Понятие предела.
Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что \(\delta\) — окрестностью точки \(a\) называется интервал длины \(2\delta\) с центром в точке \(a\), то есть множество
$$
U_{\delta}(a)=\{x:|x-a| < \delta\}=\{x:a-\delta < x < a+\delta\}.\nonumber
$$
Если из этого интервала удалить точку \(a\), то получим множество, которое называют проколотой \(\delta\)-окрестностью точки \(a\) и обозначают \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то есть
$$
\dot{U}_{\delta}(a)=\{x:|x-a|<\delta,\ x\neq a\}=\{x:0<|x-a|<\delta\}.\nonumber
$$
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.
Пример 1
Исследуем функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\) в окрестности точки \(x=1\).
Решение
\(\triangle\) Функция \(f\) определена при всех \(x\in\mathbb{R}\), кроме \(x=1\), причем \(f(x)=x+1\) при \(x\neq 1\). График этой функции изображен на рис. 10.1.
Из этого рисунка видно, что значения функции близки к 2, если значения \(x\) близки к 1 (\(x\neq 1)\). Придадим этому утверждению точный смысл.
Пусть задано любое число \(\varepsilon>0\) и требуется найти число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\) из проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(x=1\) значения функции \(f(x)\) отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на \(\varepsilon\).
Иначе говоря, нужно найти число \(\delta>0\) такое, чтобы для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) соответствующие точки графика функции \(y=f(x)\) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми \(y=2-\varepsilon\) и \(y=2+\varepsilon\) (см. рис. 10.1), то есть чтобы выполнялось условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(2)\). В данном примере можно взять \(\delta=\varepsilon\).
В этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к двум при \(x\), стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow 1\) и пишут \(\displaystyle \lim{x\rightarrow 1}f(x)=2\) или \(f(x)\rightarrow 2\) при \(x\rightarrow 1.\quad\blacktriangle\)
Пример 2
Исследуем функцию
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-x,\ \mbox{если}\ x < 0,\\
0,\ \mbox{если}\ x=0,\\
1-x^{2},\ \mbox{если}\ x>0,
\end{array}\right.\nonumber
$$
в окрестности точки \(x=0.\)
Решение
\(\triangle\) Из графика этой функции (рис. 10.2) видно, что для любого \(\varepsilon>0\) можно найти \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). В самом деле, прямые \(y=1+\varepsilon\) и \(y=1-\varepsilon\) пересекают график функции \(y=f(x)\) в точках, абсциссы которых равны \(x_{1}=-\varepsilon,\ x_2=\sqrt{\varepsilon}\). Пусть \(\delta\) — наименьшее из чисел \(|x_{1}|\) и \(x_2\), т.e. \(\displaystyle \delta=\min(\varepsilon,\sqrt{\varepsilon})\). Тогда если \(|x|<\delta\) и \(x\neq 0\), то \(|f(x)-1|<\varepsilon\), то есть для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). В этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к единице при \(x\), стремящемся к нулю и пишут,
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{f(x)}=1.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
В первом примере функция не определена в точке \(x=1\), а во втором функция определена в точке \(x=0\), но значение функции в точке \(x=0\) не совпадает с ее пределом при \(x\rightarrow 0\).
Два определения предела функции и их эквивалентность.
Определение предела по Коши.
Определение.
Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\), если эта функция определена в некоторой окрестности точки \(a\), за исключением, быть может, самой точки \(a\), и для каждого \(\varepsilon>0\) найдется число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\), удовлетворяющих условию \(|x-a|<\delta,\ x\neq a\), выполняется неравенство \(|f(x)-A|<\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A\) или \(f(x)\rightarrow A\) при \(x\rightarrow a\).
С помощью логических символов это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \left\{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \forall x:0 <|x-a| <\delta\rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon,\nonumber
$$
или, используя понятие окрестности, в виде
$$
\displaystyle \left\{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\right\}\Leftrightarrow\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A).\nonumber
$$
Таким образом, число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) в точке \(a\), если для любой \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\) можно найти такую проколотую \(\delta\)-окрестность точки \(a\), что для всех \(x\), принадлежащих этой \(\delta\)-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\).
Замечание.
В определении предела функции в точке \(a\) предполагается, что \(x\neq a\). Это требование связано с тем, что точка \(a\) может не принадлежать области определения функции. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела для определения производной, так как производная функции \(f(x)\) в точке \(a\) — это предел функции
$$
F(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a},\nonumber
$$
которая не определена в точке \(a\).
Отметим еще, что число \(\delta\), фигурирующее в определении предела, зависит, вообще говоря, от \(\varepsilon\), то есть \(\delta=\delta(\varepsilon)\).
Определение предела по Гейне.
Определение.
Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\), если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки \(\alpha\), то есть \(\exists\delta_{0}>0:\ \dot{U}_{\delta_{0}}(a)\subset D(f)\), и для любой последовательности \(\{x_{n}\}\), сходящейся к \(a\) и такой, что \(x_{n}\in U_{\delta_0}(a)\) для всех \(n\in\mathbb{N}\), соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) сходится к числу \(A\).
Пример 3
Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция
$$
f(x)=\sin\frac{1}{x}\nonumber
$$
не имеет предела в точке \(x=0\).
Решение
\(\triangle\) Достаточно показать, что существуют последовательности \(\{x_{n}\}\) и \(\{\widetilde{x}_{n}\}\) с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})\neq\lim_{n\rightarrow\infty} f(\widetilde{x}_n)\).
Возьмем
$$
x_{n} = \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^{-1},\quad \widetilde{x}_{n}=(\pi n)^{-1}.\nonumber
$$
Тогда \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{x}_{n}=0,\ f(x_{n})=1\) и \(f(\widetilde{x}_{n})=0\) для всех \(n\in\mathbb{N}\) и поэтому \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=1\), a \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x}_{n})=0\). Следовательно, функция \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) не имеет предела в точке \(x=0.\quad \blacktriangle\)
Замечание.
Если функция \(f\) определена в проколотой \(\delta_{0}\)-окрестности точки \(a\) и существуют число \(A\) и последовательность \(\{x_n\}\) такие, что \(x_n \in \dot{U}_{\delta_{0}}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N},\ \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\), то число \(A\) называют частичным пределом функции \(f\) в точке \(a\).
Так, например, для функции \(f(х)=\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) каждое число \(A \in [-1, 1]\) является ее частичным пределом. В самом деле, последовательность \(\{x_{n}\}\), где \(x_{n}=\displaystyle (\arcsin A+2\pi n)^{-1}\), образованная из корней уравнения \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}=A\) (рис. 10.3), такова, что \(x_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb{N},\ \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\).
Эквивалентность двух определений предела.
Теорема 1
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство
\(\circ\) В определениях предела функции \(f(x)\) по Коши и по Гейне предполагается, что функция \(f\) определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), то есть существует число \(\delta_0>0\) такое, что \(\dot{U}_{\delta_{0}}\in D(f)\).
- Пусть число \(A\) есть предел функции \(f\) в точке \(a\) по Коши; тогда \(\exists\delta_{0}>0:\ \dot{U}_{\delta_{0}}\subset D(f)\) и
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta\in(0,\delta_{0}]:\quad\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A).\label{ref1}
$$
Рассмотрим произвольную последовательность \(\{x_{n}\}\), сходящуюся к числу \(a\) и такую, что \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(a)\) для всех \(n\in\mathbb{N}\). Согласно определению предела последовательности для найденного в \eqref{ref1} числа \(\delta=\delta (\varepsilon)>0\) можно указать номер \(n_\delta\) такой, что \(\forall n\geq n_{\delta}\rightarrow x_{n}\in\dot{U}_{\delta}(a)\), откуда в силу условия \eqref{ref1} следует, что \(f(x_{n})\in U_{\varepsilon}(A)\). Таким образом,
$$
\forall \varepsilon>0\quad\exists N_{\varepsilon}:\ \forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow f(x_{n})\in U_{\varepsilon}(A),\label{ref2}
$$
где \(N_{\varepsilon}=n_{\delta(\varepsilon)}\), причем условие \eqref{ref2} выполняется для любой последовательности \(\{x_{n}\}\) такой, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(a)\subset D(f)\). Следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=A\), то есть число \(A\) — предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) по Гейне. - Докажем, что если число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) по Гейне, то это же число является пределом функции \(f\) по Коши, то есть выполняется условие \eqref{ref1}. Допустим, что это неверно. Тогда
$$
\exists\varepsilon_{0}>0:\quad\forall\delta\in(0,\delta_{0}]\quad\exists x(\delta)\in\dot{U}_{\delta}(a):\ |f(x(\delta))-A|\geq\varepsilon_{0}.\label{ref3}
$$
Согласно \eqref{ref3} в качестве \(\delta\) можно взять любое число из полуинтервала \((0,\delta_{0}]\). Возьмем \(\delta=\delta_{0}/n\), где \(n\in\mathbb{N}\), и обозначим \(x_n=x(\delta_{0}/n)\). Тогда в силу \eqref{ref3} для любого \(n\in\mathbb{N}\) выполняются неравенства
$$
\begin{gather} 0 < |x_{n}-a| < \delta_{0}/n,\label{ref4}\\ |f(x_{n})-A|\geq\varepsilon_{0}.\label{ref5} \end{gather}
$$Из \eqref{ref4} следует, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(а)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\), а из \eqref{ref5} заключаем, что число \(A\) не может быть пределом последовательности \(\{f(x_{n})\}\). Следовательно, число \(A\) не является пределом функции \(f\) в точке \(a\) по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение \eqref{ref1}. \(\bullet\)
Замечание.
Пусть \(а\) — предельная точка числового множества \(E\), то есть такая точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка множества \(E\), отличная от \(a\). Тогда число \(A\) называют пределом по Коши функции \(f(x)\) в точке \(a\) по множеству \(E\) и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a,\ x\in E}f(x)=A\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad\forall x\in \dot{U}_{\delta}(a)\cap E\rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon.\nonumber
$$
Различные типы пределов.
Односторонние конечные пределы.
Число \(A\) называют пределом слева функции \(f(x)\) в точке a и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow {a-0}}f(x)\) или \(f(a-0)\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\quad\forall x\in(a-\delta,a)\rightarrow|f(x)-A_{1}| < \varepsilon.\nonumber
$$
Аналогично число \(A_2\) называют пределом справа функции \(f(x)\) в точке \(a\) и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(х)\) или \(f(a+0)\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\ \forall x\in (a,a+\delta)\rightarrow|f(x)-A_2| < \varepsilon.
$$
Числа \(A_1\) и \(A_2\) характеризуют поведение функции \(f\) соответственно в левой и правой полуокрестности точки \(a\), поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами. Если \(a=0\), то предел слева функции \(f(x)\) обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}f(x)\) или \(f(-0)\), а предел справа обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}f(x)\) или \(f(+0)\).
Например, для функции \(f(x)=\operatorname{sign}\ x\), где
$$
\operatorname{sign}\ x=\left\{\begin{array}{ll}
-1,\ если\ x <0,\\
0,\ если\ x=0,\\
1,\ если\ x>0,
\end{array}\right.\nonumber
$$
график которой изображен на рис. 10.4 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-0}f(x)=f(-0)=-1,\ \displaystyle \lim_{x\rightarrow+0}f(x)=f(+0)=1\).
Отметим еще, что если
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in[A,A+\varepsilon),
$$
то есть значения функции лежат в правой \(\varepsilon\)-полуокрестности числа \(A\), то пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow A}f(x)=A+0\). В частности, если \(A=0\), то пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+0\).
Аналогично
$$
\displaystyle \{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A-0\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in (A-\varepsilon,A\rbrack.\nonumber
$$
Например, для функции
$$
\varphi (x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-x,\ если\ x <0,\\
2,\ если\ x=0,\\
1+\sqrt{x},\ если\ x>0,
\end{array}\right.\nonumber
$$
график которой изображен на рис. 10.5, \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1+0\).
Аналогичный смысл имеют записи вида
$$
\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0,\quad \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=A-0\nonumber
$$
Например,
$$
\displaystyle \{\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in(a-\delta,a)\rightarrow f(x)\in[A,A+\varepsilon).
$$
Бесконечные пределы в конечной точке.
Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)|>\varepsilon.\label{ref6}
$$
В этом случае функцию \(f(x)\) называют бесконечно большой при \(x\rightarrow a\).
Согласно условию \eqref{ref6} график функции \(y=f(x)\) для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) лежит вне горизонтальной полосы \(|y| <\varepsilon\). Обозначим
$$
U_{\varepsilon}(\infty)=\{y:|y|>\varepsilon\}=(-\infty,\ -\varepsilon)\cup(\varepsilon,+\infty)
$$
и назовем это множество \(\varepsilon\)-окрестностью бесконечности. Тогда запись \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\) означает, что для любой \(\varepsilon\)-окрестности бесконечности \(U_{\varepsilon}(\infty)\) найдется такая проколотая \(\delta\)-окрестность точки \(a\), что для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(\infty)\).
Например, если \(f(x)=1/x\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty\), так как условие \eqref{ref6} выполняется при \(\delta=1/\varepsilon\) (рис.10.6).
Аналогично говорят, что функция \(f(x)\), определенная в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), имеет в этой точке предел, равный \(+\infty\), и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty\), если \(\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)>\varepsilon\), то есть \(f(x)\in U_{\varepsilon}(+\infty)\), где множество \(U_\varepsilon (+\infty )\) называют \(\varepsilon\)-окрестностью символа \(+\infty\).
Если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x) <-\varepsilon,\nonumber
$$
то есть \(f(x)\in U_{\varepsilon}(-\infty)\), где \(U_{\varepsilon}(-\infty)=(-\infty, -\varepsilon)\), то говорят, что функция \(f\) имеет в точке \(а\) предел, равный \(-\infty\), и пишут
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=-\infty\), а множество \(U\varepsilon (-\infty )\) называют \(\varepsilon\) — окрестностью символа \(-\infty \).
Например, если \(f(x)=\lg x^2\) (рис. 10.7), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-\infty\), а если \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) (рис. 10.8), то \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty\).
Предел в бесконечности.
Если
$$
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$
то говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при x, стремящемся к плюс бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=A.\)
Например, если \(f(x)=\displaystyle\frac{3-2x}{x+1}\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=-2\). В самом деле \(f(x)=-2+\frac{5}{x+1}\), и если \(x>0\), то \(x+1>x>0.\) Поэтому \(\displaystyle\frac{5}{x+1}<\frac{5}{x}\), откуда следует, что неравенство\(\displaystyle|f(х)+2|<\frac{5}{x}<\varepsilon\) для любого \(\varepsilon >0\) выполняется при любом \(x >\delta\), где \(\delta=\displaystyle\frac{5}{\varepsilon}\), то есть при любом \(x\in U_{\delta}(+\infty)\).
Если \(\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(-\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A)\), то есть неравенство \(|f(x)-A|<\varepsilon\) выполняется для всех \(x\in(-\infty,\ -\delta)\) , то говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\)} при x, стремящемся к минус бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\). Например, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3-2x}{x+1}=-2\).
Аналогично, если
$$
\forall\ \varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$
то говорят, что число A есть предел функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}=A\). Например, если \(f(x)=\frac{3-2x}{x+1}\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-2.\)
Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности. Например,запись \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\) означает, что
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(-\infty).\nonumber
$$
Аналогично определяются бесконечные пределы при \(x\rightarrow\infty\) и \(x\rightarrow-\infty.\)
Свойства пределов функций.
В рассматриваемых ниже свойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке. Под точкой понимается либо число \(a\), либо один из символов \( a-0, a+0, -\infty, +\infty, \infty\). Предполагается, что функция определена в некоторой окрестности или полуокрестности точки \(a\), не содержащей саму точку \(a\). Для определенности будем формулировать и доказывать свойства пределов, предполагая, что \(a\) — число, а функция определена в проколотой окрестности точки \(a\).
Локальные свойства функции, имеющей предел.
Покажем, что функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает некоторыми локальными свойствами, то есть свойствами, которые справедливы в окрестности этой точки.
Свойство 1
Если функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\), то существует такая проколотая окрестность точки \(a\), в которой эта функция ограничена.
Доказательство
\(\circ\) Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\). В силу определения предела по заданному числу \(\varepsilon=1\) можно найти число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется неравенство \(|f(x)-A| <1\) или \(A-1 <f(x) <A+1.\) Это означает, что функция \(f\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a). \bullet\)
Свойство 2
Свойство сохранения знака предела.
Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\), причем \(A\neq 0,\) то найдется такая проколотая окрестность точки \(a\), в которой значения функции \(f\) имеют тот же знак, что и число \(A\).
Доказательство
\(\circ\) Согласно определению предела по заданному числу \(\varepsilon = \frac{|A|}{2}>0\) можно найти такое число \(\delta>0\), что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется неравенство \(\displaystyle |f(x)-A|<\frac{|A|}{2}\), или
$$ A-\frac{|A|}{2} <f(x) <A+\frac{|A|}{2}.\label{ref7}
$$ Если \(A>0\), то из левого неравенства \eqref{ref7} следует, что
$$
f(x)>\frac{A}{2}>0\ для\ x\in\dot{U}_{\delta}(a).\nonumber
$$
Если \(A<0\), то из правого неравенства \eqref{ref7} следует, что
$$
f(x) <\frac{A}{2}\ <;\ 0\ для\ x\in\dot{U}_{\delta}(a).\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 3
Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), причем \( B\neq0\), то существует число \(\delta>0\) такое, что функция \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a).\)
Доказательство
\(\circ\) В силу определения предела по заданному числу \(\varepsilon=\frac{|B|}{2}\) можно найти число \(\delta>0\), такое, что для всех \(x\in\dot{U}_\delta(a)\) выполняется неравенство
$$
|g(x)-B| < \frac{|B|}{2}.\label{ref8}
$$
Из неравенства \eqref{ref8} и известного неравенства
$$
|B|-|g(x)|\leq|g(x)-B|\nonumber
$$
следует, что \(\displaystyle |B|-|g(x)|<\frac{|B|}{2}\), откуда \(|g(x)|>\frac{|B|}{2}\),и поэтому \(\displaystyle \frac{1}{|g(x)|} < \frac{2}{|B|}\) для \(x\in\dot{U}_{\delta}(a),\) то есть функция \(\displaystyle \frac{1}{g(x)}\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a). \bullet\)
Свойства пределов, связанные с неравенствами.
Свойство 1
Если существует число \(\delta>0\) такое, что для всех \(\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняются неравенства
$$
g(x)\leq f(x)\leq h(x),\label{ref9}
$$
и если
$$
\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=A,\label{ref10}
$$
то существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A.\)
Доказательство
\(\circ\) Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) для \(n\in\mathbb{N}\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}f(x)=a\). Тогда в силу условия \eqref{ref10} \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}g(x_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}h(x_{n})=A.\)
Так как, согласно условию \eqref{ref9}, для всех \(n\in\mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
g(x_{n})\leq f(x_{n})\leq h(x_{n}),\nonumber
$$
то в силу свойств пределов последовательностей \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\). Следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow a}f(x)=A.\ \bullet\)
Свойство 2
Если существует число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) справедливо неравенство \(f(x)\leq g(x)\) , и если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то \( A\leq B\).
Доказательство
\(\circ\) Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и соответствующими свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)
Замечание.
Если исходное неравенство является строгим, то есть \(f(x)<g(x)\), то в случае существования пределов функций \(f\) и \(g\) в точке a можно утверждать только, что
$$
\lim_{x\rightarrow a}f(x)\leq\lim_{x\rightarrow a}g(x),\nonumber
$$
то есть знак строгого неравенства между функциями при переходе к пределу, вообще говоря, не сохраняется.
Бесконечно малые функции.
Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\alpha(x)>0\) , то функцию \(\alpha(x)\) называют бесконечно малой при \(x\rightarrow a\).
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
- сумма конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая функция при \(x\rightarrow a\);
- произведение бесконечно малой при \(x\rightarrow a\) функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.
Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.
Замечание.
Из определения предела функции и определения бесконечно малой функции следует, что число \(A\) является пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\) тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде
$$
f(x)=A+a(x),\nonumber
$$ где \(a(x)\) — бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.
Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.
Свойство
Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют конечные пределы в точке \(а\), причем \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то:
- $$
\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B;\nonumber
$$ - $$
\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB;\label{ref11}
$$ - $$
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\ —\ при\ условии,\ что\ B\neq 0.\nonumber
$$
\(\circ\) Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)
Отметим частный случай утверждения \eqref{ref11}:
$$
\lim_{x\rightarrow a}(C f(x))=C\lim_{x\rightarrow a}f(x),\nonumber
$$
то есть постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Пределы монотонных функций.
Ранее мы уже ввели понятие монотонной функции. Докажем теорему о существовании односторонних пределов у монотонной функции.
Теорема 2
Если функция \(f\) определена и является монотонной на отрезке \([a,b]\), то в каждой точке \(x_{0}\in(a,b)\) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, a в точках \(а\) и \(b\) — соответственно правый и левый пределы.
Доказательство
\(\circ\) Пусть, например, функция \(f\) является возрастающей на отрезке \([a,b]\). Зафиксируем точку \(х_0\in\)(а, \(b\)]. Тогда
$$
\forall x\in[a,x_{0})\rightarrow f(x)\leq f(x_{0}).\label{ref12}
$$
В силу условия \eqref{ref12} множество значений, которые функция \(f\) принимает на промежутке \([a,x_{0})\), ограничено сверху, и по теореме о точной верхней грани существует
$$
\sup_{a\leq x <x_{0}}f(x)=M,\ где\ M\leq f(x_0).\nonumber
$$
Согласно определению точной верхней границы (см. здесь) выполняются условия:
$$
\forall x\in[a,\ x_{0})\rightarrow f(x)\leq M;\label{ref13}
$$
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists x_{\varepsilon}\in[a,\ x_{0}):M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon}).\label{ref14}
$$
Обозначим \(\delta=x_{0}-x_{\varepsilon}\), тогда \(\delta>0\), так как \(x_\varepsilon <x_{0}.\) Если \(x\in (x_\varepsilon,x_0)\), то есть \(x\in (x_0-\delta,x_0)\), то
$$
f(x_{\varepsilon})\leq f(x),\label{ref15}
$$
так как \(f\) — возрастающая функция. Из условий \eqref{ref13}—\eqref{ref15} следует, что
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in(x_{0}-\delta,x_{0})\rightarrow f(x)\in(M-\varepsilon,M].\nonumber
$$
Согласно определению предела слева это означает, что существует
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0} f(x)=f(x_{0}-0)=M.\nonumber
$$
Итак,
$$
f(x_{0}-0)=\sup_{a\leq x <x_{0}}f(x).\nonumber
$$
Аналогично можно доказать, что функция а имеет в точке \(x_0\in [a, b)\) предел справа, причем
$$
f(x_{0}+0)=\displaystyle \inf_{x_{0} <x\leq b}f(x).\ \bullet
$$
Следствие.
Если функция \(f\) определена и возрастает на отрезке \([a,b],\ x_{0}\in(a,b),\) то
$$
f(x_{0}-0) < f(x_{0})\leq f(x_0+0)\label{ref16}
$$
Замечание.
Теорема о пределе монотонной функции справедлива для любого конечного или бесконечного промежутка. При этом, если \(f\) — возрастающая функция, не ограниченная сверху на \((a,b)\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow b-0}f(x)= +\infty\) (в случае, когда \(b =+\infty\) пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= +\infty\)), а если \(f\) — возрастающая и не ограниченная снизу на промежутке \((a,b)\) функция, то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=-\infty\quad (\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty)\).
Критерий Коши существования предела функции.
Будем говорить, что функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x=a\) условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\) и
$$
\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| < \varepsilon.\label{ref17}
$$
Лемма
Пусть существует число \(\delta >0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в проколотой \(\delta\) — окрестности точки \(a\), и пусть для каждой последовательности {\(x_n\)}, удовлетворяющей условию \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) и сходящейся к \(a\), соответствующая последовательность значений функции \({f(x_n)}\) имеет конечный предел. Тогда этот предел не зависит от выбора последовательности \({x_n}\), то есть если
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A,\nonumber
$$
и
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x_{n}})=\widetilde{A},\nonumber
$$
где \(\widetilde{x}_n =\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N}\) и \( \widetilde{x}_{n}\rightarrow a \) при \(n\rightarrow\infty\) то \(\widetilde{A}=A.\)
Доказательство
\(\circ\) Образуем последовательность
$$
x_{1},\widetilde{x}_{1}, x_{2},\widetilde{x}_{2},\ldots, x_{n},\widetilde{x}_{n},\ldots\nonumber
$$
и обозначим k-й член этой последовательности через \(y_{k}\). Так как \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}y_k=a\) (см. пример 3 здесь) и \(y_k\in \dot{U}_{\delta}(a)\) при любом \(k\in\mathbb{N}\), то по условию леммы существует конечный \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}f(y_{k})=A’\) Заметим, что \(\{f(x_{n})\}\) и \(\{f(\widetilde{x}_{n})\}\) являются подпоследовательностями сходящейся последовательности \(\{f(y_k)\}\). Поэтому \(A=A’,\widetilde{A}=A’\) откуда получаем, что \(A=\widetilde{A}.\ \bullet\)
Теорема 3
Для того чтобы существовал конечный предел функции \(f(x)\) в точке \(x = a\) необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке a условию Коши \eqref{ref17}.
Доказательство
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\); тогда
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref18}
$$
Если \(х’,x″\) любые точки из множества \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то из \eqref{ref18} следует, что
$$
|f(x’)-f(x″)|=|(f(x’)-A)-(f(x″)-A)|\leq|f(x’)-A|+|f(x″)-A| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,\nonumber
$$
то есть выполняется условие Коши \eqref{ref17}.
Достаточность. Докажем, что если \(\exists\delta_{0}:\dot{U}_{\delta}(a)\subset D(f)\) и выполняется условие \eqref{ref17}, то существует предел функции \(f\) в точке \(a\). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) и \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a.\) Докажем, что соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\)
Если выполняется условие \eqref{ref17}, то для каждого \(\varepsilon>0\) можно найти число \(\delta=\delta_\varepsilon>0\) такое, что
$$
\forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| <\varepsilon.\label{ref19}
$$
Так как \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\), то, задав число \(\delta=\delta(\varepsilon)>0,\) указанное в условии \eqref{ref19}, найдем в силу определения предела последовательности номер \(n_{\delta}=N_{\varepsilon}\) такой, что
$$
\forall n>N_{\varepsilon}\rightarrow 0<|x_{n}-a| <\delta.\nonumber
$$
Это означает, что для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняются условия \(x_{n}\in \dot{U}_{\delta}(a),\ x_{m}\in \dot{U}_{\delta}(a)\) и в силу \eqref{ref19} \(|f(x_n)-f(x_m)| <\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\{f(x_{n})\}\) является фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности имеет конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\) сходящейся к точке \(a\). Следовательно, функция \(f(x)\) имеет конечный предел в точке \(a\). \(\bullet\)
Замечание.
Теорема 3 остается в силе, если точку \(a\) заменить одним из символов \(a-0, a+0,-\infty, +\infty\); при этом условие \eqref{ref17} должно выполняться в окрестности этого символа.
Это хороший сайт