Понятие об интеграле Фурье.
Пусть функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на \(\boldsymbol{R} = (-\infty, +\infty)\). Это означает, что найдутся точки \(a_{i}\), \(i = \overline{1, n}\), такие, что \(-\infty < a_{1} < \ldots < a_{n} < +\infty\), и на каждом из отрезков \([a, b]\), не содержащих точек \(a_{i}\), \(i = \overline{1, n}\), функция \(f(x)\) интегрируема по Риману, а интегралы
$$
\int\limits_{-\infty}^{a_{1}} |f(x)|\ dx,\ \int\limits_{a_{i}}^{a_{i+1}} |f(x)|\ dx,\ i = \overline{1, n-1},\ \int\limits_{a_{n}}^{+\infty} |\varphi(x)|\ dx\nonumber
$$
сходятся как несобственные интегралы с двумя особыми точками.
По определению
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|\ dx = \int\limits_{-\infty}^{a_{1}} |f(x)|\ dx+\sum_{i = 1}^{n-1} \int\limits_{a_{i}}^{a_{i+1}} |f(x)|\ dx+\int\limits_{a_{n}}^{+\infty} |\varphi(x)|\ dx.\label{ref1}
$$
Введем понятие интеграла Фуръе абсолютно интегрируемой на \(\boldsymbol{R}\) функции \(f(x)\). Для такой функции по признаку сравнения являются сходящимися следующие интегралы:
$$
a(y) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos ty\ dt,\qquad b(y) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin ty\ dt.\label{ref2}
$$
Поставим в соответствие функции \(f(x)\) несобственный интеграл:
$$
f(x) \sim \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (a(y) \cos xy+b(y) \sin xy)\ dy,\label{ref3}
$$
который называется интегралом Фуръе абсолютно интегрируемой на \(\boldsymbol{R}\) функции \(f(x)\).
Для интеграла Фурье, как и для ряда Фурье, важно знать:
- при каких условиях интеграл \eqref{ref3} сходится;
- если интеграл \eqref{ref3} сходится, как его величина связана со значениями функции \(f(x)\).
Если выражения для коэффициентов \(a(y)\) и \(b(y)\), задаваемые формулами \eqref{ref2}, подставить в формулу \eqref{ref3}, то интеграл Фурье можно представить в следующем виде:
$$
f(x) \sim \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(t-x)\ dt\right)\ dy.\label{ref4}
$$
Представление функции интегралом Фурье.
Докажем несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1.
Для любого \(a > 0\) справедливо равенство
$$
\lim_{\omega \rightarrow +\infty} \int\limits_{0}^{a} \frac{\sin \omega x}{x}\ dx = \frac{\pi}{2}.\label{ref5}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Переходя при \(\omega \rightarrow +\infty\) к пределу в равенстве
$$
\int\limits_{0}^{a} \frac{\sin \omega x}{x}\ dx = \int\limits_{0}^{\omega a} \frac{\sin x}{x}\ dx\nonumber
$$
и воспользовавшись выражением для интеграла Дирихле \(\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\ dx = \frac{\pi}{2}\), получаем равенство \eqref{ref5}. \(\bullet\)
Лемма 2.
Для функции \(f(x)\), абсолютно интегрируемой на интервале \((0, a)\) и удовлетворяющей в точке \(0\) условию Гёльдера, справедливо равенство
$$
\lim_{\omega \rightarrow +\infty} \int\limits_{0}^{a} f(x) \frac{\sin \omega x}{x}\ dx = \frac{\pi}{2} f(+0).\label{ref6}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(0\) условию Гёльдера, то существуют такие числа \(\delta > 0\), \(\alpha \in (0, 1)\) и \(c_{0} > 0\), что при \(x \in (0, \delta)\) выполняется неравенство
$$
|f(x)-f(+0)| < c_{0}x^{\alpha}.\label{ref7}
$$
Если разбить интервал \((0, a)\) на интервалы \((0, \delta)\) и \((\delta, a)\), то
$$
\int\limits_{0}^{a} f(x) \frac{\sin \omega x}{x}\ dx =\\=\int\limits_{0}^{\delta} (f(x)-f(+0)) \frac{\sin \omega x}{x}\ dx+f(+0) \int\limits_{0}^{\delta} \frac{\sin \omega x}{x}\ dx+\int\limits_{0}^{a} f(x) \frac{\sin \omega x}{x}\ dx.\label{ref8}
$$
Функция \(\displaystyle\frac{f(x)-f(+0)}{x}\) в силу условия \eqref{ref7} абсолютно интегрируема на интервале \((0, \delta)\), а функция \(\frac{f(x)}{x}\) абсолютно интегрируема на интервале \((\delta, a)\). На основании леммы Римана можно заключить, что первый и третий интегралы в формуле \eqref{ref8} стремятся к нулю при \(\omega \rightarrow +\infty\). Второй интеграл в формуле \eqref{ref8} стремится к \(\displaystyle\frac{\pi}{2} f(+0)\) в силу леммы 1. \(\bullet\)
Лемма 3.
Для функции \(f(x)\), абсолютно интегрируемой на интервале \((-\infty, +\infty)\) и удовлетворяющей в точке \(x_{0}\) условию Гёльдера, справедливо равенство
$$
\lim_{\omega \rightarrow +\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega (x_{0}-t)}{x_{0}-t} f(t)\ dt = \frac{\pi}{2} (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)).\label{ref9}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Разбивая в \eqref{ref9} интервал интегрирования \((-\infty, +\infty)\) на интервалы \((-\infty, x_{0})\) и \((x_{0}, +\infty)\) и делая в первом интеграле замену переменной \(x_{0}-t = t’\), а во втором интеграле замену \(t-x_{o} = t’\), получаем, что
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin (x_{0}-t)}{x_{0}-t} f(t)\ dt = \int\limits_{0}^{+\infty} (f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)) \frac{\sin \omega t}{t}\ dt.\nonumber
$$
Формула \eqref{ref9} получается теперь как результат применения к функции \(f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)\) леммы 2. \(\bullet\)
Теорема 1.
Если абсолютно интегрируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция удовлетворяет в точке \(x_{0}\) условию Гёльдера, то справедливо равенство
$$
\frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(x_{0}-t)\ dt.\label{ref10}
$$
Если функция \(f(x)\) ещё и непрерывна в точке \(x_{0}\), то
$$
f(x_{0}) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(x_{0}-t)\ dt.\label{ref11}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Запишем интеграл в левой части формулы \eqref{ref9} в виде
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega (x_{0}-t)}{x_{0}-t} f(t)\ dt =
$$
$$
= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dt \int\limits_{0}^{\omega} f(t) \cos y(x_{0}-t)\ dy = \int\limits_{0}^{\omega} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(x_{0}-t)\ dt.\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(\omega \rightarrow +\infty\), учитывая равенство \eqref{ref9} и четность подынтегральной функции по переменной \(y\), получаем равенство \eqref{ref10}. Если же функция \(f(x)\) еще и непрерывна в точке \(x_{0}\), то из \eqref{ref10} получаем \eqref{ref11}.
Если функция \(f(x)\) непрерывна, то законность изменения порядка интегрирования следует из теоремы о перестановке порядка интегрирования. В общем случае законность перестановки следует из соответствующего замечания. \(\bullet\)
Так как функция, дифференцируемая или имеющая обе односторонние производные в точке, удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера, то справедлива следующая теорема.
Теорема 2.
Если непрерывная, абсолютно интегрируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция \(f(x)\) имеет в каждой точке или конечную производную или конечные односторонние производные, то эта функция представима на \(\boldsymbol{R}\) интегралом Фурье
$$
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(x-t)\ dt =\\= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (a(y) \cos xy+b(y) \sin xy)\ dy,\label{ref12}
$$
где функции \(a(y)\) и \(b(y)\) определены равенствами \eqref{ref2}.
Доказательство.
\(\circ\) Теорема 2 является следствием теоремы 1, так как функция, имеющая в каждой точке односторонние производные, удовлетворяет в каждой точке условию Гёльдера. \(\bullet\)
Пример 1.
Представить интегралом Фурье функцию \(f(x) = e^{-|x|}\).
Решение.
\(\vartriangle\) Функция \(f(x) = e^{-|x|}\) абсолютно интегрируема и непрерывна на \(\boldsymbol{R}\); в любой точке \(x \neq 0\) функция \(f(x)\) имеет производную \(f'(x) = e^{-|x|}\ sign\ (-x)\), при \(x = 0\) функция \(f(x)\) имеет односторонние производные \(f’_{+}(0) = -1\) и \(f’_{-}(0) = 1\).
Все условия теоремы 2 выполнены. Пользуясь формулами \eqref{ref2}, получаем равенства
$$
a(y) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|} \cos ty\ dt = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+y^{2}},\qquad b(y) = 0.\nonumber
$$
Из формулы \eqref{ref12} следует, что
$$
e^{-|x|} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos xy}{1+y^{2}}\ dy.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Интегралы в смысле главного значения. Комплексная форма интеграла Фурье.
Определение.
Пусть функция \(f(x)\) определена на \(\boldsymbol{R} = (-\infty, +\infty)\) и абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке \([a, b]\).
Если существует конечный предел
$$
\lim_{N \rightarrow \infty} \int\limits_{-N}^{N} f(x)\ dx,\nonumber
$$
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через \(\displaystyle\mbox{v.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx\). Таким образом,
$$
\mbox{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx = \lim_{N \rightarrow \infty} \int\limits_{-N}^{N} f(x)\ dx.\nonumber
$$
Если \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx\) существует как несобственный, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение является неверным. Например, если \(f(x) = x\), то
$$
\mbox{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\ dx = \lim_{N \rightarrow \infty} \int\limits_{-N}^{N} x\ dx = 0,
$$
а интеграл \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\ dx\) не сходится как несобственный.
Ясно, что для любой нечётной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции \(\displaystyle\mbox{v.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx = 0\).
Интеграл в смысле главного значения можно рассматривать и на конечном отрезке \([a, b]\). Пусть функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на любом отрезке \([a, \beta]\), принадлежащем отрезку \([a, b]\) и не содержащем точки \(c \in (a, b)\). Тогда по определению
$$
\mbox{v.p.} \int\limits_{a}^{b} f(x)\ dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \left[\int\limits_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\ dx+\int\limits_{c+\varepsilon}^{b} f(x)\ dx\right].\nonumber
$$
Пусть для абсолютно интегрируемой на \(\boldsymbol{R}\) функции \(f(x)\) справедливо представление в виде интеграла Фурье, то есть для любого \(x \in \boldsymbol{R}\) справедливо равенство
$$
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos y(x-t)\ dt =\\= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} a(y) \cos yx\ dy+\int\limits_{-\infty}^{+\infty} b(y) \sin yx\ dy,\label{ref13}
$$
где
$$
a(y) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos yt\ dt,\quad b(y) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin yt\ dt.\label{ref14}
$$
Лемма 4.
Если \(f(x)\) — абсолютно интегрируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция, то функции \(a(y)\) и \(b(y)\), определенные равенствами \eqref{ref14}, непрерывны на \(\boldsymbol{R}\).
Доказательство.
\(\circ\) Докажем, например, непрерывность \(a(y)\). Из \eqref{ref14} следует, что
$$
|\Delta a(y)| = |a(y+\Delta y)-a(y)| \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \left|\sin (\frac{t\Delta y}{2})\right|\ dt.\label{ref15}
$$
Так как функция \(f(t)\) абсолютно интегрируема, то интервал \((-\infty, +\infty)\) можно разбить на три таких интервала \((-\infty, -c)\), \((-c, c)\) и \((c, +\infty)\), что по бесконечным интервалам интегралы от функции \(|f(x)|\) не будут превышать \(\displaystyle\frac{\varepsilon}{3}\). Сумма первого и третьего интегралов в формуле \eqref{ref15} не превысит \(\frac{2\varepsilon}{3}\). Второй интеграл в формуле \eqref{ref15} меньше, чем
$$
\frac{c}{2\pi}|\Delta y| \int\limits_{-c}^{c} |f(t)|\ dt,\nonumber
$$
и, следовательно, существует \(\delta > 0\) такое, что при \(|\Delta y| < \delta\) второй интеграл в \eqref{ref15} меньше \(\displaystyle\frac{\varepsilon}{3}\). Из \eqref{ref15} следует, что при \(|\Delta y| < \delta\) приращение \(|\Delta a(y)| < \varepsilon\). \(\bullet\)
Рассмотрим несобственный интеграл
$$
K(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin y(x-t)\ dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)(\sin yx \cos yt -\\- \cos yx \sin yt)\ dt = 2\pi (a(y) \sin yx-b(y) \cos yx).\nonumber
$$
В силу леммы 4 функция \(K(y)\) непрерывна на \(\boldsymbol{R}\). Так как эта функция нечётна, то
$$
\frac{1}{2\pi} \mbox{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} K(y)\ dy = \mbox{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin y(x-t)\ dt = 0.\label{ref16}
$$
Теорема 3.
Если для абсолютно интегрируемой на \(\boldsymbol{R}\) функции \(f(x)\) справедливо равенство \eqref{ref13}, то справедливы и следующие равенства:
$$
f(x) = \mbox{v.p.} \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-iyt} dt\right)e^{iyx}\ dy,\label{ref17}
$$
$$
f(x) = \mbox{v.p.} \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{iyt} dt\right)e^{-iyx}\ dy,\label{ref18}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Формула \eqref{ref17} получается, если умножить равенство \eqref{ref16} на мнимую единицу \(i\), сложить его с равенством \eqref{ref13} и воспользоваться формулами Эйлера
$$
\cos y(x-t)+i\sin y(x-t) = e^{iy(x-t)} = e^{iyx}e^{-iyt}.\nonumber
$$
Аналогично получается и формула \eqref{ref18}. Нужно умножить равенство \eqref{ref16} на \(-i\) и сложить его с равенством \eqref{ref13}. \(\bullet\)
Интеграл, стоящий в правой части равенства \eqref{ref17}, называется интегралом Фурье функции \(f(x)\) в комплексной форме.
Интеграл Фурье в комплексной форме может быть написан и для комплекснозначной абсолютно интегрируемой функции \(f(x) = f_{1}(x)+if_{2}(x)\). Если для действительной и мнимой части функции \(f(x)\), то есть для \(f_{1}(x)\) и \(f_{2}(x)\), справедливо представление \eqref{ref17} интегралом Фурье, то очевидно, что такое представление справедливо и для функции \(f(x) = f_{1}(x)+if_{2}(x)\).