Определения.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса \(r\), центр которой находится в точке \(P\) с координатами \((a, b, c)\). Сфера — множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние \(r\). Обозначим через \((x, y, z)\) координаты некоторой точки \(M\) и выразим через них равенство \(|\overrightarrow{PM}|=r\):
$$
\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}=r.\label{ref1}
$$
Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удобную форму
$$
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}.\label{ref2}
$$
Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и только для них. Следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство \eqref{ref2} называется уравнением сферы в рассматриваемой системе координат.
Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функции \(f\) называется линия \(L\), состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением \(y=f(x)\). Если нас интересует в первую очередь линия, а не функция, то можно считать, что соотношение \(y=f(x)\) есть уравнение линии \(L\).
Вообще, под уравнением множества \(S\) в некоторой системе координат следует понимать выражение определения множества \(S\) через координаты его точек, то есть высказывание, верное для координат всех точек множества и неверное для координат точек, ему не принадлежащих.
Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид \(F(x, y)=0\), а в стереометрии — вид \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — функция соответственно двух или трех переменных. Уравнение сферы \eqref{ref2} имеет такой вид, если мы перенесём член \(r^{2}\) в левую часть равенства.
Может случиться, что уравнение какого-либо множества удобнее записать в виде неравенства. Например, шар, ограниченный сферой с уравнением \eqref{ref2}, имеет уравнение
$$
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} \leq r^{2}.\nonumber
$$
Однако напрасно было бы надеяться разделить множества на такие, которые задаются равенствами, и такие, которые задаются неравенствами. Действительно, равенство
$$
\Phi(x, y, z)=F(x,y,z)-|F(x, y , z)|=0\nonumber
$$
задает то же множество, что и неравенство \(F(x,y,z) \geq 0\).
Следует подчеркнуть зависимость уравнения от системы координат. При изменении системы координат меняются координаты точки, а потому уравнения одного и того же множества в разных системах координат, вообще говоря, различны.
Приведем несколько утверждений касательно свойств уравнений множеств.
- Если \(P_{S}\) и \(P_{T}\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), то уравнение пересечения \(S \cap T\) есть высказывание, состоящее в том, что \(P_{S}\) и \(P_{T}\) верны одновременно. Такое высказывание обозначается \(P_{S} \wedge P_{T}\). В случае, когда \(P_{S}\) и \(P_{T}\) — равенства, содержащие координаты точки, \(F_{S}(x, y, z)=0\) и \(F_{T}(x, y, z)=0\), уравнение пересечения есть система уравнений
$$
F_{S}(x, y, z)=0, F_{T}(x, y, z)=0.\nonumber
$$ - Если \(P_{S}\) и \(P_{T}\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), то уравнение объединения \(S \cup T\) — высказывание, состоящее в том, что из \(P_{S}\) и \(P_{T}\) верно хотя бы одно. Такое высказывание обозначается \(P_{S} \vee P_{T}\).
- В случае, когда \(P_{S}\) и \(P_{T}\) — равенства, содержащие координаты точки, \(F_{S}(x, y, z)=0\) и \(F_{T}(x, y, z)=0\), уравнение объединения можно написать в виде
$$
F_{S}(x, y, z) F_{T}(x, y, z)=0.\nonumber
$$ - Если \(P_{S}\) и \(P_{T}\) — уравнения множеств \(S\) и \(T\), и \(S\) есть подмножество \(T\), то из \(P_{S}\) следует \(P_{T}\).
- Множества \(S\) и \(T\) совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны, то есть из \(P_{S}\) следует \(P_{T}\), а из \(P_{T}\) следует \(P_{S}\).
Проиллюстрируем два последних утверждения. Уравнения \eqref{ref1} и \eqref{ref2} эквивалентны. Переходя от \eqref{ref2} к \eqref{ref1}, мы можем не ставить двойного знака перед корнем, так как \(r \geq 0\). Наоборот, уравнение
$$
z-c=\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}-(y-b)^{2}}\label{ref3}
$$
не эквивалентно уравнению \eqref{ref2}. Действительно, хотя возведением в квадрат можно получить \eqref{ref2} из \eqref{ref3}, при извлечении корня из \eqref{ref2} мы получаем
$$
z-c=\pm\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}-(y-b)^{2}}.\nonumber
$$
Это означает, что равенство \eqref{ref2} выполнено не только для точек, удовлетворяющих \eqref{ref3}, но и для точек, удовлетворяющих уравнению
$$
z-c=-\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}-(y-b)^{2}}.\label{ref4}
$$
Уравнение \eqref{ref2} следует также и из \eqref{ref4}. Таким образом, уравнения \eqref{ref3} и \eqref{ref4} определяют части сферы — “верхнюю” и “нижнюю” полусферы.
Иногда два последних утверждения считают определениями отношений “следует” и “эквивалентно” для уравнений.
Алгебраические линии и поверхности.
Определения алгебраической поверхности и линии.
Определение.
Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида
$$
A_{1}x^{k_{1}}y^{l_{1}}z^{m_{1}}+…+A_{s}x^{k_{s}}y^{l_{s}}z^{m_{s}}=0,\label{ref5}
$$
где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм \(k_{1}+l_{1}+m_{1}, …, k_{s}+l_{s}+m_{s}\) называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности.
Это определение означает, в частности, что сфера, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид \eqref{ref2}, является алгебраической поверхностью второго порядка.
Определение.
Алгебраической линией на плоскости называется множество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида
$$
A_{1}x^{k_{1}}y^{l_{1}}+…+A_{s}x^{k_{s}}y^{l_{s}}=0,\label{ref6}
$$
где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм \(k_{1}+l_{1}, …, k_{s}+l_{s}\) называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической линии.
Совсем не обязательно, что алгебраическая поверхность является поверхностью в привычном нам смысле. Например, уравнению \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0\) не удовлетворяют координаты ни одной точки, уравнение
$$
(x^{2}+y^{2}+z^{2})[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}]=0\nonumber
$$
определяет две точки, уравнение \(y^{2}+z^{2}=0\) определяет линию (ось абсцисс). Такое же замечание надо сделать и об алгебраических линиях.
Теоремы о порядке алгебраических линий и поверхностях в различных декартовых системах координат.
Приведенные определения имеют существенный недостаток. Именно, не известно, какой вид имеет уравнение поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе координат. Если же уравнение и имеет в другой системе координат уравнение вида \eqref{ref5}, то порядок какого из этих уравнений мы будем называть порядком поверхности? Те же вопросы возникают и об алгебраических линиях. Ответом служат следующие теоремы, которые имеют одинаковые доказательства (будем доказывать вторую теорему).
Теорема 1.
Алгебраическая поверхность порядка \(p\) в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида \eqref{ref5} порядка \(p\).
Теорема 2.
Алгебраическая линия порядка \(p\) на плоскости в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида \eqref{ref6} порядка \(p\).
Доказательство.
Для доказательства перейдем от системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\), о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат \(O’, \boldsymbol{e}’_{1}, \boldsymbol{e}’_{2}\). Старые координаты \(x, y\) связаны с новыми координатами \(x’, y’\) формулами:
$$
x=a_{1}^{1}x’+a_{2}^{1}y’+a_{0}^{1},\\ y=a_{1}^{2}x’+a_{2}^{2}y’+a_{0}^{2}.\label{ref7}
$$
Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение \(F(x, y)=0\) выражения \(x\) и \(y\) через \(x’\) и \(y’\). При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому \((a_{1}^{1}x’+a_{2}^{1}y’+a_{0}^{1})^{k}\) — многочлен степени \(k\) относительно \(x’\) и \(y’\), а \((a_{1}^{2}x’+a_{2}^{2}y’+a_{0}^{2})^{l}\) — многочлен степени \(l\). Таким образом, каждый одночлен вида \(Ax^{k}y^{l}\) есть многочлен степени \(k+l\) относительно \(x’\) и \(y’\). Степень суммы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых. (Она окажется ниже, если члены с максимальными степенями уничтожатся.)
Итак, мы доказали пока, что алгебраическая линия в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением \(G(x’, y’)=0\) вида \eqref{ref6}, причем степень многочлена \(G(x’, y’)\) не больше степени многочлена \(F(x, y)\), то есть степень уравнения не повышается. Нам осталось доказать, что степень уравнения не может и понизиться, а потому не меняется при переходе к другой системе координат.
Это легко доказать от противного. Действительно,
$$
G(x’, y’)=F(a_{1}^{1}x’+a_{2}^{1}y’+a_{0}^{1}, a_{1}^{2}x’+a_{2}^{2}y’+a_{0}^{2})
$$
Поэтому, если мы подставим в \(G(x’, y’)\) выражения \(x’\) и \(y’\) через \(x\) и \(y\), полученные решением уравнений \eqref{ref7}, мы получим многочлен \(F(x, y)\). Если бы степень \(G\) была меньше степени \(F\), это означало бы, что при переходе от системы координат \(O’, \boldsymbol{e}’_{1}, \boldsymbol{e}’_{2}, \boldsymbol{e}’_{3}\), к системе \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) степень уравнения повысилась, чего, как мы видели, быть не может.
Понятие инварианта и цель курса аналитической геометрии.
Порядок алгебраической линии — первый встретившийся нам пример инварианта. Вообще, инвариантом называют всякую величину, не меняющуюся при изменении системы координат. Только инвариантные комбинации величин (коэффициентов, показателей и так далее), входящих в уравнение линии или поверхности, характеризуют ее геометрические свойства, не зависящие от ее расположения относительно системы координат. Какой геометрический смысл имеет порядок линии, мы увидим в конце главы.
Замечание.
Свойство неизменности порядка не относится к различным уравнениям, которые линия или поверхность могут иметь в одной и той же системе координат. Хотя такие уравнения и эквивалентны, среди них могут быть уравнения различных степеней и даже не получаемые приравниванием многочлена нулю. Действительно, следующие три уравнения задают окружность радиуса 1 в декартовой прямоугольной системе координат:
$$
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1,\ x^{2}+y^{2}-1=0,\ (x^{2}+y^{2}-1)^{2}=0.\nonumber
$$
Принято считать, что эквивалентные уравнения вида \eqref{ref6}, имеющие разные степени, задают разные алгебраические линии (хотя соответствующие множества точек и совпадают). Например, говорят, что последнее из приведенных выше уравнений задает “сдвоенную окружность”.
Теперь мы можем указать основной предмет курса аналитической геометрии. Это — исследование линий и поверхностей первого и второго порядка, которые доступны для изучения средствами элементарной алгебры.
Однако перед этим полезно рассмотреть некоторые более общие уравнения. Мы будем говорить о линиях и поверхностях. Формулирование их общих определений не входит в нашу задачу. Читатель, который любит, чтобы все было точно определено, может под ними понимать соответственно алгебраическую линию и поверхность, однако все результаты имеют место и в более общем случае.
Уравнения, не содержащие одной из координат.
Рассмотрим частный случай уравнения поверхности \(F(x,y,z)=0\), когда левая часть уравнения не зависит от одной из переменных, например, от \(z\), и уравнение имеет вид \(F(x, y)=0\). Пусть точка \(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) лежит на поверхности. Тогда все точки с координатами \(x_{0}, y_{0}, z\) при любых \(z\) также лежат на поверхности. Легко заметить, что все точки с координатами такого вида заполняют прямую, проходящую через \(M_{0}\) в направлении вектора \(\boldsymbol{e}_{3}\). Таким образом, вместе со всякой точкой \(M_0\) на поверхности лежит прямая, проходящая через \(M_0\) в направлении вектора \(\boldsymbol{e}_{3}\).
Определение.
Поверхность, которая состоит из прямых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии — ее образующими (рис. 5.1). Линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.
Таким образом, мы показали, что уравнение, не содержащее одной из координат, определяет цилиндр с образующими, параллельными соответствующей координатной оси.
В качестве примера рекомендуем читателю нарисовать поверхность, заданную уравнением \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве. Эта поверхность — прямой круговой цилиндр. Еще один вопрос, над которым стоит подумать: как выглядят множества, уравнения которых не содержат двух из трех координат, то есть имеют, например, вид \(F(x)=0\)?
Однородные уравнения. Конусы.
Определение.
Пусть для каждой тройки чисел \((x, y, z)\) из области определения функции \(F(x,y,z)\) и для каждого числа \(\lambda\) тройка чисел \((\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) также принадлежит области определения. Кроме того, пусть \(F(\lambda x, \lambda y, \lambda z)=\lambda^{s} F(x,y,z)\), где \(s\) — натуральное число. Тогда \(F\) называется однородной функцией степени \(s\).
Рассмотрим поверхность, определяемую в некоторой декартовой системе координат уравнением \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — однородная функция. Если точка \(M\) с координатами \((x, y, z)\) принадлежит поверхности, то при любом \(\lambda\) точка \(P(\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) также принадлежит поверхности. Радиус-векторы точек \(M\) и \(P\) коллинеарны, и потому точка \(P\) лежит на прямой \(OM\) (рис. 5.2).
Определение.
Поверхность, которая состоит из прямых линий, проходящих через фиксированную точку, называется конической поверхностъю или конусом. Прямые линии называются ее образующими, а точка — вершиной конуса (рис. 5.2). Линию, лежащую на поверхности, не проходящую через вершину и пересекающую все образующие, называют направляющей.
Мы доказали, что уравнение \(F(x,y,z)=0\), где \(F\) — однородная функция, определяет конус с вершиной в начале координат.