Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

Содержание:

  1. Бесконечно малые последовательности.
  2. Бесконечно большие последовательности.
  3. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

1. Бесконечно малые последовательности.

Последовательность \(\{\alpha_{n}\}\) называется бесконечно малой, если
$$
\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0.\nonumber
$$

Это означает, что для любого \(\varepsilon>0\) найдется номер \(N=N_\varepsilon\) такой, что \(|\alpha_{n}-0|=|\alpha_{n}|\;<\;\varepsilon\) для всех \(n\geq N_\varepsilon\).

Понятие бесконечно малой последовательности используется для доказательства свойств сходящихся последовательностей. Пусть число \(a\) — предел последовательности \(\{x_{n}\}\). Обозначим \(\alpha_{n}=x_{n}-a\) По определению предела
$$
\forall\varepsilon>0\\;\exists N_\varepsilon:\quad\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow|x_{n}-a|=|\alpha_{n}|<\varepsilon,\nonumber
$$
то есть \(\{\alpha_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность. Обратно: если \(x_n=a+\alpha_n\), где \(\{\alpha_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность, то
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\).

Приведем примеры бесконечно малых последовательностей:

а) \(\displaystyle \{a/n^{r}\},\;a\in\mathbb{R},\;r=\frac{1}{m},\;m\in\mathbb{N}\); 
б) \(\{q^{n}\},\;|q|<1\);
в) \(\{\sqrt[n]{a}-1\},\;a>1\);
г) \(\{\sqrt[n]{n}-1\}\);
д) \(\{n^{p}/a^{n}\},\;p\in\mathbb{N},\;a>1\).

При изучении свойств сходящихся последовательностей нам потребуется ввести арифметические операции над последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей \(\{x_{n}\}\) и \(\{y_{n}\}\) соответственно последовательности \(\{x_{n}+y_{n}\},\;\{x_{n}-y_{n}\},\;\{x_{n}y_{n}\},\;\{x_{n}/y_{n}\}\). При определении частного предполагается, что \(y_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb{N}\).

Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:

a) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность; 

б) произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

\(\circ\) a) Пусть \(\{\alpha_n\}\) и \(\{\beta_n\}\) — бесконечно малые последовательности. Тогда для любого \(\varepsilon>0\) существуют номера \(N_1=N_{1}(\varepsilon)\) и \(N_{2}=N_{2}(\varepsilon)\) такие, что \(|\alpha_{n}|\;<\;\varepsilon/2\) при всех \(n\geq N_1\) и \(|\beta_n|\;<\;\varepsilon/2\) при всех \(n\geq N_{2}\).

Если \(N=N_\varepsilon=\max(N_{1},N_{2})\), то, используя неравенства для модуля суммы (разности), получаем для всех \(n\geq N\) неравенство
$$
|\displaystyle \alpha_{n}\pm\beta_{n}|\leq|\alpha_{n}|+|\beta_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\nonumber
$$

Следовательно, \(\{\alpha_{n}\pm\beta_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность.

Доказанное свойство с помощью индукции распространяется на любое число слагаемых.

б) Пусть \(\{\alpha_{n}\}\) — ограниченная последовательность, \(\{\beta_n\}\) — бесконечно малая последовательность. По определению ограниченной последовательности
$$
\exists C>0:\quad\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow|\alpha_{n}|\;<\;C,\nonumber
$$
а по определению бесконечно малой последовательности
$$
\displaystyle \forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon:\forall n\geq N_\varepsilon\rightarrow|\beta_{n}|<\frac{\varepsilon}{C}.\nonumber
$$ 
Отсюда следует, что
$$
\displaystyle \forall n\geq N_\varepsilon\rightarrow|\alpha_{n}\beta_{n}|=|\alpha_{n}|\cdot|\beta_{n}|<\frac{\varepsilon}{C}\;C=\varepsilon,\nonumber
$$
т.е. \(\{\alpha_{n}\beta_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность. \(\bullet\)

В частности, если \(\{\alpha_{n}\}\) — стационарная последовательность, т.е. \(\alpha_{n}=a\) для всех \(n\in\mathbb{N}\), а \(\{\beta_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность, то \(\{\alpha_n\beta_n\}\) — бесконечно малая последовательность.

Замечание. Так как бесконечно малая последовательность ограничена (ссылка на теорему), то из доказанного свойства следует, что произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.


2. Бесконечно большие последовательности.

Последовательность \(\{x_{n}\}\) называется бесконечно большой, если для любого \(\delta>0\) существует такой номер \(N_{\delta}\), что для всех \(n\geq N_{\delta}\) выполняется неравенство \(|x_{n}|>\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty\) и говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

Используя логические символы, это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \{\lim_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\infty\}\Leftrightarrow\forall\delta>0\ \exists N_{\delta}:\forall n\geq N_{\delta}\rightarrow|x_{n}|>\delta.\label{ref1}
$$
Дадим геометрическую интерпретацию определения \eqref{ref1}. Назовем \(\delta\) — окрестностью \(\infty\) (рис. 5.1) множество \(E=\{x\in\mathbb{R}:|x|>\delta\}\). Если

Рис. 5.1
Рис. 5.1

последовательность \(\{x_n\}\) имеет бесконечный предел, то в любой \(\delta\)-окрестности \(\infty\) лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Аналогично вводятся для последовательности \(\{x_n\}\) понятия бесконечного предела, равного \(-\infty\) и \(+\infty\) Эти пределы обозначаются соответственно символами \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=-\infty\) и определяются так:
$$
\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=-\infty\}\Leftrightarrow\forall\delta>0\;\exists N_{\delta}:\;\forall n\geq N_{\delta}\rightarrow x_{n}<-\delta,\label{ref2}
$$
$$
\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=+\infty\}\Leftrightarrow\forall\delta>0\;\exists N_{\delta}:\;\forall n\geq N_{\delta}\rightarrow x_{n}>\delta\label{ref3}
$$

Множества \(E_1=\{x\in\mathbb{R}:\;x\;<\;-\delta\}\) и \(E_2=\{x\in\mathbb{R}:x\;>\;\delta\}\), где \(\delta\;>\;0\), назовем \(\delta\)-окрестностями \(-\infty\) и \(+\infty\) соответственно (см. рис. 5.1). Тогда \(E=E_{1}\cup E_{2}\).

Согласно определению \eqref{ref3} последовательность \(\{x_n\}\) имеет предел, равный \(+\infty\), если в \(\delta\)-окрестности символа \(+\infty\) содержатся все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их. Аналогичный смысл имеет определение \eqref{ref2}.

В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.

Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный предел.

Если \(x_{n}=-\sqrt{n}\), то \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=-\infty;\quad\) если \(x_{n}=n^{2}/(n+2)\), то \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=-\infty;\quad\) если \(x_{n}=(-1)^{n}2^{n}\), то \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=\infty\).


3. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

Теорема. Если \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=a,\;\underset{n\rightarrow\infty}{lim}y_n=b\), то:

a) \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}(x_n+y_n)=a+b\);

б) \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}(x_ny_n)=ab\);

в) \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac ab\) при условии, что \(y_n\neq 0\;(n\in\mathbb{N})\) и \(b\neq 0\).

Доказательство.

\(\circ\) Так как \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=a,\;\underset{n\rightarrow\infty}{lim}y_n=b\), тo \(x_n=a+\alpha_n,\;y_n=b+\beta_n\), где \(\{\alpha_{n}\}\) и \(\{\beta_{n}\}\) — бесконечно малые последовательности.

a) Из равенства \(x_{n}+y_{n}=a+b+\alpha_{n}+\beta_{n}\), где \(\{\alpha_{n}+\beta_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность, следует, что \(x_n+y_n\rightarrow a+b\) при \(n\rightarrow\infty\).

6) Воспользуемся равенством
$$
x_ny_n=ab+a\beta_{n}+b\alpha_{n}+\alpha_{n}\beta_{n}.\nonumber
$$

Так как \(\{\alpha_{n}\}\) и \(\{\beta_{n}\}\) — бесконечно малые последовательности, то последовательности \(\{a\beta_n\},\;\{b\alpha_n\}\) и \(\{\alpha_n\beta_n\}\) также являются бесконечно малыми, откуда следует, что \(\{a\beta_n+b\alpha_{n}+\alpha_{n}\beta_{n}\}\) — бесконечно малая последовательность. Поэтому \(x_ny_n\rightarrow ab\) при \(n\rightarrow\infty\).

в) Докажем, что \(\displaystyle \{\frac{x_{n}}{y_{n}}-\frac{a}{b}\}\) — бесконечно малая последовательность. Имеем \(\displaystyle \frac{x_{n}}{y_{n}}-\frac{a}{b}=\frac{(a+\alpha_{n})b-(b+\beta_{n})a}{by_{n}}=(\alpha_{n}-\frac{a}{b}\beta_{n})\frac{1}{y_{n}}\). Так как \(\{\alpha_{n}\}\) и \(\{\beta_{n}\}\) бесконечно малые последовательности, то и последовательность \(\displaystyle \{\alpha_{n}-\frac{a}{b}\beta_{n}\}\) также является бесконечно малой.

По условию \(y\rightarrow n\) при \(n\rightarrow \infty\), где \(b\neq 0\) и \(y_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb{N}\). Поэтому (смотри пример) последовательность \(\displaystyle \{\frac{1}{y_n}\}\) является ограниченной.

Отсюда следует, что \(\displaystyle \{(\alpha_{n}-\frac{a}{b}\beta_{n})\frac{1}{y_n}\}\) — бесконечно малая последовательность как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

Таким образом, \(\displaystyle \left\{\frac{x_n}{y_n}-\frac ab\right\}\) — бесконечно малая последовательность, и поэтому \(\displaystyle \frac{x_n}{y_n}\rightarrow\frac{a}{b}\) при \(n\rightarrow\infty.\bullet\)


Пример 1.

Найти \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}S_n\), если \(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{a_ka_{k+1}}\), где \(\{a_k\}\) — арифметическая прогрессия, все члены и разность \(d\) которой отличны от нуля.

Решение.

\(\triangle\quad\) Используя равенство
$$
S_{n}=\displaystyle \frac{1}{da_{1}}-\frac{1}{d(a_{1}+nd)},\nonumber
$$

полученное в примере, решенном ранее, находим \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\frac{1}{da_{1}}.\quad\blacktriangle\)


Пример 2.

Пусть \(P_{k}(x)=a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+\ldots+a_{k-1}x+a_{k},\quad Q_{k}(x)=b_{0}x^{k}+b_{1}x^{k-1}+\ldots+b_{k-1}x+b_{k}\), где \(a_{0}\neq 0,\;b_{0}\neq 0\). Найти \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P_{k}(n)}{Q_{k}(n)}\).

Решение.

\(\triangle\quad\) Разделив числитель и знаменатель дроби на \(n^{k}\), получаем
$$
\displaystyle \frac{P_{k}(n)}{Q_{k}(n)}=\frac{a_{0}+a_{1}\frac{1}{n}+\ldots+a_{k}\frac{1}{n^{k}}}{b_{0}+b_{1}\frac{1}{n}+\ldots+b_{k}\frac{1}{n^{k}}}.\nonumber
$$

Отсюда следует, что искомый предел равен \(a_{0}/b_{0}\), так как \(a/n^{p}\rightarrow 0\) при \(n\rightarrow\infty\) для любого \(a\in\mathbb{R}\) и любого \(p\in\mathbb{N}\) (см. пример). \(\blacktriangle\)


Пример 3.

Найти \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n\), где \(x_n=\displaystyle \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}\).

Решение.

\(\triangle\quad\) Воспользуемся формулой \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), полученной ранее (ссылка на пример). Тогда \(\displaystyle x_{n}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)\) , откуда находим \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\frac{1}{3}.\quad\blacktriangle\)


Пример 4.

Найти \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n},\quad x_{n}=\sqrt{n^{2}+2n+3}-\sqrt{n^{2}-2n+5}\).

Решение.

\(\triangle\quad\) Так как
$$
x_{n}=\displaystyle \frac{(n^{2}+2n+3)-(n^{2}-2n+5)}{\sqrt{n^{2}+2n+3}+\sqrt{n^{2}-2n+5}}=\frac{4-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^{2}}}},\nonumber
$$
то, используя результат разобранного ранее примера, получаем \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=2.\blacktriangle\)


Пример 5.

Доказать, что последовательность \(\{x_{n}\}\), где \(x_n=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\), сходится, и найти ее предел.

Решение.

\(\triangle\quad\) В сумме \(x_{n}\) каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтому
$$
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\,<\,x_{n}\,<\,\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}},\nonumber
$$
или
$$
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\,<\,x_{n}\,<\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}.\nonumber
$$
Используя доказанную ранее теорему и результат разобранного ранее примера, получаем, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1.\blacktriangle\)