Функции многих переменных.

  • Математический анализ

    Изучаем основные понятия анализа: число, функцию, предел, производную, интеграл и т.д. Материал изложен по мотивам материалов в изложении Кудрявцева Л.Д. и Тер-Крикорова А.М.

    • Функции многих переменных

      Описываем функции, зависящие от нескольких переменных. Вводим определения частных производных и дифференциалов высших порядков. Разбираем ряд задач решаемых с помощью замены переменных.

      • Пространство \(R^n\)

        Вводим понятие метрического пространства, метрики и определяем аксиомы метрики. Определяем свойства последовательностей, множеств и других объектов (прямые, лучи, отрезки) в метрическом пространстве.

      • Предел функции многих переменных

        Определяем предел функции многих переменных в точке и по множеству. Вводим понятие повторных пределов и приводим примеры.

      • Непрерывность функции многих переменных

        Рассказываем о непрерывности функции многих переменных. Определяем, что такое функция непрерывная на множестве и вводим теоремы Вейерштрасса для таких функций. Доказываем теорему Кантора о равномерной непрерывности функции на компакте.

      • Дифференцируемость функции многих переменных

        Вводим понятие частной производной. Доказываем необходимые и достаточные условия для дифференцируемости функции многих переменных. Записываем формулу конечных приращений Лагранжа. Определяем производную по направлению и градиент.

      • Частные производные и дифференциалы высших порядков

        Описываем частные производные высших порядков для функции многих переменных. Доказываем теорему о смешанных производных и рассказываем о дифференциалах высших порядков.

      • Неявные функции

        Рассказываем о неявных функциях. Доказываем теорему о существовании, непрерывности и дифференцируемости неявных функций как для одного уравнения, так и для системы уравнений. Определяем, что такое образ точки и ее прообраз. Рассказываем о регулярном отображении, как об отображении, якобиан которого не равен нулю.

      • Замена переменных

        Разбираем примеры с использованием техники замены переменных для упрощения решения.