Предел функции в точке.
Напомним, что окрестностью \(O(x^0)\) точки \(x^0\) в метрическом пространстве \(X\) называется любое множество, для которого точка \(x^0\) является внутренней. Проколотая окрестность \(\dot{O}(x^0)\) получается из \(O(x^0)\) удалением самой точки \(x^0\), то есть \(\dot{O}(x^0)=O(x^0)\backslash\{x^0\}\).
Будем рассматривать функции \(f: \ M\rightarrow R\), где \(M\) есть некоторое множество, принадлежащее метрическому пространству \(X\). Если \(X=R^n\), то функция \(f: \ M\rightarrow R\) называется функцией многих переменных и обозначается обычно следующим образом:
$$
f(x)=f(x_1,\ldots,x_n),\quad x\in M.\nonumber
$$
Например, функция \(\displaystyle \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\) определена в единичном круге пространства \(R^2\) с центром в точке \((0,0)\), а функция \(\operatorname{ln}(x_1^2+x_2^2)\) определена в любой проколотой окрестности точки \((0,0)\).
Определение 1.
Пусть функция \(f(x)\) определена в проколотой окрестности \(\dot{O}(x^0)\) точки \(x^0\) метрического пространства \(X\). Говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow x_0\), если \(\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0\) такое, что для \(\forall \ x\in\dot{O}(x^0)\), удовлетворяющего условию \(\rho(x,x^0) < \delta\), выполнено неравенство \(|f(x)-A| < \varepsilon\).
Определение 2.
Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в \(\dot{O}(x^0)\), имеет при \(x\rightarrow x_0\) предел \(A\), если для любой последовательности \(x^{(k)}\in\dot{O}(x^0)\) такой, что \(\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}x^{(k)}=x^0\), выполнено равенство \(\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}f(x^{(k)})=A\).
Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.
Если число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow x_0\), то будем писать
$$
A=\lim_{x\rightarrow x^0}f(x).\nonumber
$$
Если функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в \(\dot{O}((a,b))\), a число \(A\) есть ее предел при \((x,y)\rightarrow(a,b)\), то пишут
$$
A=\lim_{x\rightarrow a,y\rightarrow b}f(x,y)\nonumber
$$
и называют иногда число \(A\) двойным пределом.
Аналогично, для функции \(n\) переменных наряду с обозначением \(A=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)\) будем использовать обозначение
$$
A=\lim_{x\rightarrow x_1^0,\ldots,x_n\rightarrow x_n^0}f(x_1,\ldots,x_n).\nonumber
$$
Лемма 1.
Пусть функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) определены в \(\dot{O}(x^0)\) и \(|f(x)|\leq \varphi(x)\) в \(\dot{O}(x^0)\). Если \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}\varphi(x)=0\), то и \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=0\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}\varphi(x)=0\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдется шар \(S_{\delta}(x^0)\) такой, что для всех \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполнено неравенство \(|\varphi(x)| < \varepsilon\). Тем более для всех \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполнено неравенство \(|f(x)| < \varepsilon\), то есть \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=0\). \(\bullet\)
Пример 1.
Доказать, что \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}(x^2+y^2)^a=0\), если \(a > 0\).
Решение.
\(\triangle\) Возьмем любое \(\varepsilon > 0\). Положим \(\delta=\varepsilon^{1/(2a)}\). Пусть \((x,y)\in S_\delta(0, 0)\), тогда
$$
(x^2+y^2)^a < \delta^{2a} < \varepsilon,\nonumber
$$
то есть
$$
\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}(x^2+y^2)^a=0.\nonumber
$$
Что и требовалось доказать. \(\blacktriangle\)
Пример 2.
Показать, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\frac{|x|^{\alpha}|y|^{\beta}}{(x^2+y^2)^{\gamma}}=0\), если \(\alpha+\beta-2\gamma > 0\).
Решение.
\(\triangle\) Так как
$$
|x| < \sqrt{x^2+y^2},\qquad |y| < \sqrt{x^2+y^2},\nonumber
$$
то при \(x^2+y^2 > 0\) имеем неравенства
$$
0\leq f(x,y)=\frac{\vert x\vert^\alpha\vert y\vert^\beta}{(x^2+y^2)^\gamma}\leq\frac{(x^2+y^2)^{\alpha/2}(x^2+y^2)^{\beta/2}}{(x^2+y^2)^\gamma}=\\(x^2+y^2)^{(\alpha+\beta-2\gamma)/2}=\varphi(x,y).\nonumber
$$
В силу примера выше \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\varphi(x,y)=0.\), так как \(\alpha+\beta-2\gamma > 0\). Применяя лемму 1, получаем, что
$$
\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}f(x,y)=0.\nonumber
$$
Что и требовалось доказать. \(\blacktriangle\)
Пример 3.
Функция
$$
f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\label{ref1}
$$
не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\).
Решение.
\(\triangle\) Рассмотрим последовательность точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\). Тогда \(f(x_n,y_n)=1\) и, следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=1\). Если же взять последовательность точек \((x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)\), то \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n’,y_n’)=-1\).
Так как при любом \(n\in \mathbb{N}\) точки \((x_n,y_n)\) и \((x_n’,y_n’)\) не совпадают с точкой \((0,0)\), а последовательности точек \((x_n,y_n)\) и \((x_n’,y_n’)\) сходятся к точке \((0,0)\), то, используя определение 2 предела, получаем, что функция \(f(x,y)\) не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\). \(\blacktriangle\)
Пример 4.
Функция
$$
f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2}\label{ref2}
$$
не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\).
Решение.
\(\triangle\) Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\) и \((x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)\). Так как \((x_n,y_n)\rightarrow(0,0)\) и \((x_n’,y_n’)\rightarrow(0,0)\), а \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=0\) и \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n’,y_n’)=1\), то двойной предел функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow(0,0)\) не существует. \(\blacktriangle\)
Предел по множеству.
Предел \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)\) был определен ранее для функции, заданной в \(\dot{O}(x^0)\). Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.
Определение 3.
Пусть \(M\) есть подмножество области определения функции \(f(x)\), \(x^0\) — предельная точка множества \(M\). Будем говорить, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) по множеству \(M\) при \(x\rightarrow x^0\), если \(\forall\varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0\) такое, что \(\forall x\in{\dot S}_\delta(x^0)\cap M\) выполнено неравенство \(|f(x)-A| < \varepsilon\). В этом случае пишут
$$
A=\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M}f(x).\nonumber
$$
Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в проколотой окрестности \(\dot{O}(x_0,y_0)\). Пределом функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по направлению \(l=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) будем называть выражение
$$
\lim_{t\rightarrow+0}f(x_0+t\cos\alpha, \ y_0+t\sin\left(\alpha\right))=\lim_{\begin{array}{c}(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)\\(x,y)\in\dot O(x_0,y_0)\cap L\\\end{array}}f(x,y),\nonumber
$$
где \(L\) есть луч, выходящий из точки \((x_0,y_0)\) в направлении \(l\).
Пример 5.
Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2}\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)\) существует и равен \(\sin 2\alpha\).
Решение.
\(\triangle\) Так как при \(t > 0\) выполнено равенство
$$
f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha,\nonumber
$$
то
$$
\lim_{t\rightarrow 0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=\sin 2\alpha.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Пример 6.
Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac{2x^2y}{x^4+y^2}\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)\) существует и равен нулю.
Решение.
\(\triangle\) При \(t > 0\) справедливо равенство
$$
f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=\frac{2t\cos^2\alpha\sin\alpha}{t^2\cos^4\alpha+\sin^2\alpha}.\nonumber
$$
Если \(\sin\alpha=0\), то \(f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0\) и, следовательно,
$$
\lim_{t\rightarrow +0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\nonumber
$$
Если \(\sin\alpha\neq 0\), то
$$
\lim_{t\rightarrow +0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Ясно, что из существования \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M}f(x)\) следует существование \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M’}f(x)\) для любого подмножества \(M’\subset M\), для которого \(x’\) есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\) следует существование предела функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по любому направлению и равенство этих пределов двойному пределу функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\).
Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования и равенства пределов по любому направлению в точке \((x_0,y_0)\) не вытекает существование в этой точке предела функции.
Предел функции \(f(x)\) в точке \(x^0\in R^n\) по направлению \(l=(l_1,\ldots,l_n)\), где \(l_1^2+\ldots+l_n^2=1\), определяется по аналогии со случаем функции двух переменных.
Повторные пределы. Бесконечные пределы.
Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена на множестве
$$
\Pi={(x,y):\quad 0 < |x-x_0| < a,\quad 0 < |y-y_0| < b}.\nonumber
$$
Пусть \(\forall x\in (x_0-a, \ x_0+a), \ x\neq x_0\), существует \(\displaystyle\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y)=g(x)\), а функция \(g(x)\) определена в проколотой окрестности точки \(x_0\). Если существует \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y)\), то этот предел называется повторным. Аналогично определяется другой повторный предел \(\displaystyle\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\).
Как показывают простые примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.
Так для функции \(\displaystyle f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\) примера 3 двойной предел при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так как
$$
\lim_{x\rightarrow0}f(x,y)=\lim_{y\rightarrow0}f(x,y)=0.\nonumber
$$
Для функции
$$
f(x,y)=\left\{\begin{array}{lc}x\sin\frac1y,&y\neq0,\\0,&y=0,\end{array}\right.\nonumber
$$
справедливо неравенство \(|f(x,y)|\leq|x|\). В силу леммы 1 двойной предел этой функции при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) равен нулю. Но при \(x\neq 0\) не существует
$$
\lim_{y\rightarrow0}x\sin\frac1y,\nonumber
$$
а поэтому не существует и соответствующий повторный предел.
Бесконечные пределы для функций многих переменных определяются по той же схеме, что и для функций одной переменной. Например, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=+\infty\), если для любого числа \(C > 0\) число \(\delta > 0\), что для всех \(x\) из проколотой окрестности \(\dot{O}(x^0)\) точки \(x^0\) выполнено неравенство \(f(x) > C\).
Пример 7.
Показать, что
$$
\lim_{x\rightarrow +\infty,y\rightarrow +\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}=0.\nonumber
$$
Решение.
\(\triangle\) Так как при \(x > 0, \ y > 0\) справедливо неравенство
$$
0\leq (x^2+y^2)e^{-(x+y)}\leq(x+y)^2e^{-(x+y)}\nonumber
$$
и \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}t^2e^{-t}=0\), то \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists\delta > 0\) такое, что \(\forall t > \delta\) выполнено неравенство \(t^2e^{-t} < \varepsilon\). Но тогда \(\forall x > \displaystyle\frac{\delta}{2}\) и \(\forall y > \displaystyle\frac{\delta}{2}\) справедливо неравенство
$$
0\leq(x^2+y^2)e^{-(x+y)} < \varepsilon.\quad\blacktriangle\nonumber
$$