Производная и ее приложения.

  • Математический анализ

    Изучаем основные понятия анализа: число, функцию, предел, производную, интеграл и т.д. Материал изложен по мотивам материалов в изложении Кудрявцева Л.Д. и Тер-Крикорова А.М.

    • Производная и ее приложения

      Даем определения производной и дифференциала. Разбираем правила дифференцирования и выводим формулы производных для основных функций. Рассказываем о формуле Тейлора и правиле Лопиталя.

      • Производная и дифференциал

        Рассматриваем задачи, приводящие к производной и рассказываем о ее геометрическом смысле. Даем определение производной и дифференциала функции. Вводим понятия односторонних и бесконечных производных.

      • Правила дифференцирования

        Расскажем об основных правилах дифференцирования функций. Познакомимся с дифференцированием сложных и параметрических функций. Покажем основные формулы для нахождения производных элементарных функций.

      • Производные и дифференциалы высших порядков

        Рассказываем о производной и дифференциале второго и более высокого порядка. Разбираем примеры и доказываем формулу Лейбница производной произвольного порядка для произведения функций, имеющих производную того же порядка в точке.

      • Основные теоремы для дифференцируемых функций

        Локальный экстремум функции и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производной. Формула конечных приращений Лагранжа и некоторые ее следствия. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

      • Формула Тейлора

        Расскажем, как разложить функцию в ряд Тейлора. Дадим формулировки разложения в ряд с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Покажем основные примеры использования формулы Тейлора и Маклорена.

      • Правило Лопиталя

        Изучаем возможности и условия использования правила Лопиталя, позволяющего заменять предел отношения функций пределом отношения их производных, в том случае, если эти функции являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими.

      • Исследование функций с помощью производных

        Рассказываем об основных способах и инструментах при исследовании функций. Находим экстремумы, интервалы возрастания и убывания, асимптоты, точки перегиба, зоны выпуклости и так далее. Строим графики функций.

      • Вектор-функции

        Определяем вектор-функции от скалярного аргумента. Рассказываем о ее пределе и свойствах этих пределов. Вводим понятие производной и дифференциала вектор-функции. Доказываем теорему Лагранжа для вектор-функций, а также определяем локальную формулу Тейлора.

      • Кривые

        Изучаем кривые и всё, что с ними связано. Определяем понятия соприкасающейся плоскости, нормальной плоскости, длины дуги кривой и эволюты.