Клеточное множество.
Множества \(A\) и \(B\) называют непересекающимися, если \(A \cap B = \varnothing\). Говорят, что множества \(A_{1}, \ldots, A_{n}\) попарно не пересекаются, если для любых \(i, j \in \{1, \ldots, n\}\) множества \(A_{i}\) и \(A_{j}\) непересекающиеся. Совокупность множеств \(\{A_{1}, A_{n}\}\) будем называть разбиением множества \(A\), если \(A = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{N} A_{i}\) и множества \(A_{1}, \ldots, A_{n}\) попарно не пересекаются.
Определение.
Множество
$$
\Pi = \{(x_{1}, \ldots, x_{n}): a_{i} \leq x_{i} < b_{i},\ i = \overline{1, n}\}\label{ref1}
$$
будем называть клеткой в \(\boldsymbol{R^{n}}\). Пустое множество также считается клеткой.
Полуинтервал \([a, b)\) является клеткой в \(\boldsymbol{R}\). Клетками в \(\boldsymbol{R^{2}}\) и \(\boldsymbol{R^{3}}\) являются прямоугольники и прямоугольные параллелепипеды, у которых удалены соответствующие стороны или грани.
Множество \(A \in \boldsymbol{R^{n}}\) будем называть клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.
Клеточное множество может быть разбито на клетки бесконечным множеством способов.
Свойства клеточных множеств.
Свойство 1.
Пересечение двух клеток есть клетка.
Доказательство.
\(\circ\) Для доказательства достаточно заметить, что пересечение двух полуинтервалов \([a, b)\) и \([c, d)\) является либо пустым множеством, либо полуинтервалом такого же вида. \(\bullet\)
Свойство 2.
Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множеством.
Свойство 3.
Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Доказательство.
\(\circ\) Если клетки \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{p}\) образуют разбиение клеточного множества \(A\), а клетки \(\Pi ‘_{1}, \ldots, \Pi ‘_{q}\) образуют разбиение клеточного множества \(B\), то клетки \(\Pi_{ij} = \Pi_{i} \cap \Pi_{j}\) при \(i = \overline{1, p}\), \(i = \overline{1, q}\) образуют разбиение множества \(A \cap B\). \(\bullet\)
Свойство 4.
Разность двух клеток есть клеточное множество.
Доказательство.
\(\circ\) Если клетка \(R\) является пересечением клеток \(\Pi\) и \(Q\), то \(\Pi/Q = \Pi/R\) и существует такое разбиение клетки \(\Pi\), что клетка \(R\) является одной из клеток разбиения. Для того чтобы в этом убедиться в плоском случае (в \(\boldsymbol{R^{2}}\)), достаточно провести через вершины прямоугольника \(R\) прямые, параллельные сторонам \(\Pi\). Удаляя из разбиения \(\Pi\) клетку \(R\), получаем, что \(\Pi/R\) — клеточное множество. \(\bullet\)
Свойство 5.
Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть клеточное множество \(A\) разбито на клетки \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{p}\) и \(Q\) — некоторая клетка. В силу свойства 4 множества \(K_{i} = \Pi_{i}\backslash Q\) являются попарно непересекающимися клеточными множествами. Множество \(A \backslash Q\) совпадает с объединением всех \(K_{i}\) и является клеточным множеством в силу свойства 3. Если клетки \(\Pi ‘_{1}, \ldots, \Pi ‘_{m}\) образуют разбиение клеточного множества \(B\), то множество \(A \backslash B\) можно получить, последовательно вычитая из \(A\) клетки \(\Pi ‘_{1}, \ldots, \Pi ‘_{m}\). Так как на каждом шаге этого процесса получается клеточное множество, то и множество \(A \backslash B\), образующееся за конечное число таких шагов, является клеточным. \(\bullet\)
Свойство 6.
Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество.
Доказательство.
\(\circ\) Если \(A\) и \(B\) — клеточные множества, то в силу свойства 3 и свойства 5 непересекающиеся множества \(A \backslash B\), \(B \backslash A\) и \(A \cap B\) являются клеточными. В силу свойства 2 их объединение, совпадающее с \(A \cup B\), является клеточным множеством. \(\bullet\)
Мера клеточного множества.
Определение.
Мерой \(m(\Pi)\) клетки \eqref{ref1} назовем число
$$
m(\Pi) = (b_{1}-a_{1}) \ldots (b_{n}-a_{n}).\label{ref2}
$$
Мера пустого множества равна нулю по определению.
В частности, мера полуинтервала равна его длине, мера прямоугольника равна его площади, мера параллелепипеда равна его объему.
Если клетки \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{p}\) образуют разбиение клеточного множества \(A\), то мерой \(m(A)\) множества \(A\) назовем число
$$
m(A) = \sum_{i=1}^{p} m(\Pi_{i}).\label{ref3}
$$
Корректность определения \eqref{ref3} доказывает следующая лемма.
Лемма 1.
Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.
Доказательство.
\(\circ\) Можно показать, что каким бы способом клетку \(\Pi\) не разбивали на клетки \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{p}\), мера \(\Pi\) как клеточного множества всегда равна мере клетки \(\Pi\), определяемой формулой \eqref{ref2}. Для разбиений клетки, порождаемых одномерными разбиениями всех полуинтервалов \([a_{i}, b_{i})\) в \eqref{ref1}, это утверждение доказывается прямым подсчетом. В общем случае можно сделать дополнительные разбиения.
Пусть клетки \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{p}\) и \(\Pi ‘_{1}, \ldots, \Pi ‘_{q}\) образуют два различных разбиения клеточного множества \(A\) и пусть \(\Pi_{ij} = \Pi_{i} \cap \Pi ‘_{j}\). Так как \(\Pi_{i} = \displaystyle\bigcup_{j=1}^{q} \Pi ‘_{ij}\), \(\Pi ‘_{j} = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{p} \Pi_{ij}\), то
$$
\sum_{i=1}^{p} m(\Pi_{i}) = \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{q} m(\Pi_{ij}) = \sum_{j=1}^{q} \sum_{i=1}^{p} m(\Pi_{ij}) = \sum_{j=1}^{q} m(\Pi ‘_{j}).\nonumber
$$
что и доказывает утверждение леммы. \(\bullet\)
Свойства меры клеточных множеств.
Свойство 1.
Если клеточные множества \(A_{1}, \ldots, A_{p}\) попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^{p} A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{p} m(A_{i}).\label{ref4}
$$
Свойство 2.
Если \(A\) и \(B\) — клеточные множества и \(A \subset B\), то
$$
m(B) = m(A) + m(B \backslash A),\quad m(a) \leq m(B).\label{ref5}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как клеточные множества \(A\) и \(B \backslash A\) не пересекаются и \(B = A \cup (B \backslash A)\), то в силу свойства 1 справедливо равенство \eqref{ref5}. \(\bullet\)
Свойство 3.
Если \(A_{1}, \ldots, A_{p}\) —клеточные множества, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^{p} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{p} m(A_{i}).\label{ref6}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Достаточно доказать равенство \eqref{ref6} для \(p = 2\), так как общий случай доказывается по индукции. Замечая, что \(A_{1} \subset A_{1} \cup A_{2} = B\) и \(B \backslash A_{1} \subset A_{2}\), в силу \eqref{ref5} получаем, что
$$
m(A_{1} \cup A_{2}) = m(B) = m(A_{1}) + m(B \backslash A_{1}) \leq m(A_{1}) + m(A_{2}).\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 4.
Для любого клеточного множества \(A\) и любого \(\varepsilon > 0\) существует такое клеточное множество \(A_{\varepsilon}\), что \(A_{\varepsilon} \subset \overline{A}_{\varepsilon} \subset A^{0} \subset A\), где \(\overline{A}_{\varepsilon}\) — замыкание множества \(A_{\varepsilon}\), \(A^{0}\) — внутренность множества \(A\) (совокупность всех внутренних точек множества \(A\)).
Доказательство.
\(\circ\) Достаточно доказать свойство 4 для одной клетки \(\Pi\). Из определения \eqref{ref1} клетки следует, что точка \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) принадлежит границе клетки, если существует такое значение индекса \(i\), что выполнено равенство \(x_{i} = a_{i}\) или \(x_{i} = b_{i}\). Сдвигая левые концы полуинтервалов \([a_{i}, b_{i})\) вправо, а правые влево, можно построить клетку \(\Pi_{\varepsilon}\), не содержащую граничных точек \(\Pi\) и отличающуюся от \(\Pi\) по мере меньше, чем на \(\varepsilon\). \(\bullet\)
Множества, измеримые по Жордану. Мера Жордана.
Определение.
Множество \(\Omega \subset \boldsymbol{R^{n}}\) называется измеримым по Жордану, если для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся два клеточных множества \(A\) и \(B\) такие, что \(A \subset \Omega \subset B\) и \(m(B)-m(A) < \varepsilon\).
Если \(\Omega\) — измеримое по Жордану множество, то его мерой \(m(\Omega)\) называется такое число, что для любых двух клеточных множеств \(A\) и \(B\), удовлетворяющих условию \(A \subset \Omega \subset B\), выполнено неравенство \(m(A) \leq m(\Omega) \leq m(B)\).
Лемма 2.
Определение меры измеримого по Жордану множества \(\Omega\) корректно: число \(m(\Omega)\) существует и единственно, причем
$$
m(\Omega) = \sup_{A \subset \Omega} m(A) = \inf_{B \supset \Omega} m(B).\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(A\) и \(B\) произвольные клеточные множества такие, что \(A \subset \Omega \subset B\). Тогда \(m(a) \leq m(B)\) (данное свойство мы рассматривали выше). Существует число \(\gamma\), разделяющее числовые множества \(\{m(A)\}\) и \(\{m(B)\}\), порождаемые клеточными множествами \(A \subset \Omega\) и клеточными множествами \(B \supset \Omega\) (в силу теоремы об отделимости числовых множеств), то есть
$$
m(A) \leq \sup_{\substack{A \subset \Omega}} m(A) \leq \gamma \leq \inf_{\substack{B \supset \Omega}} m(B) \leq m(B).\nonumber
$$
Из определения меры множества \(\Omega\) следует, что в качестве \(m(\Omega)\) можно взять число \(\gamma\). Существование числа \(m(\Omega)\) доказано. Докажем его единственность. Пусть есть два числа \(\alpha\) и \(\beta\) таких, что для любых клеточных множеств \(A\) и \(B\) из \(A \subset \Omega \subset B\) следует
$$
m(A) \leq \alpha \leq \beta \leq m(B).\label{ref7}
$$
Так как множество \(\Omega\) измеримо по Жордану, то для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся клеточные множества \(A_{\varepsilon}\) и \(B_{\varepsilon}\) такие, что
$$
A_{\varepsilon} \subset \Omega \subset B_{\varepsilon},\quad m(B_{\varepsilon})-m(A_{\varepsilon}) < \varepsilon.\label{ref8}
$$
Из \eqref{ref7} и \eqref{ref8} тогда следует, что
$$
0 \leq \beta-\alpha \leq m(B_{\varepsilon})-m(A_{\varepsilon}) < \varepsilon.\nonumber
$$
В силу произвольности \(\varepsilon\) имеем \(\alpha = \beta\). \(\bullet\)
Свойства множества жордановой меры нуль.
Свойство 1.
Если \(E \in \boldsymbol{R^{n}}\) и для любого \(\varepsilon > 0\) найдется клеточное множество \(B = B_{\varepsilon}\) такое, что \(E \subset B\) и \(m(B) < \varepsilon\), то \(m(E) = 0\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(A = \varnothing\); тогда \(A \subset E \subset B\), \(m(B)-m(A) = m(B) < \varepsilon\). Следовательно, \(E\) — измеримое множество и \(m(E) = 0\), так как \(\varepsilon\) — произвольное положительное число. \(\bullet\)
Замечание.
Множество, удовлетворяющее условиям, указанным в свойстве 1, будем называть множеством меры нуль.
Свойство 2.
Объединение двух множеств (конечного числа множеств) меры нуль есть множество меры нуль.
Доказательство.
\(\circ\) Если \(m(E_{1}) = m(E_{2}) = 0\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся клеточные множества \(B_{1}\) и \(B_{2}\) такие, что
$$
E_{1} \subset B_{1},\ E_{2} \subset B_{2},\ m(B_{1}) < \frac{\varepsilon}{2},\ m(B_{2}) < \frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
$$
Тогда \(B = B_{1} \cup B_{2}\) есть клеточное множество и
$$
E_{1} \cup E_{2} \subset B_{1} \cup B_{2},\ m(B) \leq m(B_{1}) + m(B_{2}) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
$$
Следовательно, \(m(E_{1} \cup E_{2}) = 0\). \(\bullet\)
Свойство 3.
Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(E’ \subset E\) и \(E\) — множество меры нуль. Тогда для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такое клеточное множество \(A\), что \(E’ \subset E \subset A\) и \(m(A) < \varepsilon\). В силу свойства 1 множество \(E’\) имеет меру нуль. \(\bullet\)
Сформулируем вспомогательную лемму геометрического характера.
Лемма 3.
Если связное множество \(A \subset \boldsymbol{R^{n}}\) не имеет общих точек с границей множества \(B \subset \boldsymbol{R^{n}}\), то \(A\) лежит либо внутри \(B\), либо внутри его дополнения.
Доказательство.
\(\circ\) Опуская подробное доказательство этой интуитивно очевидной леммы, поясним его идею. Предполагая противное, получаем, что существуют точки \(a\) и \(b\) множества \(A\) такие, что \(a\) принадлежит внутренности \(B\), \(b\) принадлежит внутренности дополнения \(B\). Пользуясь связностью множества \(A\), соединим эти точки кривой \(\Gamma\), лежащей в множестве \(A\). Точки кривой можно разбить на два класса. Точка \(c\) принадлежит первому классу, если дуга кривой \(\Gamma\) с концами \(a\) и \(c\) лежит в множестве \(B\). Все остальные точки кривой \(\Gamma\) отнесем ко второму классу. На кривой \(\Gamma\) существует точка, разделяющая эти два непустых класса, что следует из теоремы об отделимости. Нетрудно показать, что эта точка не может лежать ни во внутренности множества \(B\), ни во внутренности его дополнения и, следовательно, является граничной точкой \(B\). Так как эта точка одновременно принадлежит и множеству \(A\), то получаем противоречие с условием леммы. \(\bullet\)
Теорема 1.
(критерий измеримости множества в \(\boldsymbol{R^{n}}\))
Для того чтобы множество \(\Omega \subset \boldsymbol{R^{n}}\) было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно чтобы оно было ограниченным, а его граница \(\partial \Omega\) имела жорданову меру нуль.
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Из измеримости \(\Omega\) следует, что для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся такие клеточные множества \(A\) и \(B\), что \(A \subset E \subset B\) и \(m(B)-m(A) < \varepsilon\). В силу свойства 4 меры клеточных множеств без ограничения общности можно считать, что множество \(A\) не содержит граничных точек множества \(\Omega\), а множество \(B\) содержит все граничные точки \(\Omega\). Клеточное множество \(B \backslash A\) содержит \(\partial \Omega\), и мера его меньше \(\varepsilon\). В силу свойства 1 множество \(\partial \Omega\) имеет жорданову меру нуль.
Достаточность. Пусть \(m(\partial \Omega) = 0\) и \(\Omega\) — ограниченное множество в \(\boldsymbol{R^{n}}\). Заключим множество \(\Omega\) в клетку \(\Pi\). Возьмем произвольное \(\varepsilon > 0\) и построим клеточное множество \(C\) такое, что \(\partial \Omega \subset C\) и \(m(C) < \varepsilon\). Тогда \(\Pi \backslash C\) — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества \(\Omega\). Пусть \(\displaystyle\Pi \backslash C = \bigcup_{i=1}^{N} \Pi_{i}\). Так как клетка \(\Pi_{i}\) не содержит граничных точек множества \(\Omega\), то в силу леммы 3 либо \(\Pi_{i} \cap \Omega = \varnothing\), либо \(\Pi_{i} \subset \Omega\). Занумеруем клетки \(\Pi_{i}\) в таком порядке, что \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{l} \subset \Omega\), а \(\Pi_{l + 1}, \ldots, \Pi_{N}\) имеют с \(\Omega\) пустое пересечение. Пусть \(A = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{l} \Pi_{i}\) и \(B = A \cup C = \displaystyle\Pi \backslash (\bigcup_{i=l+1}^{N} \Pi_{i})\). Тогда \(A \subset \Omega \subset B\) и \(m(B)-m(A) = m(C) < \varepsilon\). Следовательно, множество \(\Omega\) измеримо по Жордану. \(\bullet\)
Свойства множеств, измеримых по Жордану.
Свойство 1.
Если множества \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) измеримы по Жордану, то \(\Omega_{1} \cap \Omega_{2}\), \(\Omega_{1} \backslash \Omega_{2}\) и \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}\) измеримы по Жордану.
Доказательство.
\(\circ\) Измеримые по Жордану множества \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) ограничены и в силу теоремы 1 \(m(\partial\Omega_{1}) = m(\partial\Omega_{2}) = 0\), поэтому и \(m(\partial\Omega_{1} \cup \partial\Omega_{2}) = 0\). Но
$$
\partial (\Omega_{1} \cap \Omega_{2}) \subset \partial\Omega_{1} \cup \partial\Omega_{2},\quad \partial (\Omega_{1} \backslash \Omega_{2}) \subset \partial\Omega_{1} \cup \partial\Omega_{2},\nonumber
$$
$$
\partial (\Omega_{1} \cap \Omega_{2}) \subset \partial\Omega_{1} \cup \Omega_{2}.\nonumber
$$
Поэтому
$$
m(\partial(\Omega_{1} \cap \Omega_{2})) = m(\partial(\Omega_{1} \backslash \Omega_{2})) = m(\partial(\Omega_{1} \cap \Omega_{2})) = 0.\nonumber
$$
В силу теоремы 1 множества \(\Omega_{1} \cap \Omega_{2}\), \(\Omega_{1} \backslash \Omega_{2}\), \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}\) измеримы по Жордану. \(\bullet\)
Свойство 2.
Если множества \(\Omega_{i}\) при \(i = \overline{1, n}\) измеримы по Жордану, то и множество \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{N} \Omega_{i}\) измеримо по Жордану и
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^{N} \Omega_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{N} m(\Omega_{i}).\label{ref9}
$$
Если множества \(\Omega_{i}, \ldots, \Omega_{n}\) попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^{N} \Omega_{i}\right) = \sum_{i=1}^{N} m(\Omega_{i}).\label{ref10}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим случай \(n = 2\). Если \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) — измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}\) измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся клеточные множества \(B_{1}\) и \(B_{2}\) такие, что
$$
\Omega_{1} \subset B_{1},\ \Omega_{2} \subset B_{2},\ m(\Omega_{1}) > m(B_{1})-\frac{\varepsilon}{2},\ m(\Omega_{2}) > m(B_{2})-\frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
$$Тогда \(B_{1} \cup B_{2}\) есть клеточное множество, содержащее множество \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}\). Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что
$$
m(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}) \leq m(B_{1} \cup B_{2}) \leq m(B_{1}) + m(B_{2}) < m(\Omega_{1}) + m(\Omega_{2}) + \varepsilon.
$$Так как \(\varepsilon > 0\) произвольно, то
$$
m(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}) \leq m(\Omega_{1}) + m(\Omega_{2}).\label{ref11}
$$
Пусть \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2} = \varnothing\). В силу леммы 2 найдутся клеточные множества \(A_{1}\) и \(A_{2}\) такие, что
$$
A_{1} \subset \Omega_{1},\ m(A_{1}) > m(\Omega_{1})-\frac{\varepsilon}{2},\ A_{2} \subset \Omega_{2},\ m(A_{2}) > m(\Omega_{2})-\frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
$$
Тогда \(A_{1} \cup A_{2}\) есть клеточное множество, содержащееся в множестве \(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}\). Так как множества \(A_{1}\) и \(A_{2}\) не пересекаются, то
$$
m(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}) \geq m(A_{1} \cup A_{2}) = m(A_{1}) + m(A_{2}) > m(\Omega_{1}) + m(\Omega_{2})-\varepsilon.\nonumber
$$
В силу произвольности \(\varepsilon\) отсюда следует, что
$$
m(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}) \geq m(\Omega_{1}) + m(\Omega_{2}).\label{ref12}
$$
Из \eqref{ref11} и \eqref{ref12} заключаем, что при \(\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \varnothing\) должно быть выполнено равенство \(m(\Omega_{1} \cup \Omega_{2}) = m(\Omega_{1}) + m(\Omega_{2})\).
Применяя метод математической индукции, из неравенства \eqref{ref11} легко вывести справедливость неравенства \eqref{ref9} для любого \(n \in \mathbb{N}\). При помощи аналогичных рассуждений из справедливости равенства \eqref{ref10} для \(n = 2\) выводится справедливость этого равенства для любого \(n \in \mathbb{N}\). \(\bullet\)
Говорят, что равенство \eqref{ref10} выражает свойство конечной аддитивности меры Жордана.