Поверхности второго порядка

7 разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Поверхности вращения.
    Начать изучение
  2. Конус второго порядка.
    Начать изучение
  3. Однополостный гиперболоид.
    Начать изучение
  4. Двуполостный гиперболоид.
    Начать изучение
  5. Эллиптический параболоид.
    Начать изучение
  6. Гиперболический параболоид.
    Начать изучение

Поверхности вращения.

Определение.

Поверхность \(S\) называется поверхностью вращения с осью \(d\), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой \(d\) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Рассмотрим линию \(L\), которая лежит в плоскости \(P\), проходящей через ось вращения \(d\) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.

поверхность вращения
Рис. 10.1. Поверхность вращения.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) на оси \(d\), вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) направим вдоль \(d\), а вектор \(\boldsymbol{e}_{1}\) поместим в плоскости \(P\). Таким образом, \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) — декартова система координат в плоскости \(P\). Пусть линия \(L\) имеет в этой системе координат уравнение \(f(x, y)=0\).

Рассмотрим точку \(M(x, y, z)\). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси \(d\) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от \(M\) до оси, то есть \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Точка \(M\) лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Мь принадлежащая вращаемой линии \(L\).

Точка \(M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) лежит в плоскости \(P\), и потому \(y_{1}=0\). Кроме того, \(z_{1}=z\) и \(|x|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\), так как \(M_{1}\) лежит на той же окружности, что и \(M\). Координаты точки \(M_{1}\) удовлетворяют уравнению линии \(L\): \(f(x_{1}, z_{1})=0\). Подставляя в это уравнение \(x_{1}\) и \(z_{1}\), мы получаем условие на координаты точки \(M\), необходимое и достаточное для того, чтобы \(M\) лежала на поверхности вращения \(S\): равенство
$$
f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0\label{ref1}
$$
должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде
$$
f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)f\left(-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0,\label{ref2}
$$
и является уравнением поверхности вращения линии \(L\) вокруг оси \(d\).

Эллипсоид.

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\ \frac{z^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{c^{2}}=1.\nonumber
$$
(Здесь через \(c\) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы \eqref{ref1} уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\ \frac{z^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{c^{2}}=1\ (a > c).\label{ref3}
$$
Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).

сжатый и вытянутый эллипсоиды вращения
Рис. 10.2. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения.

Каждую точку \(M(x, y, z)\) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости \(y=0\) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении \(\lambda < 1\). После сдвига точка попадет в положение \(M'(x’, y’, z’)\), где \(x’=x\), \(y’=y\), \(z’=z\).

Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением
$$
\frac{x’^{2}}{a^{2}}+\frac{y’^{2}}{b^{2}}+\frac{z’^{2}}{c^{2}}=1,\label{ref4}
$$
где \(b=\lambda a\). Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение \eqref{ref4}, называется эллипсоидом (рис. 10.3). Если случайно окажется, что \(b=c\), мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.

эллипсоид
Рис. 10.3. Эллипсоид.

Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения \eqref{ref4} видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плоскости симметрии.

Эллипсоид можно получить из сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\) сжатиями к плоскостям \(y=0\) и \(z=0\) в отношениях \(\lambda=b/a\) и \(\mu=c/a\).

В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.

Конус второго порядка.

Рассмотрим на плоскости \(P\) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) уравнением \(a^{2}x^{2}-c^{2}z^{2}=0\). Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение
$$
a^{2}(x^{2}+y^{2})-c^{2}z^{2}=0\label{ref5}
$$
и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4). Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением
$$
a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2}=0\label{ref6}
$$
называемую конусом второго порядка.

Обратите внимание на то, что левая часть уравнения \eqref{ref6} — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного ранее.

прямой круговой конус
Рис. 10.4. Прямой круговой конус.

Однополостный гиперболоид.

Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 10.5)
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref7}
$$

однополостный гиперболоид вращения
Рис. 10.5. Однополостный гиперболоид вращения.

В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости \(y=0\) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref8}
$$

Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.

Уравнение \eqref{ref8} можно переписать в виде
$$
\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right).\nonumber
$$

Рассмотрим прямую линию с уравнениями
$$
\begin{array}{cc}
& \displaystyle\mu\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \displaystyle\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu\left(1-\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref9}
$$
где \(\lambda\) и \(\mu\) — некоторые числа \((\lambda^{2}+\mu^{2} \neq 0)\). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравнению \eqref{ref8}, которое получается их почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были \(\lambda\) и \(\mu\), прямая с уравнениями \eqref{ref9} лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система \eqref{ref9} определяет семейство прямолинейных образующих.

Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой
$$
\begin{array}{cc}
& \mu’\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda’\left(1-\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \lambda’\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu’\left(1+\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref10}
$$

Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\) и точку \(M_{0}(1, 1, 1)\) на ней. Подставляя координаты \(M_{0}\) в уравнения \eqref{ref9}, мы получаем условия на \(\lambda\) и \(\mu\): \(2\lambda=2\mu\) и \(0 \cdot \lambda=0 \cdot \mu\). Первое из них определяет \(\lambda\) и \(\mu\) с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значения в \eqref{ref9}, получаем уравнения прямолинейной образующей
$$
x+z=1+y,\ x-z=1-y.\nonumber
$$

Она проходит через \(M_{0}\), так как \(\lambda\) и \(\mu\) так и выбирались, чтобы координаты \(M_{0}\) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты \(M_{0}\) в (10), находим условия на \(\lambda’\) и \(\mu’\): \(2\mu’=0\) и \(2\mu’=0\). Коэффициент \(\lambda’\) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: \(x=z\), \(y=1\).

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}=1.\label{ref11}
$$
В результате сжатия этой поверхности к плоскости у=0 получается поверхность с уравнением
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.\label{ref12}
$$

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида \eqref{ref12}, называется двуполостным гиперболоидом (рис. 10.6). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две не связанные между собой части (“полости”) поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.

Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

двуполостный гиперболоид вращения
Рис. 10.6. Двуполостный гиперболоид вращения.

Эллиптический параболоид.

Вращая параболу \(x^{2}=2pz\) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением
$$
x^{2}+y^{2}=2pz.\label{ref13}
$$
Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z.\label{ref14}
$$

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).

эллиптический параболоид
Рис. 10.7. Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид.

По аналогии с уравнением \eqref{ref14} мы можем написать уравнение
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z.\label{ref15}
$$

Поверхность, которая имеет уравнение вида \eqref{ref15} в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью \(x=\alpha\) при произвольном \(\alpha\). В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат \(O’, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) с началом в точке \(O'(\alpha, 0, 0)\). Относительно этой системы координат линия пересечения имеет уравнение
$$
-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2\left(z-\frac{\alpha^{2}}{2a^{2}}\right).\label{ref16}
$$
Эта линия — парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку \(O″\) с координатами \((0, \alpha^{2}/(2a^{2}))\). (Координаты этой точки относительно исходной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) в пространстве равны \((\alpha, 0, \alpha^{2}/(2a^{2}))\).)

Точка \(O″\), очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору \(\boldsymbol{e}_{3}\), а знак минус в левой части равенства \eqref{ref16} означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению \(\boldsymbol{e}_{3}\). Заметим, что после переноса начала координат в точку \(O″\) величина а не входит в уравнение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями \(x=\alpha\) при всех \(\alpha\) представляют собой равные параболы.

Будем теперь менять величину \(\alpha\) и проследим за перемещением вершины параболы \(O″\) в зависимости от \(\alpha\). Из приведенных выше координат точки \(O″\) следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями
$$
z=\frac{x^{2}}{2a^{2}},\ y=0\nonumber
$$
в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\). Эта линия — парабола в плоскости \(y=0\). Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\).

Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны.

При таком перемещении подвижная парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 10.8).

гиперболический параболоид
Рис. 10.8. Гиперболический параболоид. \(OB\) — неподвижная парабола, \(KLM,\ NOP,\ QRS\) — положения подвижной параболы.

Сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями \(z=\alpha\) при всевозможных \(\alpha\) — гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 10.9.

сечения гиперболического параболоида
Рис. 10.9. Сечения гиперболического параболоида

Гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 10.10). Уравнения одного семейства —
$$
\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=\mu,\ \mu\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=2\lambda z,\nonumber
$$
а другого —
$$
\lambda’\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=\mu’,\ \mu’\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=2\lambda’ z,\nonumber
$$

Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.

образующие гиперболического параболоида
Рис. 10.10. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида
Оставить комментарий