Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки \(M_{1}\) и \(M_{2}\) с координатами \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\). Чтобы написать уравнение прямой \(M_{1}M_{2}\), примем \(M_{1}\) за начальную точку, a \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле уравнения прямой в пространстве мы получаем
$$
\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}.\label{ref1}
$$
Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.
В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь \((x_{1}, y_{1})\) и \((x_{2}, y_{2})\), и мы получаем по формуле для прямой на плоскости
$$
\begin{vmatrix}
x-x_{1}& y-y_{1}\\
x_{2}-x_{1}& y_{2}-y_{1}
\end{vmatrix}
= 0.\nonumber
$$
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть \(M_{1}\), \(M_{2}\) и \(M_{3}\) — не лежащие на одной прямой точки с координатами \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\), \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) и \((x_{3}, y_{3}, z_{3})\) в общей декартовой системе координат. Выберем \(M_{1}\) в качестве начальной точки, a \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) и \(\overrightarrow{M_{1}M_{3}}\) в качестве направляющих векторов. Тогда по формуле о компланарности прямой и плоскости и формуле для выражения смешанного произведения через координаты получаем уравнение плоскости
$$
\begin{vmatrix}
x-x_{1}& y-y_{1}& z-z_{1}\\
x_{2}-x_{1}& y_{2}-y_{1}& z_{2}-z_{1}\\
x_{3}-x_{1}& y_{3}-y_{1}& z_{3}-z_{1}
\end{vmatrix}
= 0.\label{ref2}
$$
Параллельность прямой и плоскости.
Пусть известен направляющий вектор прямой \(\boldsymbol{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})\), а плоскость задана одним из уравнений \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) или \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=0\). Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}=0)\) или \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}=0)\). Если плоскость задана линейным уравнением \(Ax+By+Cz+D=0\), то по утверждению 5, доказанному ранее, условие параллельности —
$$
A\alpha_{1}+B\alpha_{2}+C\alpha_{3}=0.\label{ref3}
$$
Пусть прямая задана системой уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{l}
A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\
A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.
\end{array}
\right.\nonumber
$$
Тогда по утверждению 10 отсюда условие \eqref{ref3} переписывается в виде
$$
A\begin{vmatrix}
B_{1}& C_{1}\\
B_{2}& C_{2}
\end{vmatrix}
+ B\begin{vmatrix}
C_{1}& A_{1}\\
C_{2}& A_{2}
\end{vmatrix}
+ C\begin{vmatrix}
A_{1}& B_{1}\\
A_{2}& B_{2}
\end{vmatrix}
= 0.\nonumber
$$
или
$$
\begin{vmatrix}
A& B& C\\
A_{1}& B_{1}& C_{1}\\
A_{2}& B_{2}& C_{2}
\end{vmatrix}
= 0.\label{ref4}
$$
Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.
Из формулы \eqref{ref4} следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию
$$
\begin{vmatrix}
A& B& C\\
A_{1}& B_{1}& C_{1}\\
A_{2}& B_{2}& C_{2}
\end{vmatrix}
\neq 0.\label{ref5}
$$
Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пересекаются две плоскости, не параллельна третьей.
Полупространство.
Определение.
Пусть даны плоскость \(P\) и определенный ее нормальный вектор \(\boldsymbol{n}\). Полупространством, определяемым \(P\) и \(\boldsymbol{n}\), называется множество точек \(M\) таких, что для некоторой точки \(M_{0}\) на плоскости вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}\) составляет с \(\boldsymbol{n}\) угол, не больший \(\pi/2\).
Если \(\boldsymbol{r}\) — радиус-вектор точки \(M\), а \(\boldsymbol{r}_{0}\) — точки \(M_{0}\), то определение полупространства, эквивалентно неравенству \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \geq 0\). Это неравенство и есть уравнение полупространства.
Нетрудно проверить, что определение полупространства не зависит от выбора точки \(M_{0}\). Действительно, если \(M_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\) — другая точка плоскости, то вектор \(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{0}\) лежит в плоскости, перпендикулярен \(\boldsymbol{n}\), и мы имеем
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{n})=(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})=(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}).\nonumber
$$
Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно утверждению 3 отсюда выражение \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\) в координатах записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\). Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством
$$
Ax+By+Cz+D \geq 0.\nonumber
$$
Обратно, любое такое неравенство можно записать как \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \geq 0\), откуда сразу видно, что оно задает полупространство.
Плоскость \(P\) и вектор \(\boldsymbol{n}_{1} =-\boldsymbol{n}\) задают другое полупространство с уравнением \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}_{1}) \geq 0\) или \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \leq 0\). Его назовем “отрицательным”, в отличие от “положительного” полупространства \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \geq 0\). Однако такое наименование условно — оно определяется выбором вектора \(\boldsymbol{n}\). Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на (—1). При этом “положительное” полупространство становится “отрицательным”, и наоборот.
Вот, однако, факт, не зависящий от выбора направления нормального вектора: если \(M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \(M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})\) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстановки их координат в левую часть уравнения плоскости \(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D\) и \(Ax_{2}+By_{2}+Cz_{2}+D\) имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве.
Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка \(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) лежит на плоскости, то точка с координатами \(x_{0}+A\), \(y_{0}+B\), \(z_{0}+C\) лежит в “положительном” полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами \(A, B, C\) направлен в “положительное” полупространство. Это легко проверяется подстановкой.
Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство \(Ax+By+Cz+D \geq 0\), связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная прямой \(Ax+By+C=0\), задается неравенством \(Ax+By+C \leq 0\).
Точки \(M_{1}(x_{1}, y_{1})\) и \(M_{2}(x_{2}, y_{2})\) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда \((Ax_{1}+By_{1}+C)(Ax_{2}+By_{2}+C) > 0\).
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть дана плоскость с уравнением \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) и точка \(M\) с радиус-вектором \(R\). Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\), соединяющий начальную точку плоскости с \(M\) (рис. 7.1). Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор \(\boldsymbol{n}\), то есть
$$
h=\frac{|(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})|}{|\boldsymbol{n}|}.\label{ref6}
$$
Если в декартовой прямоугольной системе координат точка \(M\) имеет координаты \((X, Y, Z)\), то равенство \eqref{ref6} запишется согласно ранее доказанным утверждениям (здесь и здесь) так:
$$
h=\frac{|AX+BY+CZ+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.\label{ref7}
$$
Расстояние от точки до прямой.
Если прямая задана уравнением \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]=0\), то мы можем найти расстояние \(h\) от точки \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\) до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\) и \(\boldsymbol{a}\), на длину его основания (рис. 7.2). Результат можно записать формулой
$$
h=\frac{|(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a})|}{|\boldsymbol{a}|}.\label{ref8}
$$
Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.
Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением \(Ax+By+C=0\) в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) — начальная точка прямой, a \(M(X, Y)\) — некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор \(\boldsymbol{a}(-B, A)\). Мы знаем (ранее доказывали), что площадь параллелограмма равна \(S=|(X-x_{0})A-(Y-y_{0})(-B)|\). Тогда по формуле \(S=|AX+BY+C|\) и
$$
h=\frac{|AX+BY+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.\label{ref9}
$$
Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой \eqref{ref6}, считая, что \(\boldsymbol{n}\) — нормальный вектор прямой.
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Пусть прямые \(p\) и \(q\) не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости \(P\) и \(Q\), что прямая \(p\) лежит в \(P\), а прямая \(q\) лежит в \(Q\). (Если уравнения прямых \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{a}_{1}t\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{a}_{2}t\), то плоскость \(P\) имеет начальную точку гд и направляющие векторы \(\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{a}_{2}\). Аналогично строится плоскость \(Q\).) Расстояние \(h\) между \(P\) и \(Q\) называется расстоянием между прямыми \(p\) и \(q\). Если \(p\) и \(q\) пересекаются, то \(P\) и \(Q\) совпадают и \(h=0\).
Для того чтобы найти расстояние \(h\), проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\), \(\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{a}_{2}\), на площадь его основания (рис. 7.3). Мы получим
$$
h=\frac{|(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2})|}{|[\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}]|}.
$$
Знаменатель этой дроби отличен от нуля, поскольку прямые не параллельны.
Утверждение 1.
Прямые линии с уравнениями \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{a}_{1}t\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{a}_{2}t\) пересекаются тогда и только тогда, когда \(h=0\), то есть
$$
(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2})=0,\ [\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}] \neq 0.\nonumber
$$
Вычисление углов.
Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла.
Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол \(\theta\) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы \(\cos \theta \geq 0\), и взять \(0 \leq \theta \leq \pi/2\), то искомый угол дополняет \(\theta\) до \(\pi/2\).
Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами.
Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями \(y=k_{1}x+b_{1}\) и \(y=k_{2}x+b_{2}\) декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через \(\varphi\) угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том же направлении, в котором производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда \(\operatorname{tg} \varphi\) можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых, мы получаем
$$
\operatorname{tg} \varphi=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}.\label{ref10}
$$
Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, векторы с компонентами \(1, k_{1}\) и \(1, k_{2}\) — направляющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно \(1+k_{1}k_{2}\). Таким образом, верно следующее утверждение.
Утверждение 2.
Для перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами \(k_{1}\) и \(k_{2}\) в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно выполнение равенства \(1+k_{1}k_{2}=0\).
Некоторые задачи на построение.
Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция точки.
Если \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) — уравнение плоскости и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\), то прямая с уравнением \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}+t\boldsymbol{n}\) проходит через \(M\) и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцию \(M\) на плоскость. Из \((\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}+t\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n})\) находим \(t\) и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиус-вектор проекции
$$
\boldsymbol{r}_{1}=\boldsymbol{R}-\frac{(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})}{|\boldsymbol{n}|^{2}}\boldsymbol{n}.\nonumber
$$
Таким образом, из радиус-вектоpa \(\boldsymbol{R}\) вычитается проекция \(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\) на нормальный вектор плоскости.
Перпендикуляр из точки на прямую.
Пусть прямая задана уравнением \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]=0\) и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\). Вектор \(\boldsymbol{p}=[\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]\) перпендикулярен плоскости, проходящей через прямую и точку \(M\). Если точка не лежит на прямой, то \(\boldsymbol{p} \neq 0\), и вектор \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}]=[\boldsymbol{a}, [\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]]\) также ненулевой и перпендикулярен \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{p}\). Следовательно, он лежит в указанной плоскости и перпендикулярен прямой. Итак, получено уравнение
$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}+t [\boldsymbol{a}, [\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]]\nonumber
$$
перпендикуляра, опущенного из точки \(M\) на заданную прямую.
Применив формулу двойного векторного произведения, вы заметите, что \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}]\) коллинеарен разности вектора \(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\) и его проекции на вектор \(\boldsymbol{a}\). Задачу можно было решить, заметив это свойство направляющего вектора перпендикуляра.
Уравнение проекции прямой на плоскость.
Его просто получить, если не требуется находить направляющий вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость имеет уравнение \((\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})+D=0\), а прямая — уравнение \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]\), причем \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}] \neq 0\). Тогда плоскость \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})=0\) проходит через прямую перпендикулярно заданной плоскости. Таким образом, проекция прямой может быть задана системой из двух уравнений:
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})=0,\ (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})+D=0.\nonumber
$$
Направляющий вектор проекции \(\boldsymbol{b}\) — проекция \(\boldsymbol{a}\) на плоскость. Она получается из \(\boldsymbol{a}\) вычитанием из него его проекции на нормаль:
$$
\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}-\frac{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})}{|\boldsymbol{n}|^{2}}\boldsymbol{n}.\nonumber
$$
За начальную точку может быть принята точка пересечения проектируемой прямой с плоскостью, если она существует, или же проекция начальной точки прямой.
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
Пусть прямые с уравнениями \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+t\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+t\boldsymbol{a}_{2}\) не параллельны, то есть \([\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}] \neq 0\). Вектор \(\boldsymbol{p}=[\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}]\) перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, плоскость
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{a}_{1}, [\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}])=0\label{ref11}
$$
проходит через первую прямую и общий перпендикуляр к обеим прямым (рис. 7.5), а плоскость
$$
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}, \boldsymbol{a}_{2}, [\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}])=0\label{ref12}
$$
— через вторую прямую и общий перпендикуляр. Поэтому общий перпендикуляр можно задать системой уравнений \eqref{ref11}, \eqref{ref12}. Чтобы найти его начальную точку, можно решить совместно уравнение первой прямой и плоскости \eqref{ref12}. Направляющий вектор — \([\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}]\).
Пучок прямых.
Пучком прямых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку — центр пучка. Пусть \(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\) и \(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\) — уравнения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение
$$
\alpha(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})+\beta(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0\label{ref13}
$$
при условии \(\alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0\) называется уравнением пучка прямых.
Основанием для этого служит следующее утверждение.
Утверждение 3.
При любых \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0)\) уравнение \eqref{ref13} определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде \eqref{ref13}.
Доказательство.
Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении \eqref{ref13} не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде
$$
(\alpha A_{1}+\beta A_{2})x+(\alpha B_{1}+\beta B_{2})y+(\alpha C_{1}+\beta C_{2})=0.\nonumber
$$
Допустим, что \(\alpha A_{1}+\beta A_{2}=0\) и \(\alpha B_{1}+\beta B_{2}=0\). Так как прямые пересекаются, \(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1} \neq 0\) и из утверждения о существовании решения системы уравнений вытекает, что значения \(\alpha=0\), \(\beta=0\) единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение \eqref{ref13} определяет прямую линию.
Обозначим через \(x_{0}\), \(y_{0}\) координаты центра пучка. По условию
$$
A_{1}x_{0}+B_{1}y_{0}+C_{1}=0,\ A_{2}x_{0}+B_{2}y_{0}+C_{2}=0,\nonumber
$$
а потому \(x_{0}\), \(y_{0}\) удовлетворяют уравнению \eqref{ref13}, и прямая проходит через центр пучка.
Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пучка \(M_{0}\), проходит прямая линия с уравнением вида \eqref{ref13}. Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку \(M_{1}(x_{1}, y_{1})\), отличную от \(M_{0}\), и обозначим
$$
u=A_{1}x_{1}+B_{1}y_{1}+C_{1}=0,\ v=A_{2}x_{1}+B_{2}y_{1}+C_{2}=0\nonumber
$$
Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа \(u\) и \(v\) одновременно не равны нулю, и мы вправе положить \(\alpha=-v\), \(\beta=-u\). При таких значениях \(\alpha\) и \(\beta\) координаты точки \(M_{1}\) удовлетворяют уравнению \eqref{ref13}. Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через \(M_{1}\), и утверждение доказано.
Заметим, что каждая пара чисел \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0)\) определяет в пучке единственную прямую, но каждой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел.
Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде
$$
\alpha(x-x_{0})+\beta(y-y_{0})=0,\nonumber
$$
положив, что пучок определяется прямыми \(x-x_{0}=0\) и \(y-y_{0}=0\). Впрочем, и без того очевидно, что это — уравнение произвольной прямой, проходящей через \(M_{0}\).
Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так.
Утверждение 4.
Если система линейных уравнений имеет решение., то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных на какие-то числа.
Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов главы о системах линейных уравнений. Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей.
Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^{2}+\beta^{2} \neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка.
Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку — центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}) +\\+ \gamma(A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2} \neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений плоскостей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.
О геометрическом смысле порядка алгебраической линии.
Предположим, что на плоскости дана алгебраическая линия \(L\), имеющая в декартовой системе координат уравнение
$$
A_{1}x^{k_{1}}y^{l_{1}}+…+A_{s}x^{k_{s}}y^{l_{s}}=0.\label{ref14}
$$
Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравнениями
$$
x=x_{0}+a_{1}t,\ y=y_{0}+a_{2}t.\label{ref15}
$$
Найдем точки пересечения \(L\) и прямой линии. Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра \(t\). Это будут те значения, при которых \(x\) и \(y\), выраженные по формулам \eqref{ref15}, удовлетворяют уравнению \eqref{ref14}. Подставим \eqref{ref15} в \eqref{ref14}:
$$
A_{1}(x_{0}+a_{1}t)^{k_{1}}(y_{0}+a_{2}t)^{l_{1}}+…+A_{s}(x_{0}+a_{1}t)^{k_{s}}(y_{0}+a_{2}t)^{l_{s}}=0.\label{ref16}
$$
Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим многочлены относительно \(t\) степеней \(k_{1}+l_{1}, …, k_{s}+l_{s}\). Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел \(k_{1}+l_{1},…,k_{s}+l_{s}\) — это порядок линии \(L\). Поэтому степень уравнения \eqref{ref16} не превосходит порядка линии.
Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Утверждение 5.
Число точек пересечения алгебраической линии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии.
Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями \(x^{2}+y^{2}=0\) или \((x^{2}+y^{2})^{2}-1=0\).
Пример.
Архимедова спираль — линия с уравнением \(r=\alpha\varphi\) в полярной системе координат — пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией.