Тригонометрические многочлены.
Определение.
Пусть \(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n}, B_{1}, \ldots, B_{n}\) — некоторые вещественные числа. Выражение
$$
T_{n}(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} A_{k} \cos kx+B_{k} \sin kx\nonumber
$$
называют тригонометрическим многочленом степени \(n\).
Очевидно, что \(T_{n}(x)\) — бесконечно дифференцируемая и \(2\pi\)-периодическая функция. Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.
Теорема 1 (Вейерштрасса).
Любую непрерывную \(2\pi\)-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такой тригонометрический многочлен \(T_{n}(x)\), что
$$
\max_{-\infty < x < +\infty} |f(x)-T_{n}(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Частичные суммы ряда Фурье функции \(f(x)\) — тригонометрические многочлены. Сумма Фейера \(\sigma_{n}(x)\), являющаяся средним арифметическим \(S_{0}(x), \ldots, S_{n}(x)\), также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера для любого \(\varepsilon > 0\) найдется сумма Фейера \(\sigma_{n}(x)\) такая, что \(\displaystyle\max_{x \in R} |f(x)-\sigma_{n}(x)| < \varepsilon\). \(\bullet\)
Замечание.
Если функция \(f(x)\) задана на отрезке \([-\pi, \pi]\) и непрерывна, то ее можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда \(f(\pi)=f(-\pi)\).
Равномерное приближение непрерывной на отрезке функции многочленом.
Теорема 2 (Вейерштрасса).
Непрерывную на отрезке \([a, b]\) функцию можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого \(\varepsilon > 0\) найдется многочлен \(P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}\) такой, что
$$
\max_{a \leq x \leq b} |f(x)-P_{n}(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим сначала случай, когда \([a, b]=[0, \pi]\). Продолжим функцию \(f(x)\) на отрезок \([-\pi, 0]\) четным образом, а затем с периодом \(2\pi\)-на всю вещественную ось. Получим четную, \(2\pi\)-периодическую и непрерывную функцию, совпадающую с \(f(x)\) на отрезке \([0, \pi]\) (рис. 69.1).
В силу теоремы Фейера для любого \(\varepsilon > 0\) найдется тригонометрический многочлен \(T_{m}(x)\) такой, что
$$
\max_{-\infty < x < +\infty} |f(x)-T_{m}(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref1}
$$
Заметим, что \(\sin kx\) и \(\cos kx\) раскладываются в степенные ряды, сходящиеся для всех вещественных \(x\) (радиус сходимости этих степенных рядов равен \(+\infty\)). Так как \(T_{m}(x)\) есть конечная линейная комбинация функций \(\sin kx\) и \(\cos kx\), то \(T_{m}(x)\) также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных \(x\),
$$
T_{m}(x)=c_{0}+c_{1}x+\ldots+c_{n}x^{n}+\ldots\nonumber
$$
Известно, что на любом отрезке \([\alpha, \beta]\), лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(n\) такое, что
$$
\max_{0 \leq x \leq \pi} |T_{m}(x)-(c_{0}+c_{1}x+\ldots+c_{n}x^{n})| < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref2}
$$
Если положить \(P_{n}(x)=c_{0}+c_{1}x+\ldots+c_{n}x^{n}\), то в силу \eqref{ref1} и \eqref{ref2} получаем
$$
|f(x)-P_{n}(x)| \leq |f(x)-T_{m}(x)|+|T_{m}(x)-P_{n}(x)| \leq \\ \leq \max_{-\infty < x < +\infty} |f(x)-T_{m}(x)|+\max_{0 \leq x \leq \pi} |T_{m}(x)-P_{n}(x)| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\max_{0 \leq x \leq \pi} |f(x)-P_{n}(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$
Пусть теперь функция \(f(x)\) непрерывна на произвольном отрезке \([a, b]\). Положим
$$
F(t)=f\left[a+\frac{t}{\pi}(b-a)\right],\ 0 \leq t \leq \pi.\nonumber
$$
Тогда функция \(F(t)\) непрерывна на \([0, \pi]\) и ее можно равномерно приблизить на \([0, \pi]\) многочленом \(Q_{n}(t)\), то есть
$$
\max_{0 \leq t \leq \pi} \left|f\left(a+\frac{t}{\pi}(b-a)\right)-Q_{n}(t)\right| < \varepsilon.\label{ref3}
$$
Полагая
$$
x=a+\frac{t}{\pi}(b-a),\quad P_{n}(x)=Q_{n}\left(\pi \frac{x-a}{b-a}\right),\nonumber
$$
получаем из неравенства \eqref{ref3}, что
$$
\max_{a \leq x \leq b} |f(x)-P_{n}(x)| < \varepsilon.\ \bullet\nonumber
$$