Частные производные.
Пусть функция
$$
f(x) = f(x_{1}, \ldots, x_{n})\nonumber
$$
определена в окрестности точки \(x^{0} = (x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\). Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\varphi (x_{1}) = f(x_{1},x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\nonumber
$$
Функция \(\varphi (x_{1})\) может иметь производную в точке \(x_{1}^{0}\). По определению такая производная называется частной производной \(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x^{0})\).
Таким образом,
$$
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x^{0}) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = \lim_{\substack{\vartriangle x_{1}\longrightarrow 0}}\frac{f(x_{1},x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) — f(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})}{\vartriangle x_{1}}\nonumber
$$
где \(\vartriangle x_{1} = x_{1} — x_{1}^{0}\).
Аналогично определяются частные производные (первого порядка)
$$
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}), i = \overline{2, n}.\nonumber
$$
Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка:
$$
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x^{0}) = f_{x_{i}}(x^{0}) = D_{i}f(x^{0}) = f_{x_{i}}^{‘}(x^{0}) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}f(x^{0}) = \frac{\partial f(x^{0})}{\partial x_{i}}.\nonumber
$$
Функция двух переменных может иметь в точке \(x^{0}, y^{0}\) две частные производные первого порядка
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x^{0}, y^{0}),\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x^{0}, y^{0}).\nonumber
$$
Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x^{0}, y^{0}, z^{0}),\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x^{0}, y^{0}, z^{0}),\quad \frac{\partial f}{\partial z}(x^{0}, y^{0}, z^{0})\nonumber
$$
Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Например,
$$
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}\frac{\partial}{\partial x}(x^{2} + y^{2}) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.\nonumber
$$
Дифференцируемость функции многих переменных в точке.
Дадим определение дифференцируемости функции в точке.
Определение.
Функция \(f(x) = f(x_{1}, \ldots, x_{n})\) называется дифференцируемой в точке \(x^{0} = (x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа \(A_{1}, \ldots, A_{n}\), что
$$
f(x) — f(x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}A_{i}(x_{i} — x_{i}^{0}) + o(\rho(x, x^{0})),\quad при \ x \rightarrow x^{0}.\label{ref1}
$$
Теорема 1.
Функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки \(x^{0}\) функция \(f(x)\) может быть представлена в следующем виде:
$$
f(x) = f(x^{0}) + \sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0})\label{ref2}
$$
где функции \(f_{i}(x)\) непрерывны в точке \(x^{0}\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство \(\psi(x) = o(\rho(x, x^{0}))\) при \(x \longrightarrow x^{0}\) означает, что \(\psi(x) = \varepsilon(x)\rho(x, x^{0})\), где \(\displaystyle\lim_{\substack{x \longrightarrow x^{0}}}\varepsilon(x) = 0\).
Тогда
$$
\psi(x) = \dfrac{\varepsilon(x)}{\rho(x, x^{0})} \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(x_{i} — x_{i}^{0})^{2} = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\varepsilon_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}),\label{ref3}
$$
где \(\varepsilon_{i}(x) = \varepsilon(x)\dfrac{(x_{i} — x_{i}^{0})}{\rho(x, x^{0})}\), \(\displaystyle\lim_{\substack{x \longrightarrow x^{0}}}\varepsilon(x) = 0\), так как \(0 \leq \dfrac{|(x_{i} — x_{i}^{0})|}{\rho(x, x^{0})} \leq 1\).
Доопределим функции \(\varepsilon_{i}(x)\) в точке \(x^{0}\) по непрерывности, полагая \(\displaystyle\lim_{\substack{x \longrightarrow x^{0}}}\varepsilon_{i}(x) = \varepsilon_{i}(x^{0}) = 0\).
Тогда из \eqref{ref1} и \eqref{ref3} получаем
$$
f(x) = f(x^{0}) + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}A_{i}(x_{i} — x_{i}^{0}) + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\varepsilon_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}) =\\= f(x^{0}) + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}f_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}),\quad f_{i}(x) = A_{i} + \varepsilon_{i}(x).\nonumber
$$
Так как функции \(\varepsilon_{i}(x)\) непрерывны в точке \(x^{0}\), то и функции \(f_{i}(x)\) непрерывны в точке \(x^{0}\) и \(f_{i}(x^{0}) = A_{i}\), \(i = \overline{1, n}\).
Пусть выполнено \eqref{ref2}. Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции \(f_{i}(x)\) в точке \(x^{0}\), положим
$$
A_{i} = f_{i}(x^{0}),\quad f_{i}(x) = A_{i} + \varepsilon_{i}(x),\quad \lim_{\substack{x \longrightarrow x^{0}}}\varepsilon_{i}(x) = 0.\nonumber
$$
Получаем
$$
f(x) — f(x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}A_{i}(x_{i} — x_{i}^{0}) + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\varepsilon_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}) =\\= \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}A_{i}(x_{i} — x_{i}^{0}) + o(\rho(x, x^{0})),\nonumber
$$
так как
$$
\frac{\displaystyle\left|\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0})\right|}{\rho(x, x^{0})} \leq \sum_{i=1}^{n}\vert\varepsilon_{i}(x)\vert \rightarrow 0\quad при \ x \rightarrow x^{0}. \ \bullet\nonumber
$$
Пример 1.
Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] {x^{3} + y^{4}}\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\).
Решение.
\(\vartriangle\) Покажем, что существует число \(C > 0\) такое, что для любых \(x \in \boldsymbol {R}\) и \(y \in \boldsymbol {R}\) справедливо неравенство
$$
|\sqrt [3] {x^{3} + y^{4}} — x| \leq C |y|^{4/3}\label{ref4}
$$
Если \(y = 0\), то неравенство \eqref{ref4} справедливо при любом \(C\). Пусть \(y \neq 0\). Положим \(t = xy^{-4/3}\). Тогда неравенство \eqref{ref4} эквивалентно неравенству \(\vert \psi(t) \vert < C\), где \(\psi(t) =\displaystyle \sqrt [3] {1 + t^{3}} — t\).
Так как функция \(\psi(t)\) непрерывна на \(R\) и \(\psi(t) \rightarrow 0\) при \(t \rightarrow \infty\), то \(\psi(t)\) есть ограниченная функция на \(R\).
Итак, неравенство \eqref{ref4} установлено. Так как
$$
\left|\frac{y^{4/3}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\right| = |y|^{1/3}\frac{|y|}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \leq |y|^{1/3},\nonumber
$$
то
$$
y^{4/3} = o (\sqrt{x^{2} + y^{2}}),\quad при \ (x, y) \rightarrow (0, 0).\nonumber
$$
и, следовательно,
$$
\sqrt [3] {x^{3} + y^{4}} = x + o (\sqrt{x^{2} + y^{2}}),\quad при \ (x, y) \rightarrow (0, 0).\nonumber
$$
то есть функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\). \(\blacktriangle\)
Пример 2.
Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] {x^{3} + y^{3}}\nonumber
$$
недифференцируема в точке (0,0).
Решение.
\(\triangle\) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке \((0,0)\), тогда, согласно определению, существуют числа \(A\) и \(B\) такие, что
$$
f(x, y) — f(0, 0) = Ax + By + o(\rho),\quad \rho = \sqrt{x^{2} + y^{2}},\nonumber
$$
где \(f(x, y) = \sqrt [3] {x^{3} + y^{3}}, \ f(0, 0) = 0, \ A =\displaystyle \frac{\partial f(0, 0)}{\partial x} = 1, \ B = \frac{\partial f(0, 0)}{\partial y} = 1\).
Поэтому
$$
\sqrt [3] {x^{3} + y^{3}} = x + y + o(\sqrt{x^{2} + y^{2}}).\nonumber
$$
Пусть \(x = y > 0\), тогда
$$
\sqrt [3] {2} x = 2x + o(x)\nonumber
$$
или \((\sqrt [3] {2} — 2) x = o(x)\) при \(x \rightarrow 0\), что противоречит определению символа \(o(x)\). Следовательно, функция \(\sqrt [3] {x^{3} + y^{3}}\), недифференцируема в точке \((0, 0)\).
Второй способ. Если функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:
$$
\sqrt [3] {x^{3} + y^{3}} = x \varphi (x, y) + y \psi (x, y),\label{ref5}
$$
где функции \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) непрерывны в точке \((0,0)\).
Пусть \(k\) — произвольное число. Положим в \eqref{ref5} \(y = kx\). Тогда
$$
\sqrt[3]{1 + k^{3}}=\varphi(x,kx)+k\psi(x,kx).\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(x \rightarrow 0\) и пользуясь непрерывностью функций \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) в точке \((0,0)\), получаем, что при любом \(k\) выполняется равенство
$$
\sqrt [3] {1 + k^{3}} = \varphi (0, 0) + k \psi (0, 0) = a + kb.\nonumber
$$
Это неверно, так как функция \(\sqrt [3] {1 + k^{3}}\) не есть линейная функция (ее вторая производная по \(k\) не обращается тождественно в нуль). \(\blacktriangle\)
Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.
Теорема 2.
Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0} \in R^{n}\), то она имеет в точке \(x^{0}\) все частные производные \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x^{0}),\ i = \overline{1, n}\), и
$$
f(x) — f(x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x^{0})(x_{i} — x_{i}^{0}) + o(\rho(x, x^{0}))\quad при\ x \rightarrow x^{0}.\label{ref6}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\). Тогда найдутся такие числа \(A_{1}, \ldots, A_{n}\), что при \(x \rightarrow x^{0}\) будет выполнено равенство \eqref{ref1}. Пусть в этом равенстве \(x_{1} \neq x_{1}^{0}\), а \(x_{2} = x_{2}^{0}, \ldots, x_{n} = x_{n}^{0}\). Тогда равенство \eqref{ref1} принимает следующий вид:
$$
f(x_{1}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) — f(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = A_{1} (x_{1} — x_{1}^{0}) + o (|\Delta x_{1}|)\nonumber
$$
при \(x_{1} — x_{1}^{0} = \Delta x_{1} \longrightarrow 0\).
Следовательно, существует предел:
$$
A_{1} = \lim_{\substack{\Delta x_{1} \rightarrow 0}} \dfrac{f(x_{1}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) — f(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})}{\Delta x_{1}} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x^{0}).\nonumber
$$
Аналогично доказывается, что у функции \(f(x)\) в точке \(x^{0}\) существуют и остальные частные производные и что
$$
A_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x^{0}),\ i = \overline{2, n}.\nonumber
$$
Подставляя эти выражения в равенство \eqref{ref1}, получаем \eqref{ref6}. \(\bullet\)
Функция примера 2 имеет в точке \((0, 0)\) обе частные производные первого порядка:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{\substack{x \rightarrow 0}}\frac{f(x, 0) — f (0,0)}{x} = \lim_{\substack{x \rightarrow 0}}\frac{\sqrt[3]{x^{3}}}{x} = 1,\ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 1.\nonumber
$$
Так как функция \(f(x, y) = \sqrt [3] {x^{3} + y^{3}}\) примера 2 недифференцируема в точке \((0,0)\), то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке. Так, функция
$$
f(x, y) = \begin{cases}
\displaystyle\frac{2xy}{x^{2} + y^{2}} & \text{при \(x^{2} + y^{2} > 0\)}\\
0 & \text{при \(x = y = 0\)}
\end{cases}\nonumber
$$
не имеет предела при \(x, y) \rightarrow (0, 0)\), а поэтому и не является непрерывной в точке \((0,0)\). Тем не менее у этой функции в точке \((0,0)\) существуют обе частные производные:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{\substack{x \rightarrow 0}}\frac{f(x, 0) — f (0,0)}{x} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0.\nonumber
$$
Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.
Теорема 3.
Если все частные производные \(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x),\ i = \overline{1, n}\), определены в окрестности точки \(x^{0} \in R^{n}\) и непрерывны в точке \(x^{0}\), то функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\).
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z),\ \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)\), определены в некотором шаре \(S_{\varepsilon}(x^{0}, y^{0}, z^{0})\) и непрерывны в центре шара \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\).
Запишем приращение функции в следующем виде:
$$
f(x, y, z) — f(x^{0}, y^{0}, z^{0}) = f(x, y, z) — f(x^{0}, y, z) +\\+ f(x^{0}, y, z) — f(x^{0}, y^{0}, z) + f(x^{0}, y^{0}, z) — f(x^{0}, y^{0}, z^{0}).\nonumber
$$
Пусть \(x^{0} < x\). Рассмотрим функцию одной переменной \(\psi (t) = \int (l, y, z)\) при \(l \in [x^{0}, x]\). На этом отрезке функция \(\psi (l)\) имеет производную
$$
\psi’ (t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t, y, z).\nonumber
$$
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа для функции \(\psi (t)\) на отрезке \([x^{0}, x]\), получаем
$$
\psi (x) — \psi (x^{0}) = \psi’ (x^{0} + \theta (x — x^{0}))(x^{0}),\quad 0 < \theta < 1.\nonumber
$$
Если подставить в эту формулу выражение для \(\psi (t)\), то
$$
\begin{array}{c}f(x, y, z) — f(x^{0}, y, z) = f_{1}(x, y, z)(x — x^{0}),\\\displaystyle f_{1}(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}(x^{0} + \theta (x — x^{0}, y, z)).\end{array}\label{ref7}
$$
Так как частная производная \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)\) непрерывна в точке \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\), то существует
$$
\lim_{\substack{(x, y, z) \longrightarrow (x^{0}, y^{0}, z^{0})}} f_{1}(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}(x^{0}, y^{0}, z^{0}).\nonumber
$$
Аналогично,
$$
\begin{array}{c}f(x^{0}, y, z) — f(x^{0}, y^{0}, z) = f_{2}(x, y, z)(y — y^{0}),\\f(x^{0}, y^{0}, z) — f(x^{0}, y^{0}, z^{0}) = f_{3}(x, y, z)(z — z^{0}),\end{array}\label{ref8}
$$
где функции \(f_{2}(x, y, z)\) и \(f_{3}(x, y, z)\) имеют конечные пределы при \((x, y, z) \rightarrow (x^{0}, y^{0}, z^{0})\). Доопределяя эти функции в точке \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\) предельными значениями, получим, что функции \(f_{i}(x, y, z),\ i = \overline{1, 3}\), непрерывны в точке \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\). Таким образом,
$$
f(x, y, z) — f(x^{0}, y^{0}, z^{0}) =\\= (x — x^{0})f_{1}(x, y, z) + (y — y^{0})f_{2}(x, y, z) + (z — z^{0})f_{3}(x, y, z).\nonumber
$$
Из непрерывности функций \(f_{1}(x, y, z)\), \(f_{2}(x, y, z)\) и \(f_{3}(x, y, z)\) в точке \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\) и теоремы 1 следует дифференцируемость функции \(f(x, y, z)\) в точке \((x^{0}, y^{0}, z^{0})\). \(\bullet\)
Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.
Функция
$$
f(x, y) = \begin{cases}
(x^{2} + y^{2} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}), & \text{\(x^{2} + y^{2} > 0\)}\\
0, & \text{при \(x = y = 0\)}
\end{cases}\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\), так как
$$
f(x, y) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o(\sqrt{x^{2} + y^{2}})\nonumber
$$
при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\).
Но при \(x^{2} + y^{2} > 0\) частная производная
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2x \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} — \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\nonumber
$$
не имеет предела при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке \((0,0)\). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что \(\displaystyle\frac{\partial f (x, 0)}{\partial x}\) не имеет предела при \(x \rightarrow 0\).
Дифференцируемость сложной функции.
Теорема 4.
Пусть функции \(\varphi_{1} (x), \ldots, \varphi_{m} (x)\) дифференцируемы в точке \(x^{0} = (x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) \in R^{n},\ y^{0} = (\varphi_{1} (x^{0}), \ldots, \varphi_{m} (x^{0})) \in R^{n}\) и функция \(f(y) = f(y_{1}, \ldots, y_{m})\) дифференцируема в точке \(y^{0}\).
Тогда сложная функция
$$
\Phi (x) = f(\varphi_{1} (x), \ldots, \varphi_{m} (x))\nonumber
$$
дифференцируема в точке \(x^{0}\), причем при \(x \rightarrow 0\)
$$
\begin{array}{c}\Phi (x) — \Phi (x^{0}) = \displaystyle \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}A_{i}(x_{i} — x_{i}^{0}) + o(\rho(x, x^{0})),\\\displaystyle A_{i}\frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}}(x^{0}) = \sum_{\substack{y=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0})\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial x_{i}}(x^{0}),\ i = \overline{1, n}.\end{array}\label{ref9}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(f(y)\) дифференцируема в точке \(y^{0}\), то в силу теоремы 1 найдутся функции \(f_{i}(y),\ y = \overline{1, m}\), непрерывные в точке \(y^{0} = (y_{1}^{0}, \ldots, y_{m}^{0})\) и такие, что
$$
f(y) — f(y^{0}) = \sum_{\substack{y=1} }^{\substack{m}}f_{i}(y)(y_{i} — y_{i}^{0}),\quad f_{i}(y^{0}) = \frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0}).\label{ref10}
$$
Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции
$$
\psi_{i} (x) = f_{i}(\varphi_{1} (x), \ldots, \varphi_{m} (x)),\quad j = \overline{1, m},\label{ref11}
$$
непрерывны в точке \(x^{0}\), причем
$$
\psi_{i} (x^{0}) = f_{i}(\varphi_{1} (x^{0}), \ldots, \varphi_{m} (x^{0})) = f_{i}(y^{0}) = \frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0}).\label{ref12}
$$
Подставив в \eqref{ref10} \(y_{1} = \varphi_{1} (x), \ldots, y_{m} = \varphi_{m} (x)\) и воспользовавшись обозначениями \eqref{ref11}, получаем
$$
\Phi (x) — \Phi (x^{0}) = \sum_{\substack{y=1} }^{\substack{m}}\psi_{i}(x)(\varphi_{i} (x^{0}) — \varphi_{i} (x^{0})).\label{ref13}
$$
Но функции \(\varphi_{i} (x^{0}),\ j = \overline{1, m}\), дифференцируемы в точке \(x^{0}\), поэтому найдутся такие непрерывные в точке \(x^{0}\) функции \(\varphi_{ij}(x)\), что
$$
\begin{array}{c}
\displaystyle \varphi_{j} (x) — \varphi_{j} (x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\varphi_{ij}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}),\quad \varphi_{ij}(x^{0})=\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial x_{i}}(x^{0}),\\ i = \overline{1, n},\quad j = \overline{1, m}.
\end{array}\label{ref14}
$$
Подставляя выражения \eqref{ref14} в \eqref{ref13}, получаем
$$
\Phi (x) — \Phi (x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\Phi_{i}(x)(x_{i} — x_{i}^{0}),\quad \Phi_{i}(x) = \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\varphi_{ij}(x) \psi_{j}(x).\label{ref15}
$$
Так как функции \(\psi_{j}(x)\) и \(\varphi_{ij}(x)\) непрерывны в точке \(x^{0}\), то и функции \(\Phi_{i}(x)\) непрерывны в точке \(x^{0}\). А это означает, что сложная функция \(\Phi(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\) (теорема 1).
Дифференцируемая функция \(\Phi(x)\) может быть записана в виде \eqref{ref9} с коэффициентами \(A_{i}\), равными, в силу \eqref{ref12} и \eqref{ref14},
$$
A_{i} = \Phi_{i} (x^{0}) = \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\varphi_{ij}(x) \psi_{j}(x) = \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0})\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{i}}(x^{0}) = \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}}(x^{0}).\ \bullet\nonumber
$$
Замечание.
Вторая из формул \eqref{ref9} дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.
Пример 3.
Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема во всех точках пространства \(R^{2}\). Перейти к полярным координатам и найти выражения для \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\) и \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\).
Решение.
\(\vartriangle\) Пусть \(F(r, \varphi) = f(r \cos \varphi, r \sin \varphi),\ x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi\). Тогда, пользуясь правилом \eqref{ref9}, получаем
$$
\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \cos \frac{\partial f}{\partial x} + \sin \varphi \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\left(x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}\right),\nonumber
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial \varphi} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi} = -r \sin \varphi \frac{\partial f}{\partial x} + r \cos \varphi \frac{\partial f}{\partial y} = -y \frac{\partial f}{\partial x} + x \frac{\partial f}{\partial y}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\). Тогда при \(x \rightarrow x^{0}\) ее можно записать в виде \eqref{ref5}:
$$
f(x) = f(x^{0}) + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f(x^{0})}{\partial x_{i}}(x^{0})(x_{i} — x_{i}^{0}) + o(\rho(x, x^{0})).\nonumber
$$
Положим по определению
$$
dx_{i} = \Delta x_{i} = x_{i} — x_{i}^{0}.\nonumber
$$
Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^{0}\), то линейную форму относительно приращений независимых переменных
$$
df(x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x^{0})dx_{i}\label{ref16}
$$
назовем дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^{0}\). Тогда
$$
f(x) = f(x^{0}) + d f(x^{0}) + o(\rho(x, x^{0})) \ \mbox{при} \ x \rightarrow x^{0}.\nonumber
$$
Иногда выражение \eqref{ref16} называют первым дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^{0}\).
Найдем теперь дифференциал сложной функции. Пусть функции \(\varphi_{1} (x), \ldots, \varphi_{m}(x)\) дифференцируемы в точке \(x^{0}\), а функция \(f(y_{1}, \ldots, y_{m})\) дифференцируема в точке \(y^{0} = (\varphi_{1} (x^{0}), \ldots, \varphi_{m}(x^{0}))\). Тогда в силу теоремы 3 сложная функция \(\Phi (x) = f(\varphi_{1} (x), \ldots, \varphi_{m}(x))\) дифференцируема в точке \(x^{0}\). Используя формулы \eqref{ref9}, получаем
$$
d \Phi (x^{0}) = d f(\varphi_{1} (x^{0}), \ldots, \varphi_{m}(x^{0})) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}}(x^{0})dx_{i} =\\= \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0})\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{i}}(x^{0})dx_{i} =\\= \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0})dy_{i}(x^{0}),\quad dy_{i}(x^{0}) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{i}}(x^{0})dx_{i}.\nonumber
$$
Итак,
$$
df(y_{1} (x^{0}), \ldots, y_{m}(x^{0})) = \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(y^{0})dy_{i}(x^{0}).\label{ref17}
$$
Если бы \(y_{1}, \ldots, y_{m}\) были независимыми переменными, то \(df(y^{0})\) отличался бы от дифференциала сложной функции \eqref{ref17} только тем, что в выражении \eqref{ref17} \(dy_{i}(x^{0})\) — дифференциалы функций \(\varphi_{i}\), а в
$$
df(y^{0}) = \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{m}}\frac{\partial f}{\partial y_{j}}(y^{0})dy_{j}\nonumber
$$
\(dy_{j}\) — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала является весьма удобным его свойством. При записи \(df(y^{0})\) в виде \eqref{ref17} мы можем не задумываться о том, являются ли переменные \(y_{1}, \ldots, y_{m}\) независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бывает затруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества \(G \subset R^{n}\). Тогда в каждой точке \(x \in G\) можно вычислить дифференциал
$$
df(x) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(y^{0})dx_{i}.\nonumber
$$
Он будет функцией \(2n\) переменных \(x_{1}, \ldots, x_{n}\), \(dx_{1}, \ldots, dx_{n}\), причем при фиксированных \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) дифференциал есть линейная функция \(dx_{1}, \ldots, dx_{n}\). Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:
- \(d(u + v) = du + dv\);
- \(d(uv) = u\ dv + v\ du\);
- \(d(\frac{u}{v}) = \displaystyle \frac{v\ du — u\ dv}{v^{2}},\ v \neq 0\).
Докажем, например, что \(d(uv) = u\ dv + v\ du\).
\(\circ\) Прежде всего заметим, что из теоремы о дифференцируемости сложной функции следует, что функция \(u(x)v(x)\) дифференцируема, если дифференцируемы функции \(u(x)\) и \(v(x)\). Далее, имеем
$$
d(uv) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial (uv)}{\partial x_{i}}dx_{i} = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\left(u \frac{\partial v}{\partial x_{i}} + v \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)dx_{i} =\\= u \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial v}{\partial x_{i}}dx_{i} + v \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}dx_{i} = u\ dv + v\ du.\ \bullet\nonumber
$$
Пример 4.
Найти дифференциал функции \(\displaystyle\operatorname{arctg}\frac{y}{x}\).
Решение.
\(\vartriangle\) Пусть \(u =\displaystyle \frac{y}{x}\), тогда
$$
d\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{x}\right) = d(\operatorname{arctg} u) = \frac{du}{1 + u^{2}}=\\=\frac{d(y/x)}{1 + (y/x)^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}\frac{x\ dy — y\ dx}{x^{2}} = \frac{x\ dy — y\ dx}{x^{2} + y^{2}}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Формула конечных приращений Лагранжа.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в выпуклой области \(G \subset R^{n}\). Напомним, что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек \(x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in G,\ y = (y_{1}, \ldots, y_{n}) \in G\) найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что
$$
f(y) — f(x) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f}{\partial y_{i}}(x + \theta(y — x))(y_{i} — x_{i}).\label{ref18}
$$
Формула \eqref{ref18} называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.
\(\circ\) Пусть точки \(x, y \in G\). Так как область \(G\) выпукла, то отрезок, соединяющий точки \(x\) и \(y\), лежит в области \(G\). Поэтому определена функция одной переменной
$$
\varphi (t) = f(x_{1} + t(y_{1} — x_{1}), \ldots, x_{n} + t(y_{n} — x_{n})),\ 0 \leq t \leq 1.\label{ref19}
$$
Очевидно, что \(\varphi (0) = f(x),\ \varphi (1) = f(y)\) и что функция \(\varphi (t)\) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем
$$
\varphi'(t) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{1} + t(y_{1} — x_{1}), \ldots, x_{n} + t(y_{n} — x_{n}))(y_{i} — x_{i}).\label{ref20}
$$
Применим к функции \(\varphi (t)\) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что \(\varphi (1) — \varphi (0) = \varphi’ (\theta)\). Используя формулы \eqref{ref19} и \eqref{ref20}, теперь легко получаем формулу \eqref{ref18}. \(\bullet\)
Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема на открытом множестве \(G \subset R^{2}\). Рассмотрим ее график
$$
\operatorname{Gr} f = \{(x, y, z):\ z = f(x, y),\ (x, y) \in G\}.\nonumber
$$
Пусть точка \(P(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) лежит на \(\operatorname{Gr} f\), то есть \(z_{0} = f(x_{0}, y_{0})\), и пусть гладкая кривая
$$
\Gamma = \{x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t),\ \alpha \leq t \leq \beta\}\nonumber
$$
лежит на графике и проходит через точку \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\). Это означает, что
$$
z(t) = f(x(t), y(t));\ (x(t_{0}),\ y(t_{0}),\ z(t_{0}) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}),\ t_{0} \in (\alpha, \beta).\label{ref21}
$$
Дифференцируя тождество \eqref{ref21} в точке \(t_{0}\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})dy.\label{ref22}
$$
Вектор \(d \tau = (dx, dy, dz)\) есть касательный вектор к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\). Введем вектор
$$
\textbf{N} = \left(- \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}),\ — \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}),\ 1\right).\label{ref23}
$$
Условие \eqref{ref22} означает, что вектор \(\textbf{N}\) ортогонален к касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\). Говорят, что вектор \(\textbf{N}\) ортогонален к кривой \(\Gamma\) в точке \(P\). Но \(\Gamma\) — любая гладкая кривая, лежащая на \(\operatorname{Gr} f\) и проходящая через точку \(P\). Поэтому вектор \(\textbf{N}\) ортогонален к любой кривой, лежащей на \(\operatorname{Gr} f\) и проходящей через точку \(P\). Он называется вектором нормали к \(\operatorname{Gr} f\) в точке \(P\).
Плоскость, проходящая через точку \(P\) и ортогональная вектору нормали \(\textbf{N}\), называется касательной плоскостью к \(\operatorname{Gr} f\) в точке \(P\). Ее уравнение есть
$$
Z — f(x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})(X — x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})(Y — y_{0}).\label{ref24}
$$
Прямая, проходящая через точку \(P\) и параллельная вектору \(N\), называется нормалью к \(\operatorname{Gr} f\) в точке \(P\). Ее уравнение —
$$
\frac{X — x_{0}}{- f_{x}(x_{0}, y_{0})} = \frac{Y — y_{0}}{- f_{y}(x_{0}, y_{0})} = Z — f(x_{0}, y_{0}).
$$
Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке \(P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in \operatorname{Gr} f\).
Из \eqref{ref24} получаем
$$
Z — f(x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})(x — x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})(y — y_{0}) = d\ f(x_{0}, y_{0}).\nonumber
$$
Таким образом, \(d\ f(x_{0}, y_{0})\) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция \(f(x, y, z)\) определена в области \(G \subset R^{3}\), и пусть точка \(P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in G\). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению
$$
\textbf{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma),\nonumber
$$
где
$$
\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1.\nonumber
$$
Так как \(P\) — внутренняя точка \(G\), то найдется число \(t_{0}\) такое, что отрезок
$$
x = x_{0} + t\cos \alpha,\ y = y_{0} + t\cos \beta,\ z = z_{0} + t\cos \gamma,\quad -t_{0} \leq t \leq t_{0},\nonumber
$$
лежит в области \(G\). Производной функции \(f(x, y, z)\) в точке \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) в направлении \(\textbf{l}\) назовем
$$
\frac{\partial f}{\partial l}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \lim_{\substack{t \rightarrow +0}}\frac{f(x_{0} + t\cos \alpha,\ y_{0} + t\cos \beta,\ z_{0} + t\cos \gamma) — f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}.\nonumber
$$
Теорема 5.
Если функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \(P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in G\), то производную по направлению \(\textbf{l}\) в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:
$$
\frac{\partial f}{\partial l}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \left.\frac{d}{dt}f(x_{0} + t\cos \alpha,\ y_{0} + t\cos \beta,\ z_{0} + t\cos \gamma)\right|_{t = 0} =\\= \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cos \gamma.\label{ref25}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Формула \eqref{ref25} есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. \(\bullet\)
Обозначим через \(\operatorname{grad} f(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) вектор
$$
\operatorname{grad} f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}, z_{0}), \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}, z_{0}), \frac{\partial f}{\partial z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right).
$$
Тогда равенство \eqref{ref25} можно записать в следующем виде:
$$
\frac{\partial f}{\partial l}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (\textbf{l},\ \operatorname{grad} f(x_{0}, y_{0}, z_{0})).\nonumber
$$
Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
$$
\nabla = \textbf{i}\frac{\partial}{\partial x} + \textbf{j}\frac{\partial}{\partial y} + \textbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\label{ref26}
$$
и договориться, что векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, \(\nabla\) действует как дифференциальный оператор, то
$$
(\textbf{l}, \nabla) =\cos \alpha \frac{\partial}{\partial x} + \cos \beta \frac{\partial}{\partial y} + \cos \gamma \frac{\partial}{\partial z}.\nonumber
$$
Тогда формулу \eqref{ref25} можно записать через оператор Гамильтона
$$
\frac{\partial f}{\partial l}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (\textbf{l}, \nabla)f(x_{0}, y_{0}, z_{0}).\nonumber
$$