Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача о скорости.
Пусть материальная точка движется по прямой, и пусть S=S(t) — путь, пройденный точкой за время t от начала движения. За промежуток времени от t до t+\Delta t точка пройдет путь S(t+\Delta t)-S(t), поэтому средняя скорость за этот промежуток времени равна v_{cp.}=\displaystyle \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\delta t}. Если рассматриваемое движение не является равномерным, то v_{cp.} при фиксированном t будет меняться при изменении \Delta t, и чем меньше \Delta t, тем лучше v_{cp.} будет характеризовать движение точки в момент t.
Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда \Delta t\rightarrow 0, то есть скорость v в момент t определяется равенством
v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}.
Таким образом, скорость движения в момент t — предел отношения приращения пути \Delta S=S(t+\Delta t)-S(t) за промежуток времени от t до t+\Delta t к приращению времени \Delta t, когда \Delta t\rightarrow 0.
Например, если материальная точка движется по закону S=gt^{2}/2 (закон свободного падения), то
v_{cp.}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\delta t}=\frac{g}{2\Delta t}((t+\Delta t)^2-t^2),
или
v_{cp.}=gt+\frac{g}{2}\Delta t,
откуда \displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}v_{cp.}=gt, то есть v=gt.
Задача о касательной.
Пусть функция f определена \delta-окрестности точки x_0 и непрерывна при x=x_0. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции y=f(x) в точке M_0(x_0,y_0), где y_0=f(x_{0}). Если \Delta x — приращение аргумента такое, что 0 < |\Delta x| < \delta, то уравнение прямой l (рис. 14.1), проходящей через точки M_0 и M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) можно записать в виде
\tag{1}
y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_{0}),
где
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\operatorname{tg}\alpha.
Эту прямую называют секущей, а число k=\operatorname{tg}\alpha — угловым коэффициентом прямой l; здесь \alpha=\alpha(\Delta x) — угол, образуемый прямой l и осью Ox (этот угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки).
Пусть \Delta x\rightarrow 0, тогда \Delta y\rightarrow 0 в силу непрерывности функции f при x=x_0, и поэтому
MM_0=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)}\rightarrow 0.
Касательной к кривой, заданной уравнением y=f(x) в точке M_0 естественно назвать предельное положение секущей l при \Delta x\rightarrow 0. Если существует
\tag{2}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=k_{0},
то существует предельное положение секущей. Таким образом, если предел (2) существует, то прямая, проходящая через точку M_0 с угловым коэффициентом k_{0}, является касательной к графику функции y=f(x) в точке M_{0}.
Рассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента, исторически привели к появлению понятия производной — одного из важнейших понятий математического анализа.
Определение производной.
Определение 1.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x_0, и пусть существует конечный предел отношения \displaystyle \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} при \Delta x_0\rightarrow 0. Тогда этот предел называется производной функции f в точке x_0 и обозначается f'(x_0),\ f_x'(x_0) или y'(x_{0}), то есть
\tag{3}
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.
Согласно определению производная функции y=f(x) в точке x_0 есть предел отношения приращения функции \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) к приращению аргумента \Delta при условии, что \Delta x\rightarrow 0, то есть
\tag{4}
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.
Из равенства (4) следует, что
\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=\varepsilon(\Delta x),
где \varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0 при \Delta x\rightarrow 0 откуда получаем
\tag{5}
\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x).
Если \Delta x\rightarrow 0, то \Delta y\rightarrow 0, и поэтому из существования f'(x_{0}) следует непрерывность функции f(x) в точке x_0.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Пример 1.
Доказать, что функции y=C, y=x^{n}\ (n\in\mathbb{N}), y=\sin x, y=\cos x, y=a^x имеют производные в каждой точке x\in\mathbb{R}, и найти эти производные.
Решение.
- \triangle Если y=C, где C — постоянная, то \Delta y=C-C=0, и поэтому \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0, то есть
C'=0. - Если y=x^n, где n\in\mathbb{N}, то
\Delta y=(x+\Delta x)^n-x^n=x^n+C_n^1x^{n-1}\Delta x+C_n^2x^{n-2}(\Delta x)^2+\ldots+(\Delta x)^n-x^n,
\Delta y=nx^{n-1}\Delta x+o(\Delta x),
откуда
\frac{\Delta y}{\Delta x}=nx^{n-1}+o(1),\quad\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = nx^{n-1},
то есть
\tag{6} (x^n)'=nx^{n-1},\quad n\in\mathbb{N}. - Если y=\sin x, то
\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2},
откуда
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\frac{\sin\displaystyle\frac{\Delta x}{2}}{\displaystyle\frac{\Delta x}{2}}.
Так как \cos (x+\frac{\Delta x}{2})\rightarrow \cos x при \Delta x\rightarrow 0 в силу непрерывности функции \cos x, а \displaystyle \frac{\sin t}{t}\rightarrow 1 при t\rightarrow 0, то \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow \cos x при \Delta x\rightarrow 0, то есть
(\sin x)'=\cos x. - Если y=\cos x, то
\Delta y=\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2},
откуда
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\sin x,
то есть
(\cos x)'=-\sin x. - Если y=a^x, то
\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x(a^{\Delta x}-1),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=a^{x}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x},
откуда \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow a^x\ln a при \Delta x\rightarrow 0, так как \displaystyle \frac{a^{t}-1}{t}\rightarrow \ln a при t\rightarrow 0 (см.пример здесь).
Таким образом, если a>0,\ a\neq 1, то
\tag{7} (a^x)'=a^{x}\ln a.
Из формулы (7) при a=e получаем
\tag{8} (e^x)'=e^{x}.\quad \blacktriangle
Замечание 1.
Согласно формуле (8) производная показательной функции с основанием e совпадает с самой функцией. Этим и объясняется тот факт, что в математическом анализе и его приложениях в качестве основания степени и основания логарифмов обычно используется число e.
Пример 2.
Найти производные функций
- y=\log_{a}x\ (a>0,\ a\neq 1,\ x>0);
- y=x^{\alpha}\ (\alpha\in\mathbb{R},\ x>0).
Решение.
- Если y=\log_a(x), то
\Delta y=\log_{a}(x+\Delta x)-\log_{a}x=\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x}),\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\frac{\log_{a}\left(1+\displaystyle\frac{\Delta x}{x}\right)}{\displaystyle\frac{\Delta x}{x}}\frac{1}{x},
откуда \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a}, так как \displaystyle \frac{\log_a(1+t)}{t}\rightarrow\frac{1}{\ln a} при t\rightarrow 0 (см.пример здесь). Итак, если a>0,\ a\neq 1,\ x>0, то
\tag{9} (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}.
Из формулы (9) при a=e получаем
\tag{10} (\ln x)'=\frac{1}{x}. - При a=n, где n\in\mathbb{N}, производная функции x^\alpha вычисляется по формуле (6). Покажем, что для любого \alpha\in\mathbb{R} и при x>0 справедлива формула
\tag{11} (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.
Действительно, если y=x^\alpha, то
\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha}-x^\alpha=x^\alpha\left(\left(1+\displaystyle \frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha}-1\right),
откуда
\frac{\Delta y}{\Delta x}=x^{\alpha-1}\frac{\displaystyle\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha}-1}{\displaystyle\frac{\Delta x}{x}}.
Так как \displaystyle \frac{(1+t)^{\alpha}-1}{t}\rightarrow\alpha при t\rightarrow 0 (см.пример здесь), то \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow\alpha x^{\alpha-1} при \Delta x\rightarrow 0, то есть имеет место равенство (11). \blacktriangle
Теорема 1.
Функция f(x) имеет производную в точке x_0 тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x_0 эта функция представима в виде
\tag{12}
f(x)=f(x_{0})+f_{1}(x)(x-x_{0}),
где f_1(x) — функция, непрерывная в точке x_0 и такая, что
\tag{13}
f_{1}(x_{0})=f'(x_{0}).
Доказательство.
\circ Рассмотрим функцию
\tag{14}
f_1(x)=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки x_0. Если существует f'(x), то существует \lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x_0)=f'(x_{0}). Полагая f_1(x_0)=f'(x_0), доопределим функцию f_1(x) по непрерывности в точке x_0. Функция f_1(x), определяемая формулой (14) и условием (13), непрерывна в точке x_0, а из равенства (14) следует формула (12).
Обратно: из (12) следует (14), а из непрерывности функции f_1(x) в точке x_0 следует, что существует \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x)=f_1(x_0), то есть существует \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0}) и справедливо равенство (13). \bullet
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x) имеет производную в точке x_0, то есть существует конечный предел
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_{0}),
то существует предельное положение секущей l (см. рис. 14.1.1), заданной уравнением (1). Это означает, что в точке M_{0}(x_{0},f(x_{0})) существует касательная l_0 (см рис. 14.1) к графику функции y=f(x), причем согласно формуле (2) k_{0}=f'(x_{0}), где k_{0} — угловой коэффициент прямой l_{0}. Так как k_0=\operatorname{tg}\alpha_0, где \alpha_0 — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
\tag{15}
f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha_0.
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке M_{0}(x_{0},f(x_{0})).
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке M_{0}(x_{0},f(x_{0})), получаемое из уравнения (1) заменой \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} на f'(x_0), имеет вид
\tag{16}
y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).
Пример 3.
Записать уравнение касательной к графику функции y=e^x параллельной прямой y=x-1.
Решение.
Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой y=x-1, то есть равен единице, то из уравнения f'(x)=e^{x}=1 получаем x_0=0, а по формуле (16) при x_0=0,\ x_0=1,\ f'(x_0)=1 находим уравнение касательной
y=x+1.\quad \blacktriangle
Пример 4.
Под каким углом график функции y=\sin x пересекает ось Ox?
Решение.
\triangle Синусоида пересекает ось абсцисс в точке x_{k}=k\pi\ (k\in\mathbb{Z}). Пусть \alpha_{k} — угол между осью Ox и графиком функции в точке с абсциссой x_{k}. По формуле (15), где f(x)=\sin x находим
f'(x_{k})=\cos k\pi=(-1)^{k}=\operatorname{tg}\alpha_{k}.
Следовательно, в точках x'_k=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z}) синусоида пересекает ось Ox под углом \displaystyle \frac{\pi}{4}, a в точках \widetilde{x}_k=(2k+1)\pi — под углом \displaystyle \frac{3\pi}{4} (рис. 14.2).
Заметим, что касательная к графику функции y=\sin x в точке O лежит при x>0 выше графика функции y=\sin x, а при x < 0 — ниже этого графика, так как |\sin x| < |x| при x\neq 0. \blacktriangle
Пусть существует f'(x_{0}). Проведем через точку M_{0}(x_{0},f(x_{0})) прямую m_0, перпендикулярную касательной l_{0} (рис. 14.3). Эту прямую называют нормалью к графику функции y=f(x) в точке M_{0}.
Если A,C,B — точки пересечения с осью Ox соответственно касательной l_{0}, нормали m_0 и прямой, проходящей через M_0 параллельно оси Oy, то отрезок AB называют подкасательной а отрезок BC — поднормалью.
Односторонние и бесконечные производные.
По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой производных.
Определение.
Если функция y=f(x) непрерывна слева в точке x_0 и существует предел
\lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\quad где\;\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}),
то этот предел называется левой производной функции f в точке x_0 и обозначают f_{-}'(x_0).
Аналогично, если функция y=f(x) непрерывна справа в точке x_{0}, то предел \displaystyle \lim_{x\rightarrow+0}\frac{\Delta y}{\Delta x} называют правой производной функции f в точке x_0 и обозначают f_{+}'(x_{0}).
Прямые, проходящие через точку M_{0}(x_{0},f(x_{0})), с угловыми коэффициентами f_{-}'(x_{0}) и f_{+}'(x_{0}), называют соответственно левой и правой касательными к графику функции y=f(x) в точке M_{0}.
Из существования производной f'(x_{0}) следует существование f_{-}'(x_{0}) и f_{+}'(x_{0}) и равенство
\tag{17}
f_{-}'(x_{0})=f_{+}'(x_0)=f'(x_{0}).
В этом случае левая и правая касательные к графику функции y=f(x) в точке M_{0} совпадают с касательной в точке M_0.
Обратно. если существуют левая и правая производные функции f в точке x_0 и выполняется условие f_{-}'(x_0)=f_{+}'(x_{0}), то существует f'(x_0) и справедливо равенство (17).
Пример 5.
Найти левую и правую производные функции f(x)=|x| в точке x_0=0.
Решение.
\triangle Здесь \Delta y=|\Delta x|, и поэтому
f_{-}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1,\quad f_{+}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow +0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1.
Прямые y=-x и y=x являются соответственно левой и правой касательными к графику функции y=|x| в точке O (рис 14.4). \blacktriangle
Замечание 2.
Так как f_{-}'(x_0)\neq f_{+}'(x_0) для функции f(x)=|x|, то непрерывная в точке x_0 функция |x| не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает, что из непрерывности функции f в точке x_0 не следует существование её производной в данной точке.
Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x_0, и пусть
\tag{18}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\infty.
Тогда прямую x=x_{0} называют касательной к графику функции y=f(x) в точке M_{0}(x_{0},f(x_{0})). Эту прямую можно рассматривать как предельное положение (при \Delta x\rightarrow 0) секущей l, если уравнение (1) записать в виде
x-x_{0}=\frac{\Delta x}{\Delta y}(y-y_{0})
и воспользоваться тем, что \frac{\Delta x}{\Delta y}\rightarrow 0 при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0 в силу условия (18).
Если \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=+\infty, то говорят, что функция имеет в точке x_{0} производную, равную +\infty, и пишут f'(x_0)=+\infty. В этом случае односторонние пределы \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{\Delta y}{\Delta x} и \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow +0}\frac{\Delta y}{\Delta x} называют соответственно левой и правой производной функции y=f(x) в точке x_{0} и обозначают f_{-}'(x_{0}) и f_{+}'(x_{0}). Таким образом, если f'(x_{0})=+\infty, то f_{-}'(x_{0})=+\infty и f_{+}'(x_{0})=+\infty.
Пример.
Если f(x)=\sqrt[3]{x}, то f'(0)=+\infty, так как \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt[3]{(\Delta x)^{2}}}=+\infty.
В точке (0,0) касательной к графику функции y=\sqrt[3]{x} является прямая x=0 (рис. 14.5).
Аналогично, если \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty, то говорят, что функция y=f(x)} имеет в точке x_0 производную, равную -\infty, и пишут f'(x_0)=-\infty.
В случае когда f'(x_0)=+\infty или f'(x_0)=-\infty, говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x_{0} бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).
Обратимся теперь к случаю, когда \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty но не выполняется ни одного из условий f'(x_0)=+\infty или f'(x_0)=-\infty. В этом случае говорят, что \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} не является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow+0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=+\infty, а \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow-0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty. Этим свойством обладает функция y=\sqrt{|x|} (рис 14.6) в точке x_0=0, так как f_{+}'(0)=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow+0}\frac{\sqrt{|\Delta x|}}{\Delta x}=+\infty, а f_{-}'(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{\sqrt{|\Delta x|}}{\Delta}=-\infty.
Дифференциал функции.
Определение 2.
Если функция y=f(x) определена в \delta-окрестности точки x_0, а приращение \Delta y функции y=f(x) в точке x_0 представимо в виде
\tag{19}
\Delta y=A\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x),
где A=A(x_0) не зависит от \Delta x, a \varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0 при \Delta x\rightarrow 0, то функция f называется дифференцируемой в точке x_0, а произведение A\Delta x называется её дифференциалом в точке x_0 и обозначается df(x_0) или dy.
Таким образом,
\tag{20}
\Delta y=dy+o(\Delta x)\ при\ \Delta x\rightarrow 0,
где
\tag{21}
dy=A\Delta x.
Отметим, что приращение \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) можно рассматривать только для таких \Delta x, при которых точка x_0+\Delta x принадлежит области определения функции f, в то время как дифференциал dy определен при любых \Delta x.
Теорема 2.
Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке x_0, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке x_0. При этом дифференциал и производная связаны равенством
\tag{22}
dy=f'(x_{0})\Delta x.
Решение.
\circ Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x_0, то выполняется условие (19), и поэтому \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\varepsilon(\Delta x), где \varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0 при \Delta x\rightarrow 0(\Delta x\neq 0), откуда следует, что существует \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A, то есть существует f'(x_0)=A.
Обратно: если существует f'(x_{0}), то справедливо равенство (5), и поэтому выполняется условие (19). Это означает, что функция f дифференцируема в точке x=x_0, причем коэффициент A в формулах (19) и (21) равен f'(x_{0}), и поэтому дифференциал записывается в виде (22). \bullet
Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (a,b), называют дифференцируемой на интервале (a,b).
Если функция f дифференцируема на интервале (a,b) и, кроме того, существуют f_{+}'(a) и f_{-}'(b), то функцию f называют дифференцируемой на отрезке [a,b].
Замечание 3.
Если f'(x_0)\neq 0, то из равенств (20) и (22) следует, что dy\neq 0 при \Delta x\neq 0 и
\Delta y\sim dy\ при\ \Delta x\rightarrow 0.
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от \Delta x и отличается от \Delta y на бесконечно малую более высокого порядка, чем \Delta x.
Замечание 4.
Приращение \Delta x часто обозначают символом dx и называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу (22) записывают в виде
\tag{23}
dy=f'(x_{0})dx.
По формуле (23) можно найти дифференциал функции, зная её производную. Например, d\sin x=\cos x dx,\;de^{x}=e^{x}dx. Из формулы (23) получаем
\tag{24}
f'(x_{0})=\frac{dy}{dx}.
Согласно формуле (24) производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Замечание 5.
Отбрасывая в формуле (20) член o(\Delta x), то есть заменяя приращение функции её дифференциалом, получаем приближенное равенство \Delta y\approx f'(x_0)\Delta x, или
\tag{25}
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x.
Формулу (25) можно использовать для вычисления приближенного значения f(x_{0}+\Delta x) при малых \Delta x, если известны значения f(x_{0}) и f'(x_0).
Пример 6.
Найти с помощью формулы (25) приближенное значение функции y=\sqrt[4]{x} при x=90.
Решение.
\triangle Полагая в формуле (25) f(x)=\sqrt[4]{x}, x_0=81,\ \Delta x=9 и учитывая, что f(x_{0})=\sqrt[4]{81}=3, f'(x)=\displaystyle \frac{1}{4}x^{-3/4}, f'(x_{0})=\displaystyle \frac{1}{3^3}, получаем \sqrt[4]{90}\approx 3+\displaystyle \frac{1}{12}, то есть \sqrt[4]{90}\approx 3,083.\ \blacktriangle
Геометрический и физический смысл дифференциала.
Выясним геометрический и физический смысл дифференциала.
Если функция y=f(x) дифференцируема при x=x_0, то существует касательная l_{0} (рис 14.7) к графику этой функции в M_0(x_0,f(x_{0})), задаваемая уравнением (16). Пусть M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) — точка графика функции f с абсциссой x_0+\Delta x, E и F — точки пересечения прямой x=x_0+\Delta x с касательной l_0 и прямой y=y_0=f(x_0) соответственно.
Тогда F(x_{0}+\Delta x,y_{0}), E(x_0+\Delta x,y_0+f'(x_0)\Delta x), так как ордината точки E равна значению y в уравнении (16) при x=x_0+\Delta x. Разность ординат точек E и F равна f'(x_0)\Delta x, то есть равна дифференциалу dy функции f при x=x_0.
Таким образом, дифференциал функции y=f(x) при x=x_0 равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x_0 при изменении аргумента от x_0 до x+\Delta x. Так как MF=\Delta y,\;EF=dy, то согласно формуле (20) ME=o(\Delta x при \Delta x\rightarrow 0.
Вернемся к задаче о к скорости. Пусть S(t) — путь, пройденный материальной точкой за время t от начала движения. Тогда S'(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} — мгновенная скорость v точки в момент времени t, то есть v=S'(t). По определению дифференциала dS=v\Delta t. Поэтому дифференциал функции S(t) равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от t до t+\Delta t, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени t.