Заметим сначала, что если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то интеграл от этой функции является числом, не зависящим от того, какой буквой обозначен аргумент подынтегральной функции, то есть
$$
\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^b f(t) dt = \int\limits_a^b f(z) dz.\nonumber
$$
Иногда бывает удобно вместо записи \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) dx\) использовать запись \(\displaystyle\int\limits_\Delta f(x) dx\), где \(\Delta = [a, b]\).
Перейдем к рассмотрению свойств определенного интеграла. Все отмеченные ниже свойства доказываются в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
Свойства, связанные с операциями над функциями.
Свойство 1.
Если функции \(f\) и \(g\) интегрируемы на отрезке \([a, b]\), то для любых чисел \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha \in R,\ \beta \in R\)) функция \(\varphi(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) также интегрируема на отрезке \([a, b]\) и справедливо равенство
$$
\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x) dx + \beta \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref1}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(\sigma_{T} (\xi; \varphi),\ \sigma_{T} (\xi; f),\ \sigma_{T} (\xi; g)\) — интегральные суммы для функций \(\varphi,\ f\) и \(g\) соответственно при заданном разбиении \(T\) отрезка \([a, b]\) и фиксированной выборке \(\xi\). Тогда имеет место равенство
$$
\sigma_{T} (\xi; \varphi) = \alpha \sigma_{T} (\xi; f) + \beta \sigma_{T} (\xi; g).\nonumber
$$
Если мелкость разбиения \(T\) стремится к нулю \((l(t) \rightarrow 0)\), то правая часть этого равенства в силу интегрируемости функций \(f\) и \(g\) на отрезке \([a, b]\) имеет предел, а поэтому существует предел и в левой части и при этом справедливо равенство \eqref{ref1}. \(\bullet\)
Свойство 2.
Если функции \(f\) и \(g\) интегрируемы на отрезке \([a, b]\), то функция \(\varphi(x) = f(x)g(x)\) также интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
\(\circ\) Из интегрируемости функций \(f\) и \(g\) следует, что эти функции ограничены на отрезке \([a, b]\), и поэтому
$$
\exists C > 0: \forall x \in [a, b] \rightarrow |f(x)| \leq C,\ |g(x)| \leq C.\label{ref2}
$$
Следовательно, функция \(\varphi\) ограничена на отрезке \([a, b]\).
Пусть \(x’,\ x″\) — произвольные точки отрезка \([a, b]\); тогда из равенства
$$
\varphi (x’)-\varphi (x″) = (f(x″)-f(x’)) g(x″) + f(x’)(g(x″)-g(x’))\nonumber
$$
и условий \eqref{ref2} следует неравенство
$$
|\varphi (x’)-\varphi (x″)| \leq C (|f(x″)-f(x’)| + |g(x″)-g(x’)|).\label{ref3}
$$
Если \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([a, b]\), \(\Delta x_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\), \(x’ \in \Delta_{i}\), \(x″ \in \Delta_{i}\), \(\omega_{i}(f)\), \(\omega_{i}(g)\) — колебания на отрезке \(\Delta_{i}\) функций \(f\) и \(g\) соответственно (см. данное замечание здесь), то согласно формуле по ссылке
$$
\omega_{i}(f) = \sup_{x’,\ x″ \in \Delta_{i}} |f(x^{″})-f(x^{‘})|,\qquad \omega_{i}(g) = \sup_{x’,\ x″ \in \Delta_{i}} |g(x″)-g(x’)|.\nonumber
$$
Поэтому из неравенства \eqref{ref3} следует, что
$$
|\varphi (x’)-\varphi (x″)| \leq C (\omega_{i}(f) + \omega_{i}(g)),\nonumber
$$
откуда получаем неравенство
$$
\omega_{i}(\varphi) \leq C (\omega_{i}(f) + \omega_{i}(g)),\ i = \overline{1, n}.\label{ref4}
$$
Умножая \(i\)-е неравенство \eqref{ref4} на \(\Delta x_{i}\) и складывая все получившиеся неравенства, находим
$$
\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(\varphi) \Delta x_{i} \leq C \left(\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} + \sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(g)\Delta x_{i}\right).\label{ref5}
$$
Так как правая часть \eqref{ref5} стремится к нулю, если мелкость разбиения \(T\) стремится к нулю (данное замечание мы разбирали здесь), то и левая часть \eqref{ref5} стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции \(\varphi\) на отрезке \([a, b]\). \(\bullet\)
Свойства, связанные с отрезками интегрирования.
Свойство 1.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\), то она интегрируема на любом отрезке \(\Delta_{1} \subset \Delta\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(\Delta_{1} = [a_{1}, b_{1}]\), тогда \(a \leq a_{1} < b \leq b_{1}\), так как \(\Delta_{1} \subset \Delta\). Нужно доказать, что для любого разбиения \(T_{1}\) отрезка \(\Delta_{1}\) выполняется условие \(S_{T_{1}}-s_{T_{1}} = \sum \omega_{i}(T_{1})\Delta x_{i} \rightarrow 0\) при \(l(T_{1}) \rightarrow 0\), где \(l(T_{1})\) — мелкость разбиения \(T_{1}\), \(\omega_{i}(T_{1})\) — колебание функции \(f\) на \(i\)-м отрезке разбиения \(T_{1}\).
Рассмотрим такое разбиение \(T\) отрезка \([a, b]\), которое имеет на отрезке \(\Delta_{1}\) те же точки разбиения, что и \(T_{1}\), и, кроме того, мелкость разбиения \(T\) удовлетворяет условию \(l(T) \leq l(T_{1})\).
Заметим, что
$$
\sum_{T_{1}}\omega_{i}\Delta x_{i} \leq \sum_{T}\omega_{i}\Delta x_{i}.\label{ref6}
$$
так как все слагаемые в левой и правой частях \eqref{ref6} неотрицательны, а правая сумма соответствует разбиению \(T\) отрезка \([a, b]\) и содержит все слагаемые левой суммы, составленной для разбиения \(T_{1}\) отрезка \([a_{1}, b_{1}]\).
Пусть \(l(T_{1}) \rightarrow 0\), тогда \(l(T) \rightarrow 0\) и по теореме, которую мы доказывали ранее, правая часть \eqref{ref6} стремится к нулю. Но тогда и левая часть \eqref{ref6} для любого разбиения \(T_{1}\) такого, что \(l(T_{1}) \rightarrow 0\), стремится к нулю. Используя достаточное условие данной теоремы, получаем: функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \(\Delta_{1}\). \(\bullet\)
Свойство 2.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\) и \(a < c \ < b\), то справедливо равенство
$$
\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx.\label{ref7}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Существование интегралов в правой части доказано в свойстве 1. Для доказательства формулы \eqref{ref7} воспользуемся равенством
$$
\sigma_{T} (f; \xi) = \sigma_{T}’ (f; \xi) + \sigma_{T}″(f; \xi),\nonumber
$$
где \(\sigma’\) и \(\sigma″\) — интегральные суммы функции \(f\) на отрезках \([a, c]\) и \([c, b]\) разбиения \(T\), причем \(c\) является точкой этого разбиения.
Если \(l(T) \rightarrow 0\), то в силу существования интегралов существуют пределы интегральных сумм \(\sigma\), \(\sigma’\), \(\sigma″\) и справедливо равенство \eqref{ref7}. \(\bullet\)
Замечание 1.
Справедливо утверждение, обратное утверждению, доказанному в свойстве 2: если \(a < c < b\) и если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезках \([a, c]\) и \([c, b]\), то она интегрируема на отрезке \([a, b]\) и справедливо равенство \eqref{ref7}.
Следующее свойство требует расширения понятия интеграла \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) dx\) на случай, когда \(b = a\), а также на случай, когда \(a > b\). Положим по определению
$$
\int\limits_a^a f(x) dx = 0.\label{ref8}
$$
если функция \(f\) определена в точке \(a\).
Если функция интегрируема на отрезке \([a, b]\), то будем считать по определению, что
$$
\int\limits_b^a f(x) dx =-\int\limits_a^b f(x) dx,\ a < b.\label{ref9}
$$
Определения \eqref{ref8} и \eqref{ref9} естественны. В самом деле, при \(a = b\) можно считать, что длины всех отрезков разбиения равны нулю, и поэтому любая интегральная сумма равна нулю.
В случае \(b > a\) можно символу \(\displaystyle\int\limits_b^a f(x) dx\) поставить в соответствие интегральные суммы, которые отличаются лишь знаком от соответствующих интегральных сумм для интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x) dx.\nonumber
$$
Свойство 3.
Если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\) и если \(c_{1}\), \(c_{2}\), \(c_{3}\) — любые точки этого отрезка, то
$$
\int\limits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = \int\limits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + \int\limits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx.\label{ref10}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(c_{1} < c_{2} < c_{3}\), тогда равенство \eqref{ref10} справедливо в силу свойств 1 и 2.Докажем формулу \eqref{ref10} для случая, когда \(c_{1} < c_{3} \ < c_{2}\) (другие случаи рассматриваются аналогично). В силу свойства 2
$$
\int\limits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx = \int\limits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx + \int\limits_{c_{3}}^{c_{2}} f(x) dx,\nonumber
$$
откуда получаем равенство \eqref{ref10}, так как согласно определению \eqref{ref9}
$$
\int\limits_{c_{3}}^{c_{2}} f(x) dx =-\int\limits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx.\nonumber
$$
Если \(c_{1} = c_{3}\), то формула \eqref{ref10} справедлива в силу определений \eqref{ref8} и \eqref{ref9}.\(\bullet\)
Оценки интегралов.
Утверждение 1.
Если \(f(x) \geq 0\) для всех \(x \in [a, b]\) и если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то
$$
\int\limits_a^b f(x) dx \geq 0.\label{ref11}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как для любого разбиения \(T\) отрезка \([a, b]\) и при любой выборке \(\xi = \{\xi_{i}, i = \overline{1, n}\}\) выполняется неравенство
$$
\sigma_{T} (f; \xi) = \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\geq 0,\nonumber
$$
то, переходя в этом неравенстве к пределу при \(l(T) \rightarrow 0\), получаем неравенство \eqref{ref11}.\(\bullet\)
Следствие.
Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) интегрируемы на отрезке \([a, b]\) и если для всех \(x \in [a, b]\) выполняется неравенство \(f(x) \geq g(x)\), то
$$
\int\limits_a^b f(x) dx \geq \int\limits_a^b g(x) dx\nonumber
$$
Утверждение 2.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\),
$$
f(x) \geq 0\ \mbox{для любого}\ x \in [a, b],\label{ref12}
$$
существует точка \(x_{0} \in [a, b]\) такая, что \(f(x_{0}) > 0\), причем функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_{0}\), то
$$
\int\limits_a^b f(x) dx > 0.\label{ref13}
$$
Решение.
\(\circ\) Пусть \(x_{0}\) — внутренняя точка отрезка \([a, b]\), то есть \(x_{0} \in (a, b)\). Тогда в силу свойства сохранения знака для непрерывной функции
$$
\exists \delta > 0: \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) \subset [a, b]. \rightarrow f(x) \geq \frac{f(x_{0})}{2}.\label{ref14}
$$
Обозначим \(\Delta_{1} = [a, x_{0}-\delta]\), \(\Delta_{0} = [x_{0}-\delta, x_{0} + \delta]\), \(\Delta_{2} = [x_{0} + \delta, a]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_{\Delta_{i}} f(x) dx \geq 0\) для \(i = 1, 2\) в силу условия \eqref{ref12}, а
$$
\int\limits_{\Delta_{0}} f(x) dx \geq \int\limits_{\Delta_{0}} \frac{f(x_{0})}{2} dx = f(x_{0})\delta > 0.\nonumber
$$
Аналогично рассматриваются случаи \(x_{0} = a\) и \(x_{0} = b\). \(\bullet\)
Замечание 2.
Условие непрерывности функции \(a\) в точке \(x_{0}\), где \(f(x_{0}) > 0\), является существенным. Пример:
$$
f(x) = 0,\quad 0 < x \leq 1,\quad f(0) = 1,\quad \int\limits_0^1 f(x) dx = 0.\nonumber
$$
Утверждение 3.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то функция \(|f(x)|\) также интегрируема на этом отрезке и справедливо неравенство
$$
\left|\int\limits_a^b f(x) dx\right| \leq \int\limits_a^b f(x) dx.\label{ref15}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим \(g(x) = |f(x)|\) и заметим, что
$$
\forall x’, x″ \in [a, b] \rightarrow |g(x″)-g(x’)| \leq |f(x″)-f(x’)|.\label{ref16}
$$
Пусть \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) — произвольное разбиение отрезка \([a, b]\), \(\omega_{i}(f)\) и \(\omega_{i}(g)\)— колебания функций \(f\) и \(g\) на отрезке \(\Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\). Из неравенства \eqref{ref16} следует, что
$$
\sup_{x’, x″ \in \Delta_{i}}|g(x″)-g(x’)| \leq \sup_{x’, x″ \in \Delta_{i}}|f(x″)-f(x’)|,\nonumber
$$
то есть \(\omega_{i}(g) \leq \omega_{i}(f),\ i = \overline{1, n}\), откуда получаем неравенство
$$
\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(g)\Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i}.\label{ref17}
$$
В силу интегрируемости функции \(f\) правая часть \eqref{ref17} стремится к нулю при \(l(T) \rightarrow 0\), поэтому левая часть \eqref{ref17} также стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции \(g(x) = |f(x)|\) на отрезке \([a, b]\).Докажем неравенство \eqref{ref15}. Так как
$$
\left|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\right| \leq \sum_{i=1}^{n}|f(\xi_{i})|\Delta x_{i},\nonumber
$$
то есть
$$
|\sigma_{T}(\xi;f)| \leq \sigma_{T}(\xi;|f|),\nonumber
$$
то, переходя в этом неравенстве к пределу, получаем неравенство \eqref{ref15}. \(\bullet\)
Замечание 3.
Если функция \(f\) интегрируема на отрезке с концами \(a\) и \(b\) (\(a < b\) или \(a > b\)), то справедливо неравенство
$$
\left|\int\limits_a^b f(x) dx\right| \leq \left|\int\limits_a^b |f(x)| dx\right|.\label{ref18}
$$
Замечание 4.
Из интегрируемости функции \(|f(x)|\) на отрезке \([a, b]\) не следует интегрируемость функции \(f(x)\) на этом отрезке. Пример:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{lc}\ \ 1,&x\in Q\\-1,&x\in J\end{array}\right.\nonumber
$$
Интегральная теорема о среднем.
Теорема.
Пусть функции \(f\) и \(g\) удовлетворяют следующим условиям:
- \(f(x)\) и \(g(x)\) интегрируемы на отрезке \([a, b]\);
- $$
\exists \ m,\ M: \forall x \in [a, b] \rightarrow m \leq f(x) \leq M;\label{ref20}
$$ - функция \(g\) не меняет знака на отрезке \([a, b]\), то есть либо
$$
g(x) \geq 0\ \mbox{при}\ x \in [a, b],\label{ref21}
$$
либо
$$
g(x) \leq 0\ \mbox{при}\ x \in [a, b].\nonumber
$$
Тогда
$$
\exists \mu \in [m, M]: \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = \mu \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref22}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть, например, выполняется условие \eqref{ref21}. Тогда из неравенства \eqref{ref20} следует, что
$$
\forall x \in [a, b] \rightarrow mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).\label{ref23}
$$
Так как функции \(f\) и \(g\) интегрируемы на отрезке \([a, b]\), то функция \(fg\) также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов
$$
m \int\limits_a^b g(x) dx \leq \int\limits_a^b f(x)g(x) dx \leq M \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref24}
$$
Заметим, что если \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x) dx = 0\), то из неравенств \eqref{ref24} следует, что \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)g(x) dx = 0\) и поэтому равенство \eqref{ref22} в этом случае выполняется при любом \(\mu\).
Пусть \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x) dx \neq 0\), тогда \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x) dx > 0\) в силу \eqref{ref21}. Поэтому неравенство \eqref{ref24} равносильно следующему неравенству:
$$
m \leq \mu \leq M,\label{ref25}
$$
где
$$
\mu = \frac{\displaystyle\int\limits_a^b f(x)g(x) dx}{\displaystyle\int\limits_a^b g(x) dx},\label{ref26}
$$
Из \eqref{ref26} следует равенство \eqref{ref22}, где \(\mu \in [m, M]\) в силу неравенства \eqref{ref25}. Теорема доказана для случая, когда \(g(x) \geq 0\). Эта теорема справедлива и в случае \(g(x) \leq 0\), так как при замене \(g(x)\) на \(- g(x)\) равенство \eqref{ref22} сохраняется. \(\bullet\)
Следствие.
Если функция \(f(x)\) непрерывна, а функция \(g(x)\) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\) и не меняет знака, то
$$
\exists c \in [a, b]: \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(c) \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref27}
$$
В частности, если \(g(x) = 1\), то
$$
\exists c \in [a, b]: \int\limits_a^b f(x) dx = f(c)(b-a).\label{ref28}
$$
\(\circ\) Пусть \(m = \displaystyle\inf_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ M = \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x)\). По теореме Вейерштрасса
$$
\exists x_{1}, x_{2} \in [a, b]: f(x_{1}) = m,\ f(x_{2}) = M\nonumber
$$
и выполняется неравенство \eqref{ref20}. Если \(\mu\) — число, определяемое формулой \eqref{ref22}, то \(f(x_{1}) \leq \mu \leq f(x_{2})\), и по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем
$$
\exists c \in [a, b]: f(c) = \mu.\nonumber
$$
Поэтому формулу \eqref{ref22} можно записать в виде \eqref{ref27}. \(\bullet\)
Замечание 5.
Доказанное следствие обычно называют интегральной теоремой о среднем. Это название связано с тем, что в формуле \eqref{ref27} речь идет о существовании некоторой точки отрезка (“средней точки”), для которой выполняется равенство \eqref{ref27} для интегралов.
Замечание 6.
Можно доказать, что в формуле \eqref{ref27} точку \(c\) всегда можно выбрать так, чтобы она принадлежала интервалу \((a, b)\).
Замечание 7.
Если \(f(x) > 0\), то равенство \eqref{ref28} означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком \([a, b]\) равна площади прямоугольника с основанием длины \(b-a\) и высотой, равной значению функции \(f\) в некоторой точке отрезка \([a, b]\).
Пример.
Доказать неравенство
$$
\frac{\pi^{2}}{809} \leq \int\limits_0^{\pi/2} \frac{x\ dx}{100 + 2\sqrt{3}\sin^{3}x \cos x} \leq \frac{\pi^{2}}{800}.\label{ref29}
$$
Решение.
\(\triangle\) Обозначим \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{100 + 2\sqrt{3}\sin^{3}x \cos x},\ g(x) = x\) и воспользуемся неравенством \(0 \leq \sin^{3}x \cos x \leq 3\sqrt{3}/16\), которое выполняется, если \(0 \leq x \leq \pi/2\) (смотри пример здесь). Тогда \(0 \leq 2\sqrt{3}\sin^{3}x \cos x \leq 9/8\) и \(8/809 \leq f(x) \leq 1/100\). Применяя интегральную теорему о среднем (неравенство \eqref{ref24}) и учитывая, что
$$
\int\limits_0^{\pi/2} g(x) dx = \int\limits_0^{\pi/2} x\ dx = \frac{\pi^{2}}{8},\nonumber
$$
получаем неравенство \eqref{ref29}. \(\blacktriangle\)