Производная и дифференциал.

Содержание:

  1. Задачи, приводящие к понятию производной.
  2. Определение производной.
  3. Геометрический смысл производной.
  4. Односторонние и бесконечные производные.
  5. Дифференциал функции.
  6. Геометрический и физический смысл дифференциала.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

a) Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по прямой, и пусть \(S=S(t)\) — путь, пройденный точкой за время \(t\) от начала движения. За промежуток времени от \(t\) до \(t+\Delta t\) точка пройдет путь \(S(t+\Delta t)-S(t)\), поэтому средняя скорость за этот промежуток времени равна \(v_{cp.}=\displaystyle \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\delta t}\). Если рассматриваемое движение не является равномерным, то \(v_{cp.}\) при фиксированном \(t\) будет меняться при изменении \(\Delta t\), и чем меньше \(\Delta t\), тем лучше \(v_{cp.}\) будет характеризовать движение точки в момент \(t\).

Скоростью точки в момент \(t\) (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда \(\Delta t\rightarrow 0\), т.е. скорость \(v\) в момент \(t\) определяется равенством
$$
v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}.\nonumber
$$
Таким образом, скорость движения в момент \(t\) — предел отношения приращения пути \(\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)\) за промежуток времени от \(t\) до \(t+\Delta t\) к приращению времени \(\Delta t\), когда \(\Delta t\rightarrow 0\).

Например, если материальная точка движется по закону \(S=gt^{2}/2\) (закон свободного падения), то
$$
v_{cp.}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\delta t}=\frac{g}{2\Delta t}((t+\Delta t)^2-t^2),\nonumber
$$
или
$$
v_{cp.}=gt+\frac{g}{2}\Delta t,\nonumber
$$
откуда \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}v_{cp.}=gt\), т.е. \(v=gt\).

6) Задача о касательной.

Рис. 14.1
Рис. 14.1

Пусть функция \(f\) определена \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\) и непрерывна при \(x=x_0\). Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_0(x_0,y_0)\), где \(y_0=f(x_{0})\). Если \(\Delta x\) — приращение аргумента такое, что \(0\;<\;|\Delta x|\;<\;\delta\), то уравнение прямой \(l\) (рис. 14.1), проходящей через точки \(M_0\) и \(M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))\) можно записать в виде
$$
y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_{0}),\label{ref1}
$$
где
$$
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\operatorname{tg}\alpha.\nonumber
$$

Эту прямую называют секущей, а число \(k=\operatorname{tg}\alpha\) — угловым коэффициентом прямой \(l\); здесь \(\alpha=\alpha(\Delta x)\) — угол, образуемый прямой \(l\) и осью \(Ox\) (этот угол отсчитывается от положительного направления оси \(Ox\) против часовой стрелки).

Пусть \(\Delta x\rightarrow 0\), тогда \(\Delta y\rightarrow 0\) в силу непрерывности функции \(f\) при \(x=x_0\), и поэтому
$$
MM_0=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)}\rightarrow 0.\nonumber
$$
Касательной к кривой, заданной уравнением \(y=f(x)\) в точке \(M_0\) естественно назвать предельное положение секущей \(l\) при \(\Delta x\rightarrow 0\). Если существует
$$
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=k_{0},\label{ref2}
$$
то существует предельное положение секущей. Таким образом, если предел \eqref{ref2} существует, то прямая, проходящая через точку \(M_0\) с угловым коэффициентом \(k_{0}\), является касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}\).

Рассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента, исторически привели к появлению понятия производной — одного из важнейших понятий математического анализа.


2. Определение производной.

Определение 1.
Пусть функция \(y=f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\), и пусть существует конечный предел отношения \(\displaystyle \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\) при \(\Delta x_0\rightarrow 0\). Тогда этот предел называется производной функции \(f\) в точке \(x_0\) и обозначается \(f'(x_0),\;f_x'(x_0)\) или \(y'(x_{0})\), т.е.
$$
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.\label{ref3}
$$

Согласно определению производная функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\) есть предел отношения приращения функции \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) к приращению аргумента \(\Delta\) при условии, что \(\Delta x\rightarrow 0\), т.е.
$$
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.\label{ref4}
$$
Из равенства \eqref{ref4} следует, что
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=\varepsilon(\Delta x),\nonumber
$$
где \(\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0\) откуда получаем
$$
\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x).\label{ref5}
$$
Если \(\Delta x\rightarrow 0\), то \(\Delta y\rightarrow 0\), и поэтому из существования \(f'(x_{0})\) следует непрерывность функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Операция вычисления производной называется дифференцированием.


Пример 1.

Доказать, что функции \(y=C,\;y=x^{n}(n\in\mathbb{N}),\;y=\sin x,\;y=\cos x,\;y=a^x\) имеют производные в каждой точке \(x\in\mathbb{R}\), и найти эти производные.

Решение.

\(\triangle\) a) Если \(y=C\), где \(C\) — постоянная, то \(\Delta y=C-C=0\), и поэтому \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0\), т.е.
$$
C'=0\nonumber
$$
6) Если \(y=x^n\), где \(n\in\mathbb{N}\), то
$$
\Delta y=(x+\Delta x)^n-x^n=x^n+C_n^1x^{n-1}\Delta x+C_n^2x^{n-2}(\Delta x)^2+\ldots+(\Delta x)^n-x^n,\nonumber
$$
$$
\Delta y=nx^{n-1}\Delta x+o(\Delta x),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=nx^{n-1}+o(1),\quad\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\nonumber
$$
т.е.
$$
(x^n)'=nx^{n-1},\quad n\in\mathbb{N}.\label{ref6}
$$

в) Если \(y=\sin x\), то
$$
\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2},\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\frac{\sin\displaystyle\frac{\Delta x}{2}}{\displaystyle\frac{\Delta x}{2}}.\nonumber
$$
Так как \(\cos (x+\frac{\Delta x}{2})\rightarrow \cos x\) при \(\Delta x\rightarrow 0\) в силу непрерывности функции \(\cos x\), а \(\displaystyle \frac{\sin t}{t}\rightarrow 1\) при \(t\rightarrow 0\), то \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow \cos x\) при \(\Delta x\rightarrow 0\), т. е.
$$
(\sin x)'=\cos x.\nonumber
$$

г) Если \(y=\cos x\), то
$$
\Delta y=\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2},\nonumber
$$
откуда
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\sin x,\nonumber
$$
т.е.
$$
(\cos x)'=-\sin x.\nonumber
$$

д) Если \(y=a^x\), то
$$
\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x(a^{\Delta x}-1),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=a^{x}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x},\nonumber
$$
откуда \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow a^x\ln a\) при \(\Delta x\rightarrow 0\), так как \(\displaystyle \frac{a^{t}-1}{t}\rightarrow \ln a\) при \(t\rightarrow 0\) (см.пример здесь).

Таким образом, если \(a>0,\;a\neq 1\), то
$$
(a^x)'=a^{x}\ln a.\label{ref7}
$$
Из формулы \eqref{ref7} при \(a=e\) получаем
$$
(e^x)'=e^{x}.\quad \blacktriangle\label{ref8}
$$


Замечание 1.
Согласно формуле \eqref{ref8} производная показательной функции с основанием \(e\) совпадает с самой функцией. Этим и объясняется тот факт, что в математическом анализе и его приложениях в качестве основания степени и основания логарифмов обычно используется число \(e\).

Пример 2.

Найти производные функций \(y=\log_{a}x\;(a>0,\;a\neq 1,\;x>0)\) и \(y=x^{\alpha}\;\alpha\in\mathbb{R},\;x>0)\).

Решение.

\(\triangle\) a) Если \(y=\log_a(x)\), то
$$
\Delta y=\log_{a}(x+\Delta x)-\log_{a}x=\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x}),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\frac{\log_{a}\left(1+\displaystyle\frac{\Delta x}{x}\right)}{\displaystyle\frac{\Delta x}{x}}\frac{1}{x},
$$
откуда \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a}\), так как \(\displaystyle \frac{\log_a(1+t)}{t}\rightarrow\frac{1}{\ln a}\) при \(t\rightarrow 0\) (см.пример здесь). Итак, если \(a>0,\;a\neq 1,\;x>0\), то
$$
(\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}.\label{ref9}
$$
Из формулы \eqref{ref9} при \(a=e\) получаем
$$
(\ln x)'=\frac{1}{x}.\label{ref10}
$$
6) При \(a=n\), где \(n\in\mathbb{N}\), производная функции \(x^\alpha\) вычисляется по формуле \eqref{ref6}. Покажем, что для любого \(\alpha\in\mathbb{R}\) и при \(x>0\) справедлива формула
$$
(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\label{ref11}
$$
Действительно, если \(y=x^\alpha\), то
$$
\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha}-x^\alpha=x^\alpha\left(\left(1+\displaystyle \frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha}-1\right),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=x^{\alpha-1}\frac{\displaystyle\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha}-1}{\displaystyle\frac{\Delta x}{x}}.\nonumber
$$
Так как \(\displaystyle \frac{(1+t)^{\alpha}-1}{t}\rightarrow\alpha\) при \(t\rightarrow 0\) (см.пример здесь), то \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow\alpha x^{\alpha-1}\) при \(\Delta x\rightarrow 0\), т.е. имеет место равенство \eqref{ref11}. \(\blacktriangle\)


Теорема 1. Функция \(f(x)\) имеет производную в точке \(x_0\) тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки \(x_0\) эта функция представима в виде
$$
f(x)=f(x_{0})+f_{1}(x)(x-x_{0}),\label{ref12}
$$
где \(f_1(x)\) — функция, непрерывная в точке \(x_0\) и такая, что
$$
f_{1}(x_{0})=f'(x_{0}).\label{ref13}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.\label{ref14}
$$
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки \(x_0\). Если существует \(f'(x)\), то существует \(\lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x_0)=f'(x_{0})\). Полагая \(f_1(x_0)=f'(x_0)\), доопределим функцию \(f_1(x)\) по непрерывности в точке \(x_0\). Функция \(f_1(x)\), определяемая формулой \eqref{ref14} и условием \eqref{ref13}, непрерывна в точке \(x_0\), а из равенства \eqref{ref14} следует формула \eqref{ref12}.

Обратно: из \eqref{ref12} следует \eqref{ref14}, а из непрерывности функции \(f_1(x)\) в точке \(x_0\) следует, что существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x)=f_1(x_0)\), т.е. существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})\) м справедливо равенство \eqref{ref13}. \(\bullet\)


3. Геометрический смысл производной.

Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x_0\), т.е. существует конечный предел
$$
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_{0}),\nonumber
$$
то существует предельное положение секущей \(l\) (см. рис. 14.1), заданной уравнением \eqref{ref1}. Это означает, что в точке \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\) существует касательная \(l_0\) (см рис. 14.1) к графику функции \(y=f(x)\), причем согласно формуле \eqref{ref2} \(k_{0}=f'(x_{0})\), где \(k_{0}\) — угловой коэффициент прямой \(l_{0}\). Так как \(k_0=\operatorname{tg}\alpha_0\), где \(\alpha_0\) — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
$$
f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha_0.\label{ref15}
$$
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\).

Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\), получаемое из уравнения \eqref{ref1} заменой \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\) на \(f'(x_0)\), имеет вид
$$
y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).\label{ref16}
$$


Пример 3.

Записать уравнение касательной к графику функции \(y=e^x\) параллельной прямой \(y=x-1\).

Решение.

\(\triangle\) Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой \(y=x-1\), т.е. равен единице, то из уравнения \(f'(x)=e^{x}=1\) получаем \(x_0=0\), а по формуле \eqref{ref16}(16) при \(x_0=0,\;x_0=1,\;f'(x_0)=1\) находим уравнение касательной
$$
y=x+1.\quad \blacktriangle
$$


Пример 4.

Под каким углом график функции \(y=\sin x\) пересекает ось \(Ox\)?

Решение.

\(\triangle\) Синусоида пересекает ось абсцисс в точке \(x_{k}=k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\). Пусть \(\alpha_{k}\) — угол между осью \(Ox\) и графиком функции в точке с абсциссой \(x_{k}\). По формуле \eqref{ref15}, где \(f(x)=\sin x\) находим
$$
f'(x_{k})=\cos k\pi=(-1)^{k}=\operatorname{tg}\alpha_{k}.\nonumber
$$
Следовательно, в точках \(x'_k=2k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\) синусоида пересекает ось \(Ox\) под углом \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\), a в точках \(\widetilde{x}_k=(2k+1)\pi\) — под углом \(\displaystyle \frac{3\pi}{4}\) (рис. 14.2).

Рис. 14.2
Рис. 14.2
Рис. 14.3
Рис. 14.3

Заметим, что касательная к графику функции \(y=\sin x\) в точке \(O\) лежит при \(x>0\) выше графика функции \(y=\sin x\), а при \(x\;<\;0\) — ниже этого графика, так как \(|\sin x|\;<\;|x|\) при \(x\neq 0\). \(\blacktriangle\)


Пусть существует \(f'(x_{0})\). Проведем через точку \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\) прямую \(m_0\), перпендикулярную касательной \(l_{0}\) (рис. 14.3). Эту прямую называют нормалью к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}\).

Если \(A,C,B\) — точки пересечения с осью \(Ox\) соответственно касательной \(l_{0}\), нормали \(m_0\) и прямой, проходящей через \(M_0\) параллельно оси \(Oy\), то отрезок \(AB\) называют подкасательной} а отрезок \(BC\) — поднормалью.


4. Односторонние и бесконечные производные.

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой производных. Если функция \(y-f(x)\) непрерывна слева в точке \(x_0\) и существует предел
$$
\lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\quad где\;\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}),\nonumber
$$
то этот предел называется левой производной функции \(f\) в точке \(x_0\) и обозначают \(f_{-}'(x_0)\). Аналогично, если функция \(y=f(x)\) непрерывна справа в точке \(x_{0}\), то предел \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) называют правой производной функции \(f\) в точке \(x_0\) и обозначают \(f_{+}'(x_{0})\).

Прямые, проходящие через точку \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\), с угловыми коэффициентами \(f_{-}'(x_{0})\) и \(f_{+}'(x_{0})\), называют соответственно левой и правой касательными к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}\).

Из существования производной \(f'(x_{0})\) следует существование \(f_{-}'(x_{0})\) и \(f_{+}'(x_{0})\) и равенство
$$
f_{-}'(x_{0})=f_{+}'(x_0)=f'(x_{0}).\label{ref17}
$$
В этом случае левая и правая касательные к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}\) совпадают с касательной в точке \(M_0\).

Обратно. если существуют левая и правая производные функции \(f\) в точке \(x_0\) и выполняется условие \(f_{-}'(x_0)=f_{+}'(x_{0})\), то существует \(f'(x_0)\) и справедливо равенство \eqref{ref17}.


Пример 5.

Найти левую и правую производные функции \(f(x)=|x|\) в точке \(x_0=0\).

Решение.

\(\triangle\) Здесь \(\Delta y=|\Delta x|\), и поэтому
$$
f_{-}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1,\quad f_{+}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow +0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1.\nonumber
$$

Прямые \(y=-x\) и \(y=x\) являются соответственно левой и правой касательными к графику функции \(y=|x|\) в точке \(O\) (рис 14.4). \(\blacktriangle\)


Замечание 2.
Так как \(f_{-}'(x_0)\neq f_{+}'(x_0)\) для функции \(f(x)=|x|\), то непрерывная в точке \(x_0\) функция \(|x|\) не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает, что из непрерывности функции \(f\) в точке \(x_0\) не следует существование ее производной в данной точке.

Рис. 14.4
Рис. 14.4

Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция \(y=f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\), и пусть
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\infty.\label{ref18}
$$

Тогда прямую \(x=x_{0}\) называют касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_{0}(x_{0},f(x_{0}))\). Эту прямую можно рассматривать как предельное положение (при \(\Delta x\rightarrow 0)\) секущей \(l\), если уравнение \eqref{ref1} записать в виде
$$
x-x_{0}=\frac{\Delta x}{\Delta y}(y-y_{0})\nonumber
$$
и воспользоваться тем, что \(\frac{\Delta x}{\Delta y}\rightarrow 0\) при \(\displaystyle \Delta x\rightarrow 0\) в силу условия \eqref{ref18}. 

Если \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=+\infty\), то говорят, что функция имеет в точке \(x_{0}\) производную, равную \(+\infty\), и пишут \(f'(x_0)=+\infty\). В этом случае односторонние пределы \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) и \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow +0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) называют соответственно левой и правой производной функции \(y=f(x)\) в точке \(x_{0}\) и обозначают \(f_{-}'(x_{0})\)  и \(f_{+}'(x_{0})\). Таким образом, если \(f'(x_{0})=+\infty\), то \(f_{-}'(x_{0})=+\infty\) и \(f_{+}'(x_{0})=+\infty\).

Например, если \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), то \(f'(0)=+\infty\), так как \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt[3]{(\Delta x)^{2}}}=+\infty\).

Рис. 14.5
Рис. 14.5

В точке \((0,0)\) касательной к графику функции \(y=\sqrt[3]{x}\) является прямая \(x=0\) (рис. 14.5).

Аналогично, если \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty\), то говорят, что функция \(y=f(x)\)} имеет в точке \(x_0\) производную, равную \(-\infty\), и пишут \(f'(x_0)=-\infty\).

В случае когда \(f'(x_0)=+\infty\) или \(f'(x_0)=-\infty\), говорят, что функция \(y=f(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).

Обратимся теперь к случаю, когда \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty\) но не выполняется ни одного из условий \(f'(x_0)=+\infty\) или \(f'(x_0)=-\infty\). В этом случае говорят, что \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) не является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow+0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=+\infty\), а \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty\). Этим свойством обладает функция \(y=\sqrt{|x|}\) (рис 14.6) в точке \(x_0=0\), так как \(f_{+}'(0)=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow+0}\frac{\sqrt{|\Delta x|}}{\Delta x}=+\infty\), а \(f_{-}'(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{\sqrt{|\Delta x|}}{\Delta}=-\infty\).

Рис. 14.6
Рис. 14.6


5. Дифференциал функции.

Определение 2.
Если функция \(y=f(x)\) определена в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\), а приращение \(\Delta y\) функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\) представимо в виде
$$
\Delta y=A\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x),\label{ref19}
$$
где \(A=A(x_0)\) не зависит от \(\Delta x\), a \(\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0\), то функция \(f\) называется дифференцируемой в точке \(x_0\), а произведение \(A\Delta x\) называется ее дифференциалом в точке \(x_0\) и обозначается \(df(x_0)\) или \(dy\).

Таким образом,
$$
\Delta y=dy+o(\Delta x)\;при\;\Delta x\rightarrow 0,\label{ref20}
$$
где
$$
dy=A\Delta x.\label{ref21}
$$
Отметим, что приращение \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) можно рассматривать только для таких \(\Delta x\), при которых точка \(x_0+\Delta x\) принадлежит области определения функции \(f\), в то время как дифференциал \(dy\) определен при любых \(\Delta x\).


Теорема 2. Для того чтобы функция \(y=f(x)\) была дифференцируемой в точке \(x_0\), необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке \(x_0\). При этом дифференциал и производная связаны равенством
$$
dy=f'(x_{0})\Delta x.\label{ref22}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Если функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\), то выполняется условие \eqref{ref19}, и поэтому \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\varepsilon(\Delta x)\), где \(\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0(\Delta x\neq 0)\),  откуда следует, что существует \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A\), т.е. существует \(f'(x_0)=A\).

Обратно: если существует \(f'(x_{0})\), то справедливо равенство \eqref{ref5}, и поэтому выполняется условие \eqref{ref19}. Это означает, что функция \(f\) дифференцируема в точке \(x=x_0\), причем коэффициент \(A\) в формулах \eqref{ref19} и \eqref{ref21} равен \(f'(x_{0})\), и поэтому дифференциал записывается в виде \eqref{ref22}. \(\bullet\)


Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала \((a,b)\), называют дифференцируемой на интервале \((a,b)\).

Если функция \(f\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и, кроме того, существуют \(f_{+}'(a)\) и \(f_{-}'(b)\), то функцию \(f\) называют дифференцируемой на отрезке \([a,b]\).


Замечание 3.
Если \(f'(x_0)\neq 0\), то из равенств \eqref{ref20} и \eqref{ref22} следует, что \(dy\neq 0\) при \(\Delta x\neq 0\) и
$$
\Delta y\sim dy\;при\;\Delta x\rightarrow 0.\nonumber
$$
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от \(\Delta x\) и отличается от \(\Delta y\) на бесконечно малую более высокого порядка, чем \(\Delta x\).

Замечание 4.
Приращение \(\Delta x\) часто обозначают символом \(dx\) и называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу \eqref{ref22} записывают в виде
$$
dy=f'(x_{0})dx.\label{ref23}
$$
По формуле \eqref{ref23} можно найти дифференциал функции, зная ее производную. Например, \(d\sin x=\cos x dx,\;de^{x}=e^{x}dx\). Из формулы \eqref{ref23} получаем
$$
f'(x_{0})=\frac{dy}{dx}.\label{ref24}
$$
Согласно формуле \eqref{ref24} производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание 5.
Отбрасывая в формуле \eqref{ref20} член \(o(\Delta x)\), т.е. заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное равенство \(\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x\), или
$$
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x.\label{ref25}
$$
Формулу \eqref{ref25} можно использовать для вычисления приближенного значения \(f(x_{0}+\Delta x)\) при малых \(\Delta x\), если известны значения \(f(x_{0})\) и \(f'(x_0)\).

Пример 6.

Найти с помощью формулы \eqref{ref25} приближенное значение функции \(y=\sqrt[4]{x}\) при \(x=90\).

Решение.

\(\triangle\) Полагая в формуле \eqref{ref25} \(f(x)=\sqrt[4]{x},\;x_0=81,\;\Delta x=9\) и учитывая, что \(f(x_{0})=\sqrt[4]{81}=3,\;f'(x)=\displaystyle \frac{1}{4}x^{-3/4},\;f'(x_{0})=\displaystyle \frac{1}{3^3}\),
получаем \(\sqrt[4]{90}\approx 3+\displaystyle \frac{1}{12}\),
т.е. \(\sqrt[4]{90}\approx 3,083.\blacktriangle\)


6. Геометрический и физический смысл дифференциала.

Выясним геометрический и физический смысл дифференциала. Если функция \(y=f(x)\) дифференцируема при \(x=x_0\), то существует касательная \(l_{0}\) (рис 14.7) к графику этой функции в \(M_0(x_0,f(x_{0}))\), задаваемая уравнением \eqref{ref16}. Пусть

Рис. 14.7
Рис. 14.7

\(M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))\) — точка графика функции \(f\) с абсциссой \(x_0+\Delta x\), \(E\) и \(F\) — точки пересечения прямой \(x=x_0+\Delta x\) с касательной \(l_0\) и прямой \(y=y_0=f(x_0)\) соответственно. Тогда \(F(x_{0}+\Delta x,y_{0})\), \(E(x_0+\Delta x,y_0+f'(x_0)\Delta x)\), так как ордината точки \(E\) равна значению \(y\) в уравнении \eqref{ref16} при \(x=x_0+\Delta x\). Разность ординат точек \(E\) и \(F\) равна \(f'(x_0)\Delta x\), т.е. равна дифференциалу \(dy\) функции \(f\) при \(x=x_0\). Таким образом, дифференциал функции \(y=f(x)\) при \(x=x_0\) равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой \(x_0\) при изменении аргумента от \(x_0\) до \(x+\Delta x\). Так как \(MF=\Delta y,\;EF=dy\), то согласно формуле \eqref{ref20} \(ME=o(\Delta x\) при \(\Delta x\rightarrow 0\).

Обратимся теперь к п.1. Пусть \(S(t)\) — путь, пройденный материальной точкой за время \(t\) от начала движения. Тогда \(S'(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}\) — мгновенная скорость \(v\) точки в момент времени \(t\), т.е. \(v=S'(t)\). По определению дифференциала \(dS=v\Delta t\). Поэтому дифференциал функции \(S(t)\) равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от \(t\) до \(t+\Delta t\), если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени \(t\).