Преобразование Фурье

4 раздела
от теории до практики
2 примера
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.
    Начать изучение
  2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на R функций.
    Начать изучение
  3. Преобразование Фурье производной.
    Начать изучение
  4. Дифференцирование преобразования Фурье.
    Начать изучение

Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.

Определение 1.

Пусть \(f(x)\) есть комплекснозначная функция действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функции \(f(x)\) (оно обозначается через \(F[f]\) или \(\widehat{f}\)) определяется формулой
$$
\widehat{f}(y) = F[f] = \mbox{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-iyx}\ dx.\label{ref1}
$$

Здесь \(\displaystyle\mbox{v.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx\) означает интеграл в смысле главного значения.

Определение 2.

Обратное преобразование Фурье (обозначается через \(F^{-1}[f]\) или \(\tilde{f}\)) определяется формулой
$$
\tilde{f}(y) = F^{-1}[f] = \mbox{v.p.} \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{iyx}\ dx.\label{ref2}
$$

Предполагается, что интегралы \eqref{ref1} и \eqref{ref2} существуют. Если функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-iyx}\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{iyx}\ dx\) существуют и совпадают с соответствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяются как следующие несобственные интегралы:
$$
F[f] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-iyx}\ dx.\label{ref3}
$$
$$
F^{-1}[f] = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{iyx}\ dx.\label{ref4}
$$


Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на R функций.

Лемма 1.

Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на \(\boldsymbol{R}\) функции есть ограниченная и непрерывная на \(\boldsymbol{R}\) функция.

Доказательство.

\(\circ\) Так как функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на \(\boldsymbol{R}\), то
$$
|\widehat{f}(y)| = \left|\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-iyx}\ dx\right| \leq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|\ dx = C_{0}.
$$
и, следовательно, \(\widehat{f}(y)\) есть ограниченная функция на \(\boldsymbol{R}\).

Для доказательства непрерывности функции \(\widehat{f}(y)\) запишем ее в виде
$$
\widehat{f}(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos yx\ dx-i \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin yx\ dx = a(y)-ib(y)
$$
и заметим, что, в силу леммы 4 отсюда функции \(a(y)\) и \(b(y)\) непрерывны на \(\boldsymbol{R}\). \(\bullet\)

Теорема 1.

Если функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на \(\boldsymbol{R}\) и имеет в каждой точке конечную производную \(f'(x)\), то справедливы формулы обращения
$$
F^{-1}[F[f]] = f,\quad F[F^{-1}[f]] = f.\label{ref5}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Так как выполнены условия теоремы 3 для интеграла Фурье, то справедливы равенства для этой теоремы, которые, применяя обозначения \eqref{ref1} и \eqref{ref2}, можно записать в виде \eqref{ref5}. \(\bullet\)


Преобразование Фурье производной.

Теорема 2.

Если непрерывная и абсолютно интегрируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция \(f(x)\) является кусочно гладкой на любом отрезке \([a, b] \subset \boldsymbol{R}\), а функция \(f'(x)\) абсолютно интегрируема на \(\boldsymbol{R}\), то
$$
F[f’] = iyF[f].\label{ref6}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Для функции \(f(x)\) справедлива формула Ньютона-Лейбница
$$
f(x) = f(0)+\int\limits_{0}^{x} f'(t)\ dt.\nonumber
$$
Так как производная \(f'(x)\) абсолютно интегрируемая функция, то существует
$$
\lim_{\substack{x \rightarrow +\infty}} f(x) = f(0)+\int\limits_{0}^{+\infty} f'(x)\ dx = A.\nonumber
$$

Покажем, что \(A = 0\). Если, например, \(A > 0\), то существует такое число \(a \in \boldsymbol{R}\), что при \(x > a\) выполнено неравенство \(f(x) > \displaystyle\frac{1}{2}A\), откуда по признаку сравнения следует, что интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)\ dx\) является расходящимся, что противоречит условию теоремы. Итак, \(\displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow +\infty}} f(x) = 0\).

Аналогично доказывается, что \(\displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow -\infty}} f(x) = 0\).

Применяя интегрирование по частям, получаем равенство
$$
F[f’] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(x) e^{-ixy}\ dx = \left.f(x) e^{-ixy}\right|_{-\infty}^{+\infty}+iy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ixy}\ dx.\nonumber
$$
Так как \(|e^{-ixy}| = 1\), то внеинтегральный член в правой части этого равенства обращается в нуль и, следовательно, справедливо равенство \eqref{ref6}. \(\bullet\)

Следствие.

Если функции \(f(x), f'(x), \ldots, f^{(k)}(x)\) непрерывны и абсолютно интегрируемы на \(\boldsymbol{R}\), то
$$
F[f^{(k)}] = (iy)^{k}F[f].\label{ref7}
$$

\(\circ\) Формула \eqref{ref7} доказывается по индукции с использованием формулы \eqref{ref6}. \(\bullet\)


Дифференцирование преобразования Фурье.

Теорема 3.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на \(\boldsymbol{R}\), а функции \(f(x)\) и \(xf(x)\) абсолютно интегрируемы на \(\boldsymbol{R}\), то функция \(\widehat{f}(y) = F[f]\) имеет на \(\boldsymbol{R}\) непрерывную производную, причем
$$
\widehat{f}'(y) = \frac{d}{dy} (F[f]) = F[(-ix)f(x)].\label{ref8}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Дифференцируя интеграл \eqref{ref3} по параметру \(y\), получаем равенство
$$
\frac{d}{dy} (F[f]) = \frac{d}{dy} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ixy}\ dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (-ix)f(x) e^{-ixy}\ dx.\label{ref9}
$$

Обоснование законности дифференцирования под знаком интеграла сводится к проверке условий теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Интеграл \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (-ix)f(x) e^{-ixy}\ dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на \(\boldsymbol{R}\) по признаку Вейерштрасса, так как \(|(-ix)f(x)e^{-ixy}| = |xf(x)|\), а интеграл \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |xf(x)|\ dx\) сходится. \(\bullet\)

Следствие.

Если \(f(x)\) есть непрерывная на \(\boldsymbol{R}\) функция, а функции \(f(x), x f(x), \ldots, x^{n}f(x)\) абсолютно интегрируемы на \(\boldsymbol{R}\), то
$$
\frac{d^{k}}{dy^{k}} (F[f]) = F[(-ix)^{k}f(x)],\ k = \overline{1, n}.\nonumber
$$

Иногда функцию \(f(x)\) называют оригиналом, а функцию \(\widehat{f}(y) = F[f]\) ее изображением по Фурье. Из теорем 2 и 3 следует, что операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения на независимую переменную \(iy\), а операции умножения оригинала на независимую переменную \(-ix\) соответствует операция дифференцирования изображения. Эти свойства преобразования Фурье являются основой операционных методов решения дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Найти изображение по Фурье функции \(e^{-x^{2}/2}\).

Решение.

\(\vartriangle\) Пусть
$$
I(y) = F[e^{-x^{2}/2}] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-(x^{2}/2)-ixy}\ dx.\label{ref10}
$$
Дифференцируя интеграл \eqref{ref10} по параметру \(y\), получаем
$$
I'(y) = -i \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xe^{-(x^{2}/2)-ixy}\ dx = i \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (-iy-x+iy) e^{-(x^{2}/2)-ixy}\ dx =\\= i \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{d}{dx} e^{-(x^{2}/2)-ixy}\right)\ dx-y \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^{2}/2)-ixy}\ dx =\\= i e^{-(x^{2}/2)-ixy}|_{-\infty}^{+\infty}-yI(y) = -yI(y),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{I'(y)}{I(y)} = -y,\ \frac{d}{dy}(\ln I(y)) = -y,\ \ln I(y) = -\frac{y^{2}}{2}+\ln c,\ I(y) = ce^{-y^{2}/2},\nonumber
$$
$$
c = I(0) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}/2}\ dx = \sqrt{2} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}\ dt = 2\sqrt{2} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}\ dt =\\=2\sqrt{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{2\pi},\ I(y) = \sqrt{2\pi}e^{-y^{2}/2}.\nonumber
$$

Здесь было использовано выражение для интеграла Эйлера Пуасcона \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}\ dt = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\).

Таким образом,
$$
F[e^{-x^{2}/2}] = \sqrt{2\pi} e^{-y^{2}/2}.\ \blacktriangle\label{ref11}
$$

Пример 2.

Доказать, что для любого \(t > 0\) справедлива формула
$$
F\left[\frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^{2}/(4t)}\right] = e^{-y^{2}t}.\nonumber
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Используя результат примера 1, получаем
$$
F\left[\frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^{2}/(4t)}\right] = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^{2}/(4t))-ixy}\ dx =\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi^{2}/2)-i\xi(\sqrt{2t}y)}\ d\xi = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} I(y \sqrt{2t}) = e^{-y^{2}t}.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Оставить комментарий