Комплекснозначные функции.
Теория рядов Фурье без существенных изменений переносится на комплекснозначные функции вещественной переменной, то есть функции вида \(f(x) = f_{1}(x)+if_{2}(x)\), где функции \(f_{1}(x)\) и \(f_{2}(x)\) принимают вещественные значения.
Если несобственный интеграл \(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|\ dx\) сходится, то будем говорить, что функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на интервале \((a, b)\).
Если \(f_{1}(x)\) и \(f_{2}(x)\) принадлежат классу \(L_{2}^{C}(a, b)\), то будем говорить, что функция \(f(x) = f_{1}(x)+if_{2}(x)\) принадлежит классу \(L_{2}^{C}(a, b)\).
Будем говорить, что функции \(f(x)\) и \(\varphi(x) = \varphi_{1}(x)+i\varphi_{2}(x)\) класса \(L_{2}^{C}(a, b)\) ортогональны, если
$$
\int\limits_{a}^{b} f(x)\overline{\varphi(x)}\ dx = 0,\ \mbox{где}\ \overline{\varphi(x)} = \varphi_{1}(x)-i\varphi_{2}(x).\nonumber
$$
Ряд Фурье в комплексной форме.
Если функция \(f(x) = f_{1}(x)+if_{2}(x)\) абсолютно интегрируема на интервале \((-\pi, \pi)\), то для нее могут быть вычислены все коэффициенты Фурье
$$
a_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_{1}(x) \cos nx\ dx+\frac{i}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_{2}(x) \cos nx\ dx = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx\ dx,\nonumber
$$
$$
b_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_{1}(x) \sin nx\ dx+\frac{i}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_{2}(x) \sin nx\ dx = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\ dx\nonumber
$$
и, следовательно, может быть написан тригонометрический ряд Фурье
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos kx+b_{k} \sin kx.\label{ref1}
$$
Используя формулы Эйлера
$$
\cos kx = \dfrac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2},\quad \sin kx = \dfrac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i},\nonumber
$$
запишем частичную сумму ряда \eqref{ref1} в следующем виде:
$$
S_{n}(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{2} (e^{ikx}+e^{-ikx})+\frac{b_{k}}{2i} (e^{ikx}-e^{-ikx}) =\\= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k}-ib_{k}}{2} e^{ikx}+\dfrac{a_{k}+ib_{k}}{2} e^{-ikx}.\label{ref2}
$$
Если ввести обозначения
$$
c_{k} = \frac{1}{2} (a_{k}-ib_{k}),\ c_{-k} = \frac{1}{2} (a_{k}+ib_{k})\ (k = 0, 1, \ldots),\label{ref3}
$$
то
$$
\begin{array}{cc}
& c_{k} = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) (\cos kx-i\sin kx)\ dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx}\ dx,\\
& \\
& c_{-k} = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) (\cos kx+i\sin kx)\ dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{ikx}\ dx,
\end{array}\label{ref4}
$$
Формулу \eqref{ref2} для частичной суммы \(S_{n}(x)\) можно теперь записать в следующем виде:
$$
S_{n}(x) = \sum_{k = -n}^{n} c_{k} e^{ikx},\label{ref5}
$$
где
$$
c_{k} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx}\ dx,\quad k \in \boldsymbol{Z}.\label{ref6}
$$
Ряд \(\displaystyle\sum_{k = -\infty}^{+\infty} c_{k} e^{ikx}\), где коэффициенты \(c_{k}\) определяются формулами \eqref{ref6}, будем называть рядом Фурье функции \(f(x)\) в комплексной форме и будем писать
$$
f(x) \sim \sum_{k = -\infty}^{+\infty} c_{k} e^{ikx}.\label{ref7}
$$
Если существует предел последовательности \(S_{n}(x)\), определенной равенством \eqref{ref5}, то будем говорить, что ряд \eqref{ref7} сходится, и записывать это в следующем виде:
$$
\sum_{k = -\infty}^{+\infty} c_{k} e^{ikx} = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x).\label{ref8}
$$
Если, в частности, \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) = f(x)\), то пишут
$$
f(x) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} c_{k} e^{ikx}.\label{ref9}
$$