Комплексные числа

разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Определение комплексного числа.
    Начать изучение
  2. Свойства операций.
    Начать изучение
  3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
    Начать изучение
  4. Комплексная плоскость.
    Начать изучение
  5. Геометрический смысл модуля комплексного числа.
    Начать изучение
  6. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
    Начать изучение
  7. Извлечение корня.
    Начать изучение
  8. Комплекснозначные функции действительного переменного.
    Начать изучение

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0\nonumber
$$
не имеет корней на множестве \(\mathbb{R}\). Возникает потребность расширить множество \(\mathbb{R}\) так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\}\Leftrightarrow \{x_1=x_2\}\ \wedge\ \{y_1 = y_2\}.\nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label{ref1}
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label{ref2}
$$

Из формул \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).

Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref{ref2}, получим
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref{ref1}, \eqref{ref2}, находим
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label{ref3}
$$

Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref{ref3} называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи \eqref{ref3} число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), то есть
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$

Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).

Число \(\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), то есть
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt{x^2+y^2}.\label{ref4}
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\{|z| = 0\}\Leftrightarrow \{z=0\}\).

Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline{z}\) то есть
$$
\overline{z} = \overline{x+iy}= x-iy.\label{ref5}
$$
Из равенств \eqref{ref4} и \eqref{ref5} следует, что
$$
|z| = |\overline{z}|,\qquad    z\overline{z}=|z|^2,\label{ref6}
$$
так как \(z\overline{z}=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).


Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

  1. коммутативности, то есть
    $$
    z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
    $$
  2. ассоциативности, то есть
    $$
    (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
    $$
  3. дистрибутивности, то есть
    $$
    z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
    $$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref{ref2} можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb{C}\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb{C}\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb{R}\), а именно: для любого \(z \in \mathbb{C}\) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb{C}\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что
$$
z+z_2=z_1.\label{ref7}
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).

Из уравнения \eqref{ref7} в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$

Деление на множестве \(\mathbb{C}\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1\label{ref8}
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\).

Докажем, что уравнение \eqref{ref8} для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.

\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref{ref8} на \(\overline{z}_2\), получим в силу равенства \eqref{ref6} уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline{z}_2,\label{ref9}
$$
которое равносильно уравнению \eqref{ref8}, так как \(\overline{z}_2\neq 0\).

Умножая обе части \eqref{ref9} на \(\displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\), получаем \(z=\displaystyle\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2}\), то есть
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2},\nonumber
$$
или
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}.\ \bullet\nonumber
$$

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

Пример 1.

Найти частное \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).

Решение.

$$
\triangle\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-26i+8i^2}{25}=\frac7{25}-\frac{26}{25}i.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z=x+iy\) изображается точкой плоскости с координатами \((x,y)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между множеством \(\mathbb{C}\) и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу \(z\in\mathbb{C}\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((x,y)\), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((x,y)\) соответствует одно комплексное число \(z=x+iy\). Поэтому слова “комплексное число” и “точка плоскости” часто употребляются как синонимы.

При этом действительные числа, то есть числа вида \(x+0\cdot i\), изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, то есть числа вида \(iy = 0 + iy\) — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. 31.1
Рис. 31.1

На рис. 31.1 изображены точки \(z,\ -z,\ \overline{z},\ -\overline{z}\). Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\), а точки \(z\) и \(\overline{z}\) симметричны относительно действительной оси.

Геометрический смысл модуля комплексного числа.

Комплексное число \(z=x+iy\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\). Из рис. 31.1 или из формулы \eqref{ref4} видно, что длина вектора \(z\) равна \(|z|\) и справедливы неравенства \(|x|\leq |z|,\ |y|\leq |z|\), то есть
$$
|Re\ z|\leq |z|,\quad |Im\ z|\leq |z|.\nonumber
$$

Рис. 31.2
Рис. 31.2
Рис. 31.3
Рис. 31.3

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число \(z_1+z_2\) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \(z_1\) и \(z_2\), а вектор \(z_1-z_2\) можно построить как сумму векторов \(z_1\) и \(-z_2\). Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\) равно длине вектора \(z_1-z_2\), то есть равно \(|z_1-z_2|\). Это же утверждение следует из равенства
$$
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\nonumber
$$
Итак, \(|z_1-z_2|\) — расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\).

Пример 2.

Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

  1. \(|z-z_0| = R,\ R > 0\);
  2. \(1 < |z-1| < 2\);
  3. \(|z-i| = |z + i|\).

Решение.

  1. \(\triangle\) Условию \(z-z_0=R\), где \(R > 0\), \(z_0\) — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки \(z_0\) равно \(R\), то есть точки, лежащие на окружности радиуса \(R\) с центром в точке \(z_0\).
  2. Условию \(|z-1| < 2\) удовлетворяют все точки, лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке \(z = 1\), а условию \(|z-1| > 1\) — точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке \(z = 1\).
    Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями  \(|z-1| = 1\) и  \(|z-1| = 2\) (рис. 31.3).
  3. Условию \(|z-i| = |z + i|\) удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек \(i\) и \(-i\), то есть все точки действительной оси. \(\blacktriangle\)

Покажем, что для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) справедливы неравенства
$$
||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\label{ref10}
$$

\(\circ\) Рассмотрим треугольник с вершинами \(0,\ z_1\) и \(z_1+z_2\) (рис. 31.2). Длины его сторон равны \(|z_1|,\ |z_2|\) и \(|z_1+z_2|\). Поэтому неравенства \eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. \(\bullet\)


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(z = x + iy\) комплексной плоскости (рис. 31.4); тогда
$$
x= r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\label{ref11}
$$
где \(r=\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}=|z|,\ \varphi\) — угол между действительной осью и вектором \(z\), отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной. Этот угол называют аргументом комплексного числа \(z\ (z\neq  0)\) и обозначают \(\operatorname{arg}z\). Для числа \(z = 0\) аргумент не определяется, поэтому в дальнейшем при использовании понятия аргумента предполагается, что \(z\neq 0\).

Рис. 31.4
Рис. 31.4

Из равенств \eqref{ref11} следует, что любое комплексное число \(z = x + iy\), где \(z\neq 0\), представляется в виде
$$
z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).\label{ref12}
$$

Запись комплексного числа \(z\neq 0\) в виде \eqref{ref12} называют тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул \eqref{ref11} находим
$$
\cos\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\label{ref13}
$$

Решив систему \eqref{ref13}, найдем аргумент комплексного числа \(z\neq 0\). Эта система имеет бесконечно много решений вида \(\varphi= \varphi_0+2k\pi\), где \(k\in \mathbb{Z}\), \(\varphi_0\) — одно из решений системы \eqref{ref13}, то есть аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами \eqref{ref13}, а формулой
$$
\operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x},\label{ref14}
$$
получаемой почленным делением второго из равенств \eqref{ref13} на первое. Следует иметь в виду, что не все значения \(\varphi\), удовлетворяющие уравнению \eqref{ref14}, являются аргументами числа \(z\).

Пример 3.

Найти все аргументы числа \(-1+i\sqrt{3}\) и записать это число в тригонометрической форме.

Решение.

\(\triangle\) Комплексное число лежит во второй четверти, поэтому в качестве одного из решений уравнения \(\operatorname{tg}\varphi = -\sqrt{3}\) можно взять \(\varphi_0=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\), а все значения аргумента данного комплексного числа определяются формулой
$$
\varphi= \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\nonumber
$$

Так как \(|-1+i\sqrt{3}|=2\), то
$$
-1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).\quad \blacktriangle
$$

Если \(|z|=1,\ \varphi=\operatorname{arg}z\), то из формулы \eqref{ref12} получаем \(z=\cos\varphi+i\sin\varphi\). Комплексное число \(\cos\varphi+i\sin\varphi\) обозначают символом \(e^{i\varphi}\), то есть для любого \(\varphi\in\mathbb{R}\) функция \(e^{i\varphi}\) определяется формулой Эйлера
$$
e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.\label{ref15}
$$

Равенство \eqref{ref15} находит свое обоснование в теории рядов.

Из формулы \eqref{ref15} следует, что \(e^{2\pi i}=1,\ e^{\pi i}=-1,\ e^{\pi i/2}=i,\ e^{-\pi i/2}=-i\) (рис. 31.5) и \(|e^{i\varphi}|=1\) для любого \(\varphi\in\mathbb{R}\).

Рис. 31.5
Рис. 31.5

Заменяя в равенстве \eqref{ref15} \(\varphi\) на \(-\varphi\), получаем
$$
e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi,\label{ref16}
$$
а из равенств \eqref{ref15} и \eqref{ref16} следует, что
$$
\cos\varphi=\frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}),\qquad \sin\varphi=\frac{1}{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}).\label{ref17}
$$
Отметим, что
$$
e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2}=e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\qquad \frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}=e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}.\label{ref18}
$$

Для доказательства формул \eqref{ref18} следует воспользоваться формулами \eqref{ref15} и \eqref{ref2}, а также формулами синуса и косинуса суммы (разности) углов. С помощью индукции из \eqref{ref18} можно получить формулу Муавра
$$
e^{in\varphi}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi,\qquad n\in \mathbb{N}.\nonumber
$$

Используя формулы \eqref{ref12} и \eqref{ref15}, запишем комплексное число \(z\neq 0\) в показательной форме
$$
z = re^{i\varpi},\quad r=|r|,\quad \varphi=\operatorname{arg}z.\label{ref19}
$$

С помощью равенств \eqref{ref18} можно получить формулы для произведения и частного комплексных чисел: если \(z_1=r_1 e^{i\varphi_1},\ z_2=r_2 e^{i\varphi_2}\), то
$$
z_1z_2=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\label{ref20}
$$
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)},\quad z_2\neq 0.\label{ref21}
$$

Из формулы \eqref{ref20} следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то есть
$$
\begin{array}{c}\vert z_1z_2\vert=\vert z_1\vert\cdot\vert z_2\vert,\\\varphi_1+\varphi_2=arg(z_1+z_2),\end{array}\nonumber
$$
если \(\varphi_1=\operatorname{arg}z_1,\ \varphi_2=\operatorname{arg}z_2\).

Аналогично из формулы \eqref{ref21} следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного, то есть
$$
\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad z_2\neq 0,\nonumber
$$
и
$$
\varphi_1-\varphi_2=\operatorname{arg}\frac{z_1}{z_2},\nonumber
$$
если \(\varphi_1=\operatorname{arg}z_1,\ \varphi_2=\operatorname{arg}z_2\).

Пример 4.

Вычислить \(\displaystyle\frac{(1+i)^4}{(1-i\sqrt{3})^6}\).

Решение.

\(\triangle\) Так как
$$
1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4},\qquad 1-i\sqrt{3}=2e^{-i\pi/3},\nonumber
$$
то
$$
\frac{(1+i)^4}{(1-i\sqrt{3})^6}=\frac{(\sqrt{2})4 e^{i\pi}}{2^6 e^{-2\pi i}}=-\frac{1}{16}.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило равенства двух комплексных чисел в показательной форме: если \(z_1=r_1 e^{i\varphi_1}\) и \(z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}\), то \(z_1=z_2\) тогда и только тогда, когда
$$
r_1=r_2,\qquad \varphi_1=\varphi_2+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.\nonumber
$$

Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно сопряженных чисел. Пусть \(z = re^{i\varphi} = r\cos\varphi + ir\sin\varphi\), тогда \(\overline{z} = r\cos\varphi-ir\sin\varphi = re^{-i\varphi}\), т.e. если \(\varphi = \operatorname{arg}z\), то \(-\varphi=\operatorname{arg}\overline{z}\). Отсюда и из равенств \eqref{ref20}, \eqref{ref21} следует, что
$$
\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2},\quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\quad \overline{(z^n)}=(\overline{z})^n,\quad n\in \mathbb{N},\nonumber
$$
а из определения комплексно сопряженного числа следует, что
$$
\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\quad \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}.
$$


Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt[n]{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt[n]{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt[n]{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt[n]{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

Решение.

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt[8]{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6
Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)


Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in [\alpha,\beta]\) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \([\alpha,\beta]\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью интегрирования по частям в решенном ранее примере.

Оставить комментарий