Предел и непрерывность вектор-функции.
Понятие вектор-функции.
Если каждому значению \(t\in E\), где \(E\subset\mathbb{R}\), поставлен в соответствие вектор \(r(t)\) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве \(E\) задана векторная функция \(r(t)\) скалярного аргумента \(t\).
Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат \(Oxyz\). Тогда задание вектор-функции \(r(t),\ t\in E\), означает задание координат \(x(t),\ y(t),\ z(t)\) вектора \(r(t),\ t\in E\). Если \(i,j,k\) — единичные векторы координатных осей, то
$$
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,\qquad t\in E,\nonumber
$$
или
$$
r(t)=(x(t),y(t),z(t)).\nonumber
$$
Если \(z(t)=0\) при всех \(t\in E\), то вектор-функцию \(r(t)\) называют двумерной.
В случае, когда начало каждого из векторов \(r(t)\) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции \(r(t)\), \(t\in E\), который можно рассматривать как траекторию точки \(M(t)\) конца вектора \(r(t)\), если считать, что \(t\) — время.
Предел вектор-функции.
Вектор \(a\) называют пределом вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и пишут \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=a\) или \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), если
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}} |r(t)-a|=0,\label{ref1}
$$
то есть длина вектора \(r(t)-a\) стремится к нулю при \(t\rightarrow t_0\).
Утверждение 1.
Если заданы \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) и \(a=(a_{1},a_{2},a_{3})\), то
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=a\label{ref2}
$$
тогда и только тогда, когда
$$
x(t)\rightarrow a_1,\ y(t)\rightarrow a_2,\ z(t)\rightarrow a_3\quad при \ t\rightarrow t_0.\label{ref3}
$$
Доказательство.
В самом деле, из неравенства
$$
|r(t)-a|=\sqrt{(x(t)-a_1)^2+(y(t)-a_{2})^{2}+(z(t)-a_{3})^{2}}\label{ref4}
$$
следует, что
$$
|x(t)-a_1| \leq |r(t)-a|,\quad|y(t)-a_2| \leq |r(t)-a|,\quad |z(t)-a_{3}| \leq |r(t)-a|.\nonumber
$$
Поэтому, если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), то есть выполняется условие \eqref{ref1}, то выполняется условие \eqref{ref3}.
Обратно: если выполняются условия \eqref{ref3}, то из равенства \eqref{ref4} следует, что выполнено условие \eqref{ref1}. \(\bullet\)
При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие \eqref{ref2} выполняется в том и только том случае, когда
$$
r(t)=a+\alpha(t),\nonumber
$$
где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, то есть
$$
\alpha(t)\rightarrow 0\quad \mbox{при} \ t\rightarrow t_{0}.\nonumber
$$
Свойства пределов вектор-функций.
Свойство 1.
Если \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow t_{0}}=a\), то \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow t_{0}}|r(t)|=|a|\).
Доказательство.
\(\circ\) Это свойство следует из неравенства
$$
||r(t)|-|a|| \leq |r(t)-a|.\qquad \bullet\nonumber
$$
Свойство 2.
Если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_{0}\), а скалярная функция \(f(t)\) такова, что \(f(t)\rightarrow A\) при \(t\rightarrow t_{0}\), то \(f(t)r(t)\rightarrow Aa\) при \(t\rightarrow t_{0}\), то есть
$$
\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)r(t)=\lim_{t\rightarrow t_{0}}f(t)\lim_{t\rightarrow t_0}r(t).\label{ref5}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции следует, что \(r(t)=a+\alpha(t),\ f(t)=A+\beta(t)\), где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, \(\beta(t)\) — бесконечно малая функция при \(t\rightarrow t_0\). Поэтому \(f(t)r(t)=Aa+\gamma(t)\), где \(\gamma(t)=A\alpha(t)+\beta(t)a+\beta(t)\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция при \(t\rightarrow t_0\), откуда получаем равенство \eqref{ref5}. \(\bullet\)
Свойство 3.
Если \(r_1(t)\rightarrow a_1,\ r_2(t)\rightarrow a_2\) при \(t\rightarrow t_{0}\), то \(r_1+r_2\rightarrow a_1+a_2,\ (r_1,r_2)\rightarrow (a_1,a_2),\ [r_{1},r_2]\rightarrow [a_1,a_2]\) при \(t\rightarrow t_{0}\), то есть
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}}(r_1(t)+r_2(t))=\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_1(t)+\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_2(t),\label{ref6}
$$
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}}(r_1(t),r_2(t))=\left(\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_1(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_2(t)\right),\label{ref7}
$$
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}}[r_1(t),r_2(t)]=\left[\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_1(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}r_2(t)\right].\label{ref8}
$$
Доказательство.
\(\circ\) По условию \(r_{i}(t)=a_{i}+\alpha_{i}\), где \(a_i(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_{0}\ (i=1,2)\). Поэтому \(r_1(t)+r_2(t)=a_1+a_2+\beta(t)\), где \(\beta(t)=\alpha_{1}(t)+\alpha_2(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_{0}\), откуда следует \eqref{ref6}. Докажем формулу \eqref{ref7}. В силу свойств скалярного произведения
$$
(r_{1}(t),r_2(t))-(a_1,a_2)=(\alpha_{1}(t),a_{2})+(\alpha_{2}(t),a_1)+(\alpha_1(t),\alpha_2(t)),\nonumber
$$
причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, так как \(\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t)\) — бесконечно малые вектор-функции и \(|(p,q)| \leq |p|\cdot|q|\) для любых векторов \(p\) и \(q\).
Аналогично доказывается формула \eqref{ref8}, в этом случае следует воспользоваться неравенством \(|[p,q]| \leq |p|\cdot|q|\). \(\bullet\)
Непрерывность вектор-функции.
Вектор-функцию \(r(t)\) называют непрерывной при \(t=t_{0}\), если
$$
\lim_{t\rightarrow t_{0}}r(t)=r(t_0).\label{ref9}
$$
Непрерывность вектор-функции \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) при \(t=t_{0}\) в силу эквивалентности условий \eqref{ref2} и \eqref{ref3} означает, что ее координаты \(x(t),y(t),z(t)\) непрерывны в точке \(t_{0}\).
Назовем вектор-функцию \(\Delta r=r((t_0+\Delta t)-r(t_0)\) приращением вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_{0}\). Тогда условие \eqref{ref9} означает, что
$$
\Delta r\rightarrow 0\quad при\quad \Delta t\rightarrow 0.\label{ref10}
$$
Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) являются непрерывными функциями при \(t=t_{0}\), если вектор-функции \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) непрерывны в точке \(t_{0}\).
Производная и дифференциал вектор-функции.
Производная вектор-функции.
Если существует \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}\) где \(\Delta r=r(t_0+\Delta t)-r(t_0)\), то этот предел называют производной вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и обозначают \(r'(t_0)\) или \(\dot{r}(t_0)\).
Таким образом,
$$
r'(t_{0})=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{r(t_{0}+\Delta t)-r(t_{0})}{\Delta t}.\label{ref11}
$$
Аналогично вводится понятие второй производной
$$
r″(t_{0})=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{r'(t_{0}+\Delta t)-r'(t_{0})}{\Delta t}\nonumber
$$
и производной порядка \(n > 2\) вектор-функции. Заметим, что если \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\), то
$$
r'(t_{0})=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\label{ref12}
$$
Утверждение \eqref{ref12} следует из определения \eqref{ref11} и свойств пределов вектор-функций.
Аналогично, если существует \(r″(t_{0})\), то
$$
r″(t_{0})=(x″(t_0),y″(t_0),z″(t_0)).\nonumber
$$
Из определения производной следует, что \(\Delta r=r'(t_0)\Delta t+\alpha(\Delta t)\Delta t\), где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\), и потому \(\Delta r\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Таким образом, выполняется условие \eqref{ref10}, то есть вектор-функция \(r(t)\), имеющая производную в точке \(t_{0}\), непрерывна при \(t=t_{0}\).
Утверждение 2.
Справедливы следующие правила дифференцирования вектор-функций:
$$
(r_{1}+r_{2})’=r_{1}’+r_{2}’,\label{ref13}
$$
$$
(fr)=f’r+fr’,\label{ref14}
$$
$$
(r_1,r_2)’=(r_1′,r_2)+(r_1,r_2′),\label{ref15}
$$
$$
[r_1,r_2]’=[r_1′,r_2]+[r_1,r_2′].\label{ref16}
$$
Доказательство
\(\circ\) Формулы \eqref{ref13}-\eqref{ref16} справедливы в точке \(t\), если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы \eqref{ref15}. Пусть \(\Delta r_{k}\) — приращение вектор-функции \(r_k(t)\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta t\), то есть \(\Delta r_k=r_k(t+\Delta t)-r_k(t),\ k=1,2\). Тогда, используя свойства скалярного произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем
$$
\begin{array}{l}
(r_{1},r_{2})’=\displaystyle\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{(r_{1}(t+\Delta t),r_{2}(t+\Delta t))-(r_{1}(t),r_{2}(t))}{\Delta t}=\\
=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\left[\left(r_{1}(t),\frac{\Delta r_{2}(t)}{\Delta t}\right)+\left(\frac{\Delta r_{1}(t)}{\Delta t},r_2(t)\right)+\left(\frac{\Delta r_{1}(t)}{\Delta t},\Delta r_2(t)\right)\right]=\\
=(r_1,r_2′)+(r_1′,r_2),
\end{array}\nonumber
$$
так как \(\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{r}_{i}}{\triangle t}\rightarrow r_{i}'(t)\) при \(\Delta t\rightarrow 0\ (i=1,2)\) и \(\Delta r_2\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). \(\bullet\)
Пример 1.
Пусть существует \(r'(t)\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\) и пусть \(|r(t)|=C=const\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\).
Доказать, что \((r(t),r'(t))=0\), то есть векторы \(r(t)\) и \(r'(t)\) ортогональны.
Решение.
\(\triangle\) Используя формулу \(|r(t)|^2=(r(t),r(t))\), правило дифференцирования скалярного произведения (формула \eqref{ref15}) и условие \(|r(t)|=C\), получаем \((r(t),r(t))’=2(r'(t),r(t))=0\), так как \(|r(t)|^{2})’=(C^{2})’=0\). Итак,
$$
|r(t)|=C\Rightarrow (r(t),r'(t))=0.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Дифференциал вектор-функции.
Вектор-функцию \(r(t)\), определенную в некоторой окрестности точки \(t_{0}\), называют дифференцируемой при \(t=t_{0}\), если ее приращение \(\Delta r=r(t_{0}+\Delta t)-r(t_{0})\) в точке \(t_{0}\) представляется в виде
$$
\Delta r=a\Delta t+\Delta t\alpha(\Delta t),\label{ref17}
$$
где вектор \(a\) не зависит от \(\Delta t\), \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\).
В этом случае вектор \(a\Delta t\) называют дифференциалом вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_{0}\) и обозначают \(dr\). Таким образом,
$$
d\textbf{r}=\textbf{a}\Delta t.\nonumber
$$
Как и в случае скалярной функции, дифференцируемость вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_{0}\) равносильна существованию ее производной в точке \(t_0\), причем
$$
\textbf{r}'(t_0)=\textbf{a}.\label{ref18}
$$
Следовательно,
$$
dr=r'(t_{0})\Delta t.\label{ref19}
$$
Если функция \(r(t)\) дифференцируема при \(t=t_{0}\), то, используя равенства \eqref{ref17} и \eqref{ref18}, получаем
$$
\Delta r=r'(t_{0})\Delta t+\Delta t \alpha(\Delta t),\label{ref20}
$$
где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\).
Полагая \(dt=\Delta t\), запишем равенство \eqref{ref19} в виде
$$
dr=r’dt,\nonumber
$$
где опущено обозначение аргумента функции \(r’\). Отсюда получаем
$$
r’=\frac{dr}{dt}.\label{ref21} (21)
$$
Замена переменного.
Утверждение 3.
Если функция \(t=t(s)\) дифференцируема при \(s=s_{0},\ t(s_{0})=t_{0}\), а вектор-функция \(r(t)\) дифференцируема в точке \(t_{0}\), то вектор-функция \(\rho(s)=r(t(s))\) дифференцируема в точке \(s_{0}\), а производная этой функции выражается формулой
$$
\rho’ (s_0)=r_s'(t(s_0))=r_{t}'(t_{0})t_{s}'(s_{0}),\label{ref22}
$$
где индекс указывает, по какому переменному производится дифференцирование.
Доказательство.
\(\circ\) Функция \(\alpha(\Delta(t))\) в формуле \eqref{ref20} не определена при \(\Delta t=0\). Доопределим ее при \(\Delta t=0\), полагая \(\alpha(0)=0\).
Так как \(t=t(s)\) — функция, дифференцируемая при \(s=s_0\), то \(\Delta t=t(s_{0}+\Delta s)-t(s_{0})\rightarrow 0\) при \(\Delta s\rightarrow 0\). Разделив обе части равенства \eqref{ref20} на \(\Delta s\neq 0\), получим
$$
\frac{\Delta r}{\Delta s}=r'(t_0)\frac{\Delta t}{\Delta s}+\alpha(\Delta t)\frac{\Delta t}{\Delta s}.\label{ref23}
$$
Правая часть \eqref{ref23} имеет при \(\Delta s\rightarrow 0\) предел, равный \(r'(t_0)t'(s_0)\), так как \(\Delta t\rightarrow 0\) при \(\Delta s\rightarrow 0\) и \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Следовательно, существует предел в левом части \eqref{ref23}, и справедливо равенство \eqref{ref22}. Формулу \eqref{ref22} запишем кратко в виде равенства
$$
r_{s}’=r_{t}’t_{s}’,\label{ref24}
$$
выражающего правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного. \(\bullet\)
Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.
Замечание 1.
Формула Лагранжа, то есть формула
$$
r(\beta)-r(\alpha)=r'(\xi)(\beta-\alpha),\quad \xi\in(\alpha,\beta),\label{ref25}
$$
для вектор-функции, вообще говоря, неверна.
\(\circ\) В самом деле, пусть формула \eqref{ref25} верна, и пусть \(r(t)=(\cos t,\sin t)\), тогда \(r'(t)=(-\sin t,\cos t),\ |r'(t)|=1\). Полагая \(\alpha=0,\beta=2\pi\), получим из равенства \eqref{ref25} \(0=r(2\pi)-r(0)=r'(\xi)2\pi\), что невозможно, так как \(|r'(\xi)|=1\). \(\bullet\)
Теорема Лагранжа.
(Для вектор-функций).
Если вектор-функция \(r(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\) и дифференцируема на интервале \((\alpha,\beta)\), то
$$
\exists\xi\in(\alpha,\beta):\ |r(\beta)-r(\alpha)|\leq|r'(\xi)|(\beta-\alpha).\label{ref26}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим скалярную функцию
$$
\varphi(t)=(r(\beta)-r(\alpha),r(t)).\nonumber
$$
эта функция непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\), так как вектор-функция \(r(t)\) непрерывна на этом отрезке. Кроме этого, функция \(\varphi(t)\) дифференцируема на интервале \((\alpha,\beta)\), так как функция \(r(t)\) дифференцируема этом интервале, причем в силу правила дифференцирования скалярного произведения
$$
\varphi'(t)=(r(\beta)-r(\alpha),r'(t)).\nonumber
$$
По теореме Лагранжа
$$
\exists\xi\in(\alpha,\beta):\ \varphi(\beta)-\varphi(\alpha)=\varphi'(\xi)(\beta-\alpha)\label{ref27}
$$
Преобразуем левую часть неравенства \eqref{ref27}:
$$
\begin{array}{l}
\varphi(\beta)-\varphi(\alpha)=(r(\beta)-r(\alpha),r(\beta))-(r(\beta)-r(\alpha),r(\alpha))=\\
=(r(\beta)-r(\alpha),r(\beta)-r(\alpha))=|r(\beta)-r(\alpha)|^2
\end{array}\nonumber
$$
Тогда равенство \eqref{ref27} примет вид
$$
|r(\beta)-r(\alpha)|^{2}=(r(\beta)-r(\alpha),r'(\xi))(\beta-\alpha).\label{ref28}
$$
Если \(r(\beta)=r(\alpha)\), то неравенство \eqref{ref26} справедливо при любом \(\xi\in \in(\alpha,\beta)\). Если \(r(\beta)\neq r(\alpha)\), то \(|r(\beta)-r(\alpha)| > 0\). Тогда, используя неравенство \(|(a,b)|\leq|a|\cdot|b|\), из формулы \eqref{ref28} получим
$$
|r(\beta)-r(\alpha)|^{2}\leq|r(\beta)-r(\alpha)|\cdot |r'(\xi)|(\beta-\alpha),\nonumber
$$
откуда, разделив обе части неравенства на \(|r(\beta)-r(\alpha)| > 0\), получим неравенство \eqref{ref26}. \(\bullet\)
Замечание 2.
Для вектор-функции \(r(t)\) справедлива локальная формула Тейлора
$$
r(t)=\sum_{k=0}^{n}\frac{r^{(k)}(t_{0})}{k!}(t-t_{0})^{k}+\varepsilon(t-t_{0}),\label{ref29}
$$
где \(\varepsilon(t-t_0)=o((t-t_{0})^{n})\) — вектор-функция такая, что \(\varepsilon(t-t_0)=(t-t_{0})^{n}\varepsilon_{1}(t-t_{0})\), где \(\varepsilon_{1}(t-t_{0})\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_{0}\).Эта формула справедлива в предположении, что существует \(r^{(n)}(t_0)\). Для доказательства формулы \eqref{ref29} достаточно воспользоваться локальной формулой Тейлора для компонент вектор-функции \(r(t)\).