Сходящийся числовой ряд и его сумма.
Выражение \(a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots\), где \(\{a_{n}\}\) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\), а числа \(a_{n}\) будем называть членами ряда. Сумму \(n\) первых членов ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) будем называть \(n\)-й частичной суммой этого ряда и обозначать \(S_{n}\), то есть
$$
S_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}.\label{ref1}
$$
Определение.
Ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\label{ref2}
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел \(S\), то есть
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = S.\label{ref3}
$$
Число \(S\), определяемое условиями \eqref{ref1} и \eqref{ref3}, называют суммой ряда \eqref{ref2} и пишут
$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = S.\label{ref4}
$$
Если последовательность \(\{S_{n}\}\) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref{ref2} расходится (является расходящимся).
Пример 1.
Доказать, что ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1},\ \mbox{где}\ |q| < 1,\label{ref5}
$$
сходится, и найти его сумму \(S\).
Решение.
\(\vartriangle\) Используя формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_{n} = \sum_{k=1}^{n}q^{k-1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} = \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n}}{1-q}.\nonumber
$$
Так как \(q^{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(|q| < 1\) то последовательность \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел, равный \(\displaystyle\frac{1}{1-q}\), то есть ряд \eqref{ref5} сходится и его сумма \(S = \displaystyle\frac{1}{1-q}\). \(\blacktriangle\)
Пример 2.
Доказать, что если при всех \(n \in N\) выполняется равенство
$$
a_{n} = b_{n}-b_{n + 1}\label{ref6}
$$
и существует конечный
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n} = b,\label{ref7}
$$
то ряд \eqref{ref2} сходится, а его сумма \(S = b_{1}-b\), то есть
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}-b_{n + 1}) = b_{1}-b.\label{ref8}
$$
Решение.
\(\vartriangle\) Используя условие \eqref{ref6}, получаем \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k} = \sum_{k=1}^{n}(b_{n}-b_{n + 1}) = b_{1}-b_{2} + b_{2}-b_{3} + \ldots + b_{n-1}-b_{n} + b_{n}-b_{n + 1} = b_{1}-b_{n + 1}\) откуда в силу \eqref{ref7} следует сходимость ряда \eqref{ref2} и равенство \eqref{ref8}. \(\blacktriangle\)
Пример 3.
Найти сумму ряда \eqref{ref2}, если \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}\).
Решение.
\(\vartriangle\) Так как
$$
a_{n} = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{(n + 2)-n}{2n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2n(n + 1)}-\frac{1}{2n(n + 1)(n + 2)},\nonumber
$$
то последовательность \(\{a_{n}\}\) удовлетворяет условиям \eqref{ref6} и \eqref{ref7}, где \(b_{n} = \displaystyle\frac{1}{2n(n + 1)},\ b = 0\), и по формуле \eqref{ref8} получаем
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Необходимое условие сходимости ряда.
Теорема 1.
Если ряд \eqref{ref2} сходится, то
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0.\label{ref9}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как ряд \eqref{ref2} сходится, то существует конечный предел \(S\) последовательности \(\{S_{n}\}\), где \(S_{n}\) — \(n\)-я частичная сумма ряда (формула \eqref{ref1}). Тогда \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = S\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n-1} = S\), откуда следует, что \(S_{n}-S_{n-1} = a_{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). \(\bullet\)
Таким образом, соотношение \eqref{ref9} выражает необходимое условие сходимости ряда.
Пример 4.
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится.
Решение.
\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) при \(k = 1, 2, \ldots, n\), то \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq n \frac{1}{\sqrt{n}}\) откуда следует, что \(S_{n} \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится. \(\blacktriangle\)
Замечание 1.
Условие \eqref{ref9} не является достаточным для сходимости ряда \eqref{ref2}: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref{ref9}, но расходится.
Пример 5.
Доказать, что ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\sin n\alpha,\ \mbox{где}\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb{Z}),\label{ref10}
$$
расходится.
Решение.
\(\vartriangle\) Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref11}
$$
Предположим, что \(\sin n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Тогда \(\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть \(\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0\), откуда следует, что \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sin \alpha \neq 0\). Итак, если \(\sin n\alpha \rightarrow 0\), то \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), что невозможно, так как \(\sin^{2} n\alpha + \cos^{2} n\alpha = 1\).
Таким образом, для ряда \eqref{ref10} должно выполняться условие \eqref{ref11}, и поэтому ряд \eqref{ref10} расходится. \(\blacktriangle\)
Свойства сходящихся рядов.
Свойство 1.
Если ряды \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) и
$$
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n},\label{ref12}
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно \(S\) и \(\sigma\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) сходится ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_{n} + \mu b_{n}),\label{ref13}
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label{ref14}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(S_{n}\), \(\sigma_{n}\) и \(\tau_{n}\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref{ref2}, \eqref{ref12} и \eqref{ref13} соответственно. Тогда \(\tau_{n} = \lambda S_{n} + \mu\sigma_{n}\). Так как \(S_{n} \rightarrow S\) и \(\sigma_{n} \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то последовательность \(\{\tau_{n}\}\) имеет конечный предел, то есть ряд \eqref{ref13} сходится, и справедливо равенство \eqref{ref14}. \(\bullet\)
Свойство 2.
Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\), то при каждом \(m \in \mathbb{N}\) сходится ряд
$$
\sum_{n=m+1}^{\infty}a_{n},\label{ref15}
$$
который называют \(m\)-м остатком ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\). Обратно: если при фиксированном \(m\) ряд \eqref{ref15} сходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) также сходится.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(S_{n} = a_{1} + \ldots + a_{n}\) и \(\sigma_{k}^{(m)} = a_{m+1} + \ldots + a_{m+k}\)-соответственно \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref2} и \(k\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref15}. Тогда
$$
S_{n} = S_{m} + \sigma_{k}^{(m)},\ \mbox{где}\ n = m + k.\label{ref16}
$$
Если ряд \eqref{ref2} сходится, то последовательность \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому из равенства \eqref{ref16} следует, что последовательность \(\{\sigma_{k}^{(m)}\}\), где \(m\) фиксировано, имеет конечный предел при \(k \rightarrow \infty\), то есть ряд \eqref{ref15} сходится.
Обратно: если \(m\) фиксировано и существует конечный \(\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty}\sigma_{k}^{(m)}\) то существует конечный \(\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty}S_{n}\). \(\bullet\)
Замечание 2.
Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.
Свойство 3.
Если ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) сходится, то и ряд
$$
\sum_{j=1}^{\infty}b_{j},\label{ref17}
$$
полученный группировкой членов ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(b_{1} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{k_{1}}\), \(b_{2} = \displaystyle a_{k_{1} + 1} + a_{k_{1} + 2} + \ldots + a_{k_{2}}\), …, \(b_{j} = a_{k_{j}-1} + \ldots + a_{k_{j}}\) где \(j \in \mathbb{N}\), \(\{k_{j}\}\) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1 }^{n}a_{k}\), \(\sigma_{m} = \displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}b_{j}\); тогда \(\sigma_{m} = S_{k_{m}}\). Так как \(\{\sigma_{m}\}\) — подпоследовательность сходящейся последовательности \(S_{1}, S_{2}, \ldots\), то существует \(\displaystyle\lim_{m \rightarrow \infty}\sigma_{m} = S\), где \(S\) — сумма ряда \eqref{ref2}. \(\bullet\)
Критерий Коши сходимости ряда.
Теорема 2.
Для сходимости ряда \eqref{ref2} необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}, \forall p \in \mathbb{N} \rightarrow |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{n + p}| < \varepsilon.\label{ref18}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как \(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{n + p} = S_{n + p}-S_{n}\) где \(S_{n}\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref2}, то условие \eqref{ref18} означает, что последовательность \(\{S_{n}\}\) является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref{ref18} равносильно существованию конечного предела последовательности \(\{S_{n}\}\), то есть равносильно сходимости ряда \eqref{ref2}. \(\bullet\)
Замечание 3.
Если условие \eqref{ref18} не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall k \in \mathbb{N},\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb{N}:\ |a_{n + 1} + \ldots + a_{n + p}| \geq \varepsilon_{0}.\label{ref19}
$$
то ряд \eqref{ref2} расходится.
Пример 6.
Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},\label{ref20}
$$
расходится.
Решение.
\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(n = k\), \(p = k\). Тогда \(\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k} = \frac{1}{k + 1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{1}{2k}k = \frac{1}{2} = \varepsilon_{0}\), и в силу условия \eqref{ref19} ряд \eqref{ref20} расходится. \(\blacktriangle\)
Ряды с комплексными членами.
Последовательность комплексных чисел \(\{z_{n}\}\) называют сходящейся, если существует такое комплексное число \(z\), что
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}|z_{n}-z| = 0,\nonumber
$$
где \(|z|\) — модуль комплексного числа \(z\). В этом случае пишут \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}z_{n} = z\) или \(z_{n} \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\).
Если \(z_{n} = x_{n} + iy_{n}\), \(z = x + iy\), то условие \(z_{n} \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\) эквивалентно выполнению условий \(x_{n} \rightarrow x\) и \(y_{n} \rightarrow y\) при \(n \rightarrow \infty\).
Ряд с комплексными членами
$$
\sum_{n=1}^{\infty}z_{n},\label{ref21}
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1 }^{n}z_{k} = S,\nonumber
$$
где \(S \in \mathbb{C}\). В этом случае пишут \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}z_{n} = S\), а комплексное число \(S\) называют суммой ряда \eqref{ref21}.