{n} \cos \left(nx + k\frac{\pi}{2}\right).\nonumber
$$
С точностью до знака числа \(n^{k}a_{n}\) и \(n^{k}b_{n}\) являются коэффициентами Фурье абсолютно интегрируемой на \([-\pi, \pi]\) функции \(f^{(k)}(x)\). Так как в силу следствия из леммы Римана коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при \(n \rightarrow \infty\), то
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{k}a_{n} = 0,\ \lim_{n \rightarrow \infty} n^{k}b_{n} = 0,\nonumber
$$
что и требовалось доказать. \(\bullet\)
Почленное интегрирование ряда Фурье.
Теорема 2.
Для кусочно непрерывной и \(2\pi\)-периодической функции \(f(x)\) справедливо равенство
$$
\int\limits_{0}^{x} f(t)\ dt = \frac{a_{0}x}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{k} \frac{\sin kx}{k} + b_{k} \frac{1-\cos kx}{k},\label{ref1}
$$
где ряд в правой части получен формальным почленным интегрированием ряда Фурье функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
\Phi(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)\ dt-\frac{a_{0}x}{2}.\label{ref2}
$$
Функция \(\Phi(x) + \displaystyle\frac{a_{0}x}{2}\) в точках непрерывности \(f(x)\) имеет непрерывную производную, равную \(f(x)\), в точках разрыва первого рода функции \(f(x)\) функция \(\Phi(x) + \displaystyle\frac{a_{0}x}{2}\) имеет обе односторонние производные, равные \(f(x + 0)\) и \(f(x-0)\). Поэтому непрерывная и кусочно гладкая функция \(\Phi(x)\) удовлетворяет условию
$$
\Phi(x + 2\pi)-\Phi(x) = \int\limits_{x}^{2\pi + x} f(t)\ dt-a_{0}\pi = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t)\ dt-a_{0}\pi = 0,\nonumber
$$
из которого следует ее \(2\pi\)-периодичность.
Для функции \(\Phi(x)\) выполнены все условия теоремы 2, § 64 и ее ряд Фурье сходится к \(\Phi(x)\) в любой точке \(x \in \boldsymbol{R}\). Пусть
$$
\Phi(x) = \frac{A_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos nx + B_{n} \sin nx.\label{ref3}
$$
Из теоремы 1 следует, что коэффициенты Фурье функций \(f(x)\) и \(\Phi(x)\) связаны при \(n\;>\;0\) следующими соотношениями:
$$
b_{n} = -nA_{n},\quad a_{n} = -nB_{n}\label{ref4}
$$
Чтобы найти коэффициент \(A_{0}\), воспользуемся тем, что равенство \eqref{ref3} справедливо при любом \(x \in \boldsymbol{R}\). Полагая в этом равенстве \(x = 0\), получаем, что
$$
\frac{A_{0}}{2} = -\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}.\label{ref5}
$$
Подставляя в формулу \eqref{ref3} выражения \eqref{ref4} и \eqref{ref5} для коэффициентов Фурье, получаем формулу \eqref{ref1}. \(\bullet\)
Пример 1.
Используя ряд Фурье для функции \(\operatorname{sign}\ x\) (мы уже разбирали этот пример), доказать, что:
- \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos (2n + 1)x}{(2n + 1)^{2}},\quad 0 \leq x \leq \pi\);
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n + 1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8}\);
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}\).
Решение.
\(\vartriangle\) Так как функция \(\operatorname{sign}\ x\) является кусочно непрерывной, то в силу теоремы 2 справедливо равенство
$$
\int\limits_{\pi/2}^{x} \operatorname{sign}\ x\ dx = \frac{4}{\pi} \sum_{n = 0}^{\infty} \int\limits_{\pi/2}^{x} \dfrac{\sin(2n + 1)t}{2n + 1}\ dt,\ 0 \leq x \leq \pi,
$$
из которого следует первое равенство.
Полагая в первом равенстве \(x = 0\), получаем второе равенство.
Если обозначить сумму ряда в третьем равенстве через \(S\), то для \(S\) получаем следующее уравнение:
$$
S = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \ldots = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \left(\frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{(2n)^{2}} + \ldots\right) = \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{1}{4}S,\nonumber
$$
из которого следует, что \(S = \displaystyle\frac{\pi}{6}\), то есть третье равенство. \(\blacktriangle\)