Поверхности вращения.
Определение.
Поверхность \(S\) называется поверхностью вращения с осью \(d\), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой \(d\) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.
Рассмотрим линию \(L\), которая лежит в плоскости \(P\), проходящей через ось вращения \(d\) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.
Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) на оси \(d\), вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) направим вдоль \(d\), а вектор \(\boldsymbol{e}_{1}\) поместим в плоскости \(P\). Таким образом, \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) — декартова система координат в плоскости \(P\). Пусть линия \(L\) имеет в этой системе координат уравнение \(f(x, y)=0\).
Рассмотрим точку \(M(x, y, z)\). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси \(d\) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от \(M\) до оси, то есть \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Точка \(M\) лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Мь принадлежащая вращаемой линии \(L\).
Точка \(M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) лежит в плоскости \(P\), и потому \(y_{1}=0\). Кроме того, \(z_{1}=z\) и \(|x|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\), так как \(M_{1}\) лежит на той же окружности, что и \(M\). Координаты точки \(M_{1}\) удовлетворяют уравнению линии \(L\): \(f(x_{1}, z_{1})=0\). Подставляя в это уравнение \(x_{1}\) и \(z_{1}\), мы получаем условие на координаты точки \(M\), необходимое и достаточное для того, чтобы \(M\) лежала на поверхности вращения \(S\): равенство
$$
f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0\label{ref1}
$$
должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде
$$
f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)f\left(-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0,\label{ref2}
$$
и является уравнением поверхности вращения линии \(L\) вокруг оси \(d\).
Эллипсоид.
Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\ \frac{z^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{c^{2}}=1.\nonumber
$$
(Здесь через \(c\) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы \eqref{ref1} уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\ \frac{z^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{c^{2}}=1\ (a > c).\label{ref3}
$$
Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).
Каждую точку \(M(x, y, z)\) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости \(y=0\) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении \(\lambda < 1\). После сдвига точка попадет в положение \(M'(x’, y’, z’)\), где \(x’=x\), \(y’=y\), \(z’=z\).
Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением
$$
\frac{x’^{2}}{a^{2}}+\frac{y’^{2}}{b^{2}}+\frac{z’^{2}}{c^{2}}=1,\label{ref4}
$$
где \(b=\lambda a\). Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение \eqref{ref4}, называется эллипсоидом (рис. 10.3). Если случайно окажется, что \(b=c\), мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.
Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения \eqref{ref4} видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плоскости симметрии.
Эллипсоид можно получить из сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\) сжатиями к плоскостям \(y=0\) и \(z=0\) в отношениях \(\lambda=b/a\) и \(\mu=c/a\).
В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.
Конус второго порядка.
Рассмотрим на плоскости \(P\) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) уравнением \(a^{2}x^{2}-c^{2}z^{2}=0\). Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение
$$
a^{2}(x^{2}+y^{2})-c^{2}z^{2}=0\label{ref5}
$$
и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4). Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением
$$
a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2}=0\label{ref6}
$$
называемую конусом второго порядка.
Обратите внимание на то, что левая часть уравнения \eqref{ref6} — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного ранее.
Однополостный гиперболоид.
Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 10.5)
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref7}
$$
В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости \(y=0\) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref8}
$$
Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.
Уравнение \eqref{ref8} можно переписать в виде
$$
\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right).\nonumber
$$
Рассмотрим прямую линию с уравнениями
$$
\begin{array}{cc}
& \displaystyle\mu\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \displaystyle\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu\left(1-\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref9}
$$
где \(\lambda\) и \(\mu\) — некоторые числа \((\lambda^{2}+\mu^{2} \neq 0)\). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравнению \eqref{ref8}, которое получается их почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были \(\lambda\) и \(\mu\), прямая с уравнениями \eqref{ref9} лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система \eqref{ref9} определяет семейство прямолинейных образующих.
Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой
$$
\begin{array}{cc}
& \mu’\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda’\left(1-\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \lambda’\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu’\left(1+\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref10}
$$
Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\) и точку \(M_{0}(1, 1, 1)\) на ней. Подставляя координаты \(M_{0}\) в уравнения \eqref{ref9}, мы получаем условия на \(\lambda\) и \(\mu\): \(2\lambda=2\mu\) и \(0 \cdot \lambda=0 \cdot \mu\). Первое из них определяет \(\lambda\) и \(\mu\) с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значения в \eqref{ref9}, получаем уравнения прямолинейной образующей
$$
x+z=1+y,\ x-z=1-y.\nonumber
$$
Она проходит через \(M_{0}\), так как \(\lambda\) и \(\mu\) так и выбирались, чтобы координаты \(M_{0}\) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты \(M_{0}\) в (10), находим условия на \(\lambda’\) и \(\mu’\): \(2\mu’=0\) и \(2\mu’=0\). Коэффициент \(\lambda’\) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: \(x=z\), \(y=1\).
Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}=1.\label{ref11}
$$
В результате сжатия этой поверхности к плоскости у=0 получается поверхность с уравнением
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.\label{ref12}
$$
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида \eqref{ref12}, называется двуполостным гиперболоидом (рис. 10.6). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две не связанные между собой части (“полости”) поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.
Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.
Эллиптический параболоид.
Вращая параболу \(x^{2}=2pz\) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением
$$
x^{2}+y^{2}=2pz.\label{ref13}
$$
Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z.\label{ref14}
$$
Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).
Гиперболический параболоид.
По аналогии с уравнением \eqref{ref14} мы можем написать уравнение
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z.\label{ref15}
$$
Поверхность, которая имеет уравнение вида \eqref{ref15} в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.
Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью \(x=\alpha\) при произвольном \(\alpha\). В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат \(O’, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) с началом в точке \(O'(\alpha, 0, 0)\). Относительно этой системы координат линия пересечения имеет уравнение
$$
-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2\left(z-\frac{\alpha^{2}}{2a^{2}}\right).\label{ref16}
$$
Эта линия — парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку \(O″\) с координатами \((0, \alpha^{2}/(2a^{2}))\). (Координаты этой точки относительно исходной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) в пространстве равны \((\alpha, 0, \alpha^{2}/(2a^{2}))\).)
Точка \(O″\), очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору \(\boldsymbol{e}_{3}\), а знак минус в левой части равенства \eqref{ref16} означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению \(\boldsymbol{e}_{3}\). Заметим, что после переноса начала координат в точку \(O″\) величина а не входит в уравнение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями \(x=\alpha\) при всех \(\alpha\) представляют собой равные параболы.
Будем теперь менять величину \(\alpha\) и проследим за перемещением вершины параболы \(O″\) в зависимости от \(\alpha\). Из приведенных выше координат точки \(O″\) следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями
$$
z=\frac{x^{2}}{2a^{2}},\ y=0\nonumber
$$
в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\). Эта линия — парабола в плоскости \(y=0\). Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\).
Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны.
При таком перемещении подвижная парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 10.8).
Сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями \(z=\alpha\) при всевозможных \(\alpha\) — гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 10.9.
Гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 10.10). Уравнения одного семейства —
$$
\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=\mu,\ \mu\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=2\lambda z,\nonumber
$$
а другого —
$$
\lambda’\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=\mu’,\ \mu’\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=2\lambda’ z,\nonumber
$$
Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.