Периодические функции.
Мы уже знакомы с периодическими функциями. Под периодом \(T\) функции \(f(x)\) будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции \(\sin x\) и \(\cos x\) имеют период \(2\pi\), а функция \(\operatorname{tg} x\) имеет период \(\pi\).
Если функция \(f(x)\) имеет период \(2l\), то будем называть ее \(2l\)–периодической. Функцию, определенную на \([-l, l)\), можно периодически продолжить на \((-\infty, +\infty)\), сдвигая последовательно график функции на промежутке \([-l, l)\) параллельно оси \(x\) на \(2nl\), где \(n = 0, \pm 1,\ldots\). Если существуют односторонние пределы \(f(-l + 0)\) и \(f(l-0)\), то, в силу периодичности выполняются равенства
$$
f(l + 0) = \lim_{x \rightarrow l + 0} f(x) = \lim_{u \rightarrow + 0} f(l + u) = \lim_{u \rightarrow + 0} f(-l + u) = \lim_{x \rightarrow -l + 0} f(x) = f(-l + 0).\nonumber
$$
Если \(f(-l + 0) \neq f(l-0)\), то продолженная функция в точках \(l(2n + 1)\), \(n \in \mathbb{Z}\), будет иметь разрывы первого рода со скачком \(f(-l + 0)-f(l-0)\) даже в том случае, когда функция \(f(x)\) была непрерывной на промежутке \([-l, l)\) (см. рис. 63.1). Функция \(f(x)\), непрерывная на промежутке \([-l, l)\), будучи периодически продолженной на \((-\infty, +\infty)\), останется непрерывной в том и только том случае, когда \(f(-l + 0) = f(l-0)\).
Лемма 1.
Если функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на отрезке \([-l, l]\) и \(2l\)-периодическая, то для любого вещественного числа \(a\) выполнено равенство
$$
\int\limits_{a-l}^{a + l} f(x)\ dx = \int\limits_{- l}^{l} f(x)\ dx.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Это утверждение было уже доказано нами ранее. \(\bullet\)
Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции.
В дальнейшем считаем, что полупериод \(l = \pi\). Такое предположение не ограничивает общности, поскольку от периода \(2l\) к периоду \(2\pi\) можно перейти при помощи простой замены независимой переменной.
Запишем для \(2\pi\)-периодической абсолютно интегрируемой функции ее тригонометрический ряд Фурье и построим последовательность частичных сумм этого ряда
$$
S_{n}(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos kx + b_{k} \sin kx.\label{ref1}
$$
Заметим, что функция \(S_{n}(x)\) бесконечно дифференцируема и \(2\pi\)-периодична.
Найдем формулу для \(S_{n}(x)\) (формулу Дирихле). При \(u \neq 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\), справедливо тождество
$$
D_{n}(u) = \frac{1}{2} + \cos u + \ldots + \cos nu = \dfrac{\displaystyle\sin \left(n + \frac{1}{2}\right)u}{2\displaystyle\sin \frac{u}{2}}.\label{ref2}
$$
\(\circ\) Достаточно заметить, что
$$
2D_{n}(u) \sin \frac{u}{2} = \sin \frac{u}{2} + 2 \cos u \sin \frac{u}{2} + \ldots + 2 \cos nu \sin \frac{u}{2} =\\= \sin \frac{u}{2} + \sin \frac{3u}{2}-\sin \frac{u}{2} + \ldots + \sin (n + \frac{1}{2})u-\\-\sin (n-\frac{1}{2})u = \sin (n + \frac{1}{2})u.\ \bullet\nonumber
$$
Функция \(D_{n}(u)\), определяемая формулой \eqref{ref2}, называется ядром Дирихле.
Лемма 2.
Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная и \(2\pi\)-периодическая функция, причем
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} D_{n}(u)\ du = 1.\label{ref3}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Четность, \(2\pi\)-периодичность и бесконечная дифференцируемость ядра Дирихле следуют из формулы \eqref{ref2}, так как теми же свойствами обладает функция \(\cos ku\). Формула \eqref{ref3} также следует из формулы \eqref{ref2}, поскольку
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} D_{n}(u)\ du = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (\frac{1}{2} + \cos u + \ldots + \cos nu)\ du =\\= 1 + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos ku\ du = 1.\ \bullet \nonumber
$$
Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм ряда Фурье. Подставляя в формулу \eqref{ref1} для частичной суммы выражения для коэффициентов Фурье и используя формулу \eqref{ref2} для ядра Дирихле, получаем
$$
S_{n}(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t)\ dt + \\ + \sum_{k=1}^{n} (\cos ku \cdot \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt\ dt + \sin kt \cdot \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt\ dt) = \\ = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) (\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kx \cos kt + \sin kx \sin kt)\ dt = \\ = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) (\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos k(x-t))\ dt = \\ = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) D_{n}(x-t)\ dt = \frac{1}{\pi} \int\limits_{x-\pi}^{x + \pi} f(x-u) D_{n}(u)\ du.\nonumber
$$
Так как подынтегральная функция \(2\pi\)-периодическая, а интеграл по отрезку длины \(2\pi\) в силу леммы 1 не зависит от того, в каком месте вещественной оси этот отрезок расположен, то
$$
S_{n}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-u) D_{n}(u)\ du.\label{ref4}
$$
Выражение \eqref{ref4} для частичной суммы ряда Фурье называют формулой Дирихле. Если разбить отрезок интегрирования на два симметричных отрезка, сделать во втором интеграле замену переменной \(u = -v\) и воспользоваться четностью ядра Дирихле, то эту формулу можно еще преобразовать к виду
$$
S_{n}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} (f(x + u) + f(x-u)) D_{n}(u)\ du.\label{ref5}
$$