Пусть кривая \(\Gamma\) задана натуральным уравнением. Будем предполагать, что в точке \(M\in\Gamma\), где \(\overrightarrow{OM}=\textbf{r}(s)\), существует кривизна \(k=k(s)\neq 0\). Тогда радиус кривизны кривой \(\Gamma\) в точке \(M\) равен
$$
R=R(s)=\frac{1}{k(s)}.\label{ref42}
$$
Отложим на главной нормали кривой \(\Gamma\) (рис. 22.9) в направлении главной нормали \(\nu=\nu(s)\) отрезок \(MN\) длиной \(R=R(s)\) и назовем точку \(N\) центром кривизны кривой \(\Gamma\) в точке \(M\). Пусть \(\overrightarrow{ON}=\rho\).
Так как \(\overrightarrow{MN}=R(s)\nu(s)\), то получаем:
$$
\boldsymbol{\rho}=\textbf{r}(s)+R(s)\boldsymbol{\nu}(s).\label{ref43}
$$
Используя формулу \eqref{ref42} и равенство
$$
\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}=\frac{d\tau}{ds}=k(s)\boldsymbol\nu(s),\nonumber
$$
запишем уравнение \eqref{ref43} в следующем виде:
$$
\boldsymbol\rho=\textbf{r}(s)+\frac{1}{(k(s))^2}\frac{d^2\textbf{r}}{ds^2}.\label{ref44}
$$
Предполагая, что во всех точках кривой \(\Gamma\) кривизна отлична от нуля, построим для каждой точки кривой центр кривизны и назовем множество всех центров кривизны кривой \(\Gamma\) эволютой этой кривой.
Если кривая \(\Gamma_1\) — эволюта кривой \(\Gamma\), то кривую \(\Gamma\) называют эвольвентой кривой \(\Gamma_1\). Уравнение эволюты кривой \(\Gamma\), заданной натуральным уравнением, имеет вид \eqref{ref44}.
Если кривая \(\Gamma\) задана уравнением кривой в векторной форме, то уравнение эволюты этой кривой можно получить, заменив в равенстве \eqref{ref44} \(k\) и \(\displaystyle\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\) их выражениями по формулам отсюда и отсюда.
В случае, когда плоская кривая \(\Gamma\) задана уравнением \(\Gamma=\{x=x(t),\;y=y(t),\;\alpha\leq t\leq\beta\}\), ее кривизна выражается формулой отсюда, а \(\displaystyle \frac{d^2\textbf{r}}{ds^2}\) — формулой из этого утверждения, где
$$
\textbf{r}’=(x’,y’),\quad r″=(x″,y″),\quad s’=\sqrt{(x’)^{2}+(y’)^{2}},\quad s″=\frac{x’x″+y’y″}{s},\nonumber
$$
и поэтому
$$
\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}=\left(\frac{x″}{(s’)^{2}}-\frac{x'(x’x″+y’y″)}{(s’)^{4}},\;\frac{y″}{(s)^{2}}-\frac{y'(x’x″+y’y″)}{(s’)^{4}}\right)=\\=\left(\displaystyle y’\frac{x″y’-x’y″}{((x’)^{2}+(y’)^{2})^{2}},\; x’\frac{y″x’-y’x″}{((x’)^{2}+(y’)^{2})^{2}}\right).\nonumber
$$
Если \(\boldsymbol\rho=(\xi,\eta)\), то уравнение \eqref{ref44} в координатной форме примет вид
$$
\xi=x-y’\frac{(x’)^{2}+(y’)^{2}}{x’y″-y’x″},\quad \eta=y+x’\frac{(x’)^{2}+(y’)^{2}}{x’y″-y’x″}.\label{ref45}
$$
Равенства \eqref{ref45} задают эволюту кривой \(\Gamma\) в координатной форме.
Замечание 1.
Приведем без доказательства физическое истолкование эволюты и эвольвенты. Пусть на эволюту натянута гибкая нерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натянутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить термины эволюта («развертка») и эвольвента («развертывающаяся»).
Пример 1.
Найти эволюту эллипса \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\).
Решение.
\(\triangle\) В этом случае \(x’=-a\sin t,\;y’=b\cos t,\;x″=a\cos t,\;y″= -b\sin t\),и формулы \eqref{ref45} принимают вид
$$
\xi=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}\cos^3 t,\quad \eta=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}\sin^{3}t.\nonumber
$$
Следовательно, эволютой эллипса является астроида. \(\blacktriangle\)
Если плоская кривая задана уравнением \(y=f(x)\), то уравнения \eqref{ref45} записываются в виде
$$
\xi=x-\frac{1+(f'(x))^{2}}{f″(x)}f'(x),\qquad \eta=f(x)+\frac{1+(f'(x))^{2}}{f″(x)}.\label{ref46}
$$
Найти эволюту параболы \(y=ax^{2}\).
\(\triangle\) Используя формулы \eqref{ref46}, где \(f(x)=ax^{2}\), получаем
$$
\xi=x-\frac{1+4a^{2}x^{2}}{2a}2ax=-4a^{2}x^{3},\qquad \eta=ax^{2}+\frac{1+4a^{2}x^{2}}{2a}=\frac{1}{2a}+3ax^{2}.\nonumber
$$
Исключая \(x\), получаем
$$
\xi^{2}=\frac{16a}{27}\left(\eta-\frac{1}{2a}\right)^{3}.\nonumber
$$
Следовательно, эволютой параболы является полукубическая парабола. \(\blacktriangle\)