Неявные функции

разделов

от теории до практики

примеров

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Содержание

Неявные функции, определяемые одним уравнением.
Начать изучение
Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Начать изучение
Локальная обратимость регулярного отображения.
Начать изучение

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция $F(x,y)$ определена в $R^2$. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label{ref1}
$$

Множество $G_F$ точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref{ref1}, было названо графиком уравнения. Через $A_F$ будем обозначать проекцию графика $G_F$ на ось $x$. Будем рассматривать такие уравнения \eqref{ref1}, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения $x^2 + y^2 — 1 = 0$ есть окружность, график уравнения $(x-1)(x+y-1)=0$ есть пара прямых $x = 1$ и $x+y-1=0$ (рис. 28.1).

Если график $G_F$ уравнения \eqref{ref1} взаимно однозначно проектируется на $A_F$, то существует единственная функция $f: \; A_F\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_F$ ставит в соответствие тот единственный $y$, для которого $F(x,y)=0$. Говорят, что уравнение \eqref{ref1} определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Но, как правило, график уравнения \eqref{ref1} не проектируется взаимно однозначно на $A_F$. Тогда на $A_F$ в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика $G_F$ уравнения \eqref{ref1}. Так, разбивая отрезок $[-1,1]$ точками $x_0= -1 < x_1 < \ldots < x_n=1$ и полагая на каждом из отрезков $[x_{i-1},x_i]$ функцию $f(x)$ равной $\displaystyle\sqrt{1-x^2}$ или $\displaystyle -\sqrt{1-x^2}$, получим, что график $f$ есть некоторое подмножество графика уравнения $x^2+y^2-1=0$, так что $x^2+(f(x))^2 — 1 = 0$.

Пусть график уравнения $G_F$ не проектируется взаимно однозначно на $A_F$, но существует такой прямоугольник
$$
K = \{(x,y): \; a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d\},\nonumber
$$
что та часть графика $G_F$, которая лежит внутри $K$, взаимно однозначно проектируется на отрезок $[a,b]$. Тогда определена функция $f: \; [a,b]\rightarrow R$, которая каждому $x\in [a,b]$ ставит в соответствие единственный $y\in [c,d]$ такой, что $(x,y)\in G_F$. Очевидно, что $F(x,f(x))=0$. Говорят, что функция $f(x)$ неявно определяется уравнением \eqref{ref1} в прямоугольнике $K$, или что уравнение \eqref{ref1} определяет в прямоугольнике $K$ переменную $y$ как неявную функцию переменной $x$.

Например, уравнение $x^2+y^2-1=0$ неявно определяет функцию $y=\sqrt{1-x^2}$ в прямоугольнике $-1\leq x\leq 1, \; 0\leq y\leq 1$ и функцию $y=-\sqrt{1-x^2}$ в прямоугольнике $-1\leq x\leq 1, \; -1\leq y\leq 0$.

Меняя местами переменные $x$ и $y$, можно говорить о том, что уравнение \eqref{ref1} определяет в некотором прямоугольнике переменную $x$ как неявную функцию переменной $y$.

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref{ref1} в некотором прямоугольнике.

Теорема 1.

Пусть:

функция $F(x,y)$ имеет в окрестности точки $(x_0,y_0)$ непрерывные частные производные $F_x(x,y)$ и $F_y(x,y)$;
$F(x_0,y_0)=0$;
$F_y(x_0,y_0)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \{(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\},\nonumber
$$
в котором уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$. Функция $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(x_0-a,x_0+a)$ и
$$
f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.\label{ref2}
$$

Доказательство.

$\circ$ Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ следует, что либо $F_y(x_0,y_0) > 0$, либо $F_y(x_0,y_0) < 0$. Без ограничения общности можно считать, что
$$
F_y(x_0,y_0) > 0.\label{ref3}
$$
Если $F_y(x_0,y_0) < 0$, то вместо уравнения $F(x,y)=0$ можно было бы рассмотреть эквивалентное уравнение $\widetilde{F}(x,y)=-F(x,y) = 0$. Тогда $\widetilde{F}(x_0,y_0)=-F(x_0,y_0) > 0$.

Так как функция $F_y(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ непрерывна и в силу условия \eqref{ref3} принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\{(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\},\nonumber
$$
в котором функция $F_y(x,y) > 0$.

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция $\psi (y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$, так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия $F(x_0,y_0)=0$
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) < 0,\quad \psi(y_0+b)=F(x_0,y_0+b) > 0.\label{ref4}
$$
Неравенства \eqref{ref4} в силу непрерывности функции $F(x,y)$ должны сохраняться в некоторых окрестностях точек $(x_0,y_0-b)$ и $(x_0,y_0+b)$. Поэтому существует такое $a\in (0,a_1)$, что для всех $x\in [x_0-a,x_0+a]$ выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) < 0,\quad F(x,y_0+b) > 0.\label{ref5}
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\{(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\},\nonumber
$$
уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Возьмем любую точку $x^*\in [x_0-a,x_0+a]$ и рассмотрим непрерывную на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ функцию одной переменной $\varphi (y)=F(x^*,y)$. В силу условия \eqref{ref5} эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) < 0,\quad \varphi(y_0+b)=F(x^*,y_0+b) > 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка $y^*\in [y_0-b,y_0+b]$, что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как $\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0$, то функция $\varphi(y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого $x\in [x_0-a,x_0+a]$ найдется единственный $y\in [y_0-b,y_0+b]$ такой, что $F(x,y) = 0$. Это означает, что в прямоугольнике $K$ уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике $K$ функция $F_y(x,y)$ по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение $\alpha$. Так как $F_y(x,y) > 0$ на $K$, то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label{ref6}
$$

Непрерывная на $K$ функция $F_x(x,y)$ ограничена на $K$. Поэтому
$$
|F_x(x,y)| < \beta,\qquad (x,y)\in K.\label{ref7}
$$

Пусть $y=f(x)$ есть неявная функция, определяемая в прямоугольнике $K$ уравнением $F(x,y)=0$. Возьмем две точки $(x,y)$ и $(x + \Delta x,y+\Delta y)$, лежащие на графике функции $f(x)$. Тогда
$$
F(x,y)=0,\qquad F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0.\nonumber
$$

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
$$
\begin{array}{c}
F_x(x+\theta\Delta x, y +\theta\Delta y)\Delta x+ F_y(x+\theta\Delta x, y +\theta\Delta y)\Delta y = 0,\\
\Delta y=\displaystyle-\frac{F_x(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}{F_y(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}\Delta x,\quad 0 < \theta < 1\end{array}\label{ref8}
$$

Если воспользоваться неравенствами \eqref{ref6} и \eqref{ref7}, то из \eqref{ref8} получаем
$$
|\Delta y|\leq \frac{\beta}{\alpha}|\Delta x|.\label{ref9}
$$
Следовательно, $\Delta y\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ и неявная функция $f(x)$ непрерывна в любой точке $x\in[x_0-a,x_0+a]$.

Если теперь воспользоваться непрерывностью частных производных, то, деля второе из равенств \eqref{ref8} на $\Delta x$ и переходя к пределу при $\Delta x\rightarrow 0$, получаем, что существует предел отношения $\Delta y/\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$ и $f'(x)$ вычисляется при помощи формулы \eqref{ref2}. Из этой формулы следует, что $f'(x)$ будет непрерывной функцией на отрезке $[x_0-a,x_0+a]$ как суперпозиция непрерывных функций. $\bullet$

Замечание 1.

Если известно, что уравнение $F(x,y)=0$ определяет в прямоугольнике $a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d$ переменную $y$ как неявную функцию $x$, то связь между $dy$ и $dx$ можно установить, формально дифференцируя тождество $F(x,y(x)) = 0$. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал $d^2y$
$$
F_{xx} dx^2 + 2F_{xy} dx dy + F_{yy} dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему $m$ уравнений с $n+m$ неизвестными
$$
\left\{\begin{array}{l}F_1(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1},\ldots,x_{n+m})=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1},\ldots,x_{n+m})=0\end{array}\right.\label{ref10}
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если $A$ и $B$ — произвольные множества, то их декартово произведение $A\times B$ есть множество пар $(x,y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Так, декартово произведение $[a,b]\times [c,d]$ есть множество пар вещественных чисел таких, что $a\leq x\leq b,$ и $c\leq y\leq d$, то есть прямоугольник в $R^2$.

Клеточной окрестностью точки $x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\{x: \; x\in R^n, \; -\varepsilon_i\leq x_i-x_i^0\leq \varepsilon_i, \; i=\overline{1,n}\},\nonumber
$$
где $\varepsilon_i, \; i =\overline{1,n}$ — положительные числа, $x = (x_1,…,x_n)$.

Легко видеть, что в том случае, когда $K_1(x^0)\subset R^n$ и $K_2(y^0)\subset R^m$ — клеточные окрестности, их декартово произведение $K_1(x^0)\times K_2(y^0)$ есть клеточная окрестность точки $(x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0$ в пространстве $R^{n+m}$.

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая $x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)$, где $y_1=x_{n+1},…,y_m=x_{n+m}$.

Тогда систему уравнений \eqref{ref10} можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline{1,m}.\label{ref11}
$$

Функции $F_i(x,y) = 0$ будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки $(x^0,y^0)$.

Определение.

Пусть $K(x^0)\subset R^n$ и $Q(y_0)\subset R^m$ есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений $F_i(x,y)=0, \; i=\overline{1,m}$, определяет в $K(x^0)\times Q(y_0)$ переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$, если для любого $x\in K(x^0)$ найдется единственный $y\in Q(y^0)$ такой, что $F_i(x,y) = 0, \; i=\overline{1,m}$.

Теорема 2.

Пусть выполнены следующие условия:

функции $F_i(x,y)=0, \; i=\overline{1,m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки ($x^0,y^0)$;
$F_i(x^0,y^0) = 0, \; i =\overline{1,m};$
$$
{\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&…&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_m}\\…&…&…\\\displaystyle\frac{\partial F_m}{\partial y_1}&…&\displaystyle\frac{\partial F_m}{\partial y_m}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}\neq0\label{ref12}
$$

Тогда найдутся клеточные окрестности $K(x^0) \subset R^n$ и $Q(y^0) \subset R^m$ такие, что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref{ref11} определяет переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$. Неявные функции $y_j =\varphi_j(x)$ непрерывно дифференцируемы в $K(x^0)$ и $y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline{1,m}$.

Доказательство.

$\circ$ Воспользуемся методом индукции по числу уравнений $m$. При $m=1$ доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref{ref11} содержит $m-1$ уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref{ref11} из $m$ уравнений.

Так как определитель \eqref{ref12} отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
{\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&…&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_{m-1}}\\…&…&…\\\displaystyle\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_1}&…&\displaystyle\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{m-1}}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ $0$ означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом $0$).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin{array}{c}K_1=\displaystyle\left\{(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline{1,n}, \; \vert y_m-y_m^0\vert < \delta_m’\right\},\\Q_1=\displaystyle\left\{(y_1,…,y_{m-1}), \; \vert y_j-y_j^0\vert\leq\delta_j’, \; j=\overline{1,m-1}\right\},\end{array}\label{ref13}
$$
в которых система первых $m-1$ уравнений \eqref{ref11} определяет $y_1,…,y_{m-1}$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n,y_m$, то есть
$$
y_j=\psi_j(x,y_m),\quad j=\overline{1,m-1}.\label{ref14}
$$

Функции $\psi_j(x,y_m)$ непрерывно дифференцируемы и
$$
\psi_j(x^0,y_m^0)=y_j^0,\quad j=\overline{1,m-1};\quad (x,y_m)\in K_1,\label{ref15}
$$
$$
F_j(x,\psi_1(x,y_m),\ldots,\psi_{m-1}(x,y_m),y_m)\equiv 0.\label{ref16}
$$
Если
$$
\begin{array}{c}K_2=\left\{(x_1,…,x_n): \; \vert x_i-x_i^0\vert < \varepsilon_i’, \; i=\overline{1,n}\right\},\\Q_2=\left\{(y_1,…,y_m): \; \vert y_j-y_j^0\vert < \delta_j’, \; j=\overline{1,m}\right\},\end{array}\nonumber
$$
то при $x\in K_2, \; y\in Q_2$ система уравнений \eqref{ref11} эквивалентна следующей системе:
$$
\begin{array}{c}y_1-\psi_1(x,y_m)=0, \; y_{m-1}-\psi_{m-1}(x,y_m)=0,\\{\widetilde F}_m(x,y_m)=F_m(x, \; \psi_1(x,y_m), \; …, \; \psi_{m-1}(x,y_m), \; y_m)=0.\end{array}\label{ref17}
$$

Покажем, что последнее уравнение системы \eqref{ref17} $\widetilde{F}_m(x,y_m)=0$ может быть разрешено относительно $y_m$. Для него выполнены все условия теоремы 1. Из формулы \eqref{ref17} следует, что $\widetilde{F}_m(x,y_m)$ непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций. Вследствие равенств \eqref{ref15} получаем, что
$$
{\widetilde F}_m(x^0,y_m^0)=\\=F_m(x^0, \; \psi_1(x^0,y_m^0), \; …, \; \psi_{m-1}(x^0,y_m^0), \; y_m^0)=F_m(x^0,y_1^0,…,y_m^0)=0.\nonumber
$$

Осталось проверить условие $\displaystyle{\left.\frac{\partial{\widetilde F}_m}{\partial y_m}\right|}_0\neq 0$.
Если оно не выполнено, то
$$
{\left.\frac{\partial{\widetilde F}_m}{\partial y_m}\right|}_0=\sum_{p=1}^{m-1}{\left.\frac{\partial F_m}{\partial y_p}\right|}_0 \; {\left.\frac{\partial\psi_p}{\partial y_m}\right|}_0+{\left.\frac{\partial F_m}{\partial y_m}\right|}_0=0.\label{ref18}
$$

С другой стороны, дифференцируя по $y_m$ тождества \eqref{ref16} в точке $(x^0,y^0)$, получаем
$$
\sum_{p=1}^{m-1}{\left.\frac{\partial F_j}{\partial y_p}\right|}_0 \; {\left.\frac{\partial\psi_p}{\partial y_m}\right|}_0+{\left.\frac{\partial F_j}{\partial y_m}\right|}_0=0.,\quad j=\overline{1,m-1}.\label{ref19}
$$

Из \eqref{ref18} и \eqref{ref19} следует, что последний столбец определителя \eqref{ref12} есть линейная комбинация остальных его столбцов, поэтому определитель \eqref{ref12} равен нулю, что противоречит условию теоремы. Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдется окрестность
$$
K = \{(x,y_m): \; |x_i-x_i^0| < \varepsilon_i < \varepsilon_i’, \; i=\overline{1,n}; \; |y_m-y_m^0| < \delta_m < \delta_m’\},\nonumber
$$
в которой уравнение $\widetilde{F}_m(x,y_m)=0$ определяет $y_m$ как неявную непрерывно дифференцируемую функцию $y_m = \varphi_m(x)$, причем $y_m^0=\varphi_m(x^0)$.

В окрестности $K$ система уравнений \eqref{ref17} эквивалентна и системе \eqref{ref11}, и системе
$$
\begin{array}{c}y_1-\psi_1(x,y_m)=0, \; …, \; y_{m-1}-\psi_{m-1}(x,y_m)=0,\\y_m-\varphi_m(x)=0.\end{array}\label{ref20}
$$
В свою очередь система \eqref{ref20} эквивалентна следующей системе:
$$
y_1=\varphi(x),\quad\ldots,\quad y_m=\varphi(x),\label{ref21}
$$
где $\varphi_1(x)=\psi_1(x,\varphi_m(x)), \; \ldots, \; \varphi_{m-1}(x)=\psi_{m-1}(x,\varphi_m(x))$, причем
$$
\varphi_1(x^0)=y_1,\quad\ldots,\quad \varphi_m(x^0)=y_m^0.\label{ref22}
$$
Система функций $\varphi_1(x),\ldots,\varphi_m(x)$ неявно определяется уравнениями \eqref{ref11} в окрестности $K\times Q$ точки $(x^0,y^0)$, где
$$
\begin{array}{c}K=\{x: \; \vert x_i-x_i^0\vert < \varepsilon_i, \; i=\overline{1,n}\}\\Q=\left\{y: \; \vert y_j-y_j^0\vert < \delta_j, \; j=\overline{1,m}\right\}, \; \delta_j=\delta_j’ \; при \; j=\overline{1,m-1}.\qquad\bullet\end{array}\label{ref23}
$$

Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве $E\subset R^n$ заданы $n$ функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение $f: \; E\rightarrow R^n$, которое каждой точке $x\in E$ ставит в соответствие точку $y=f(x)$, где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка $y=f(x)$ называется образом точки $x$ при отображении $f$. Точка $x$ называется прообразом точки $y$.

Если $\Omega\subset E$, то множество
$$
f(\Omega)=\{y: \; y=f(x), \; x\in Q\}\nonumber
$$
называется образом множества $\Omega$ при отображении $f$. Если $\omega\subset f(E)$, то множество
$$
f^{-1}(\omega)=\{x: \; f(x)\in \omega\}\nonumber
$$
называется прообразом множества $\omega$.

Пусть $G \subset R^n$ есть открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным в точке $x^0$, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0$ такое, что $\forall x$ таких, что $\rho(x,x^0) < \delta$, выполнено неравенство $\rho(f(x),f(x^0)) < \varepsilon$.

На языке окрестностей непрерывность отображения в точке $x^0$ означает, что для любой шаровой окрестности $S_{\varepsilon}(y^0), \; y^0 = f(x^0)$, найдется такая шаровая окрестность $S_{\delta}(x^0)$, что
$$
f(S_{\delta}(x^0)) \subset S_{\varepsilon}(y^0).\label{ref24}
$$

Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества $G$.

Лемма 1.

Если $G$ есть открытое множество, а $f: \; G\rightarrow R^n$ — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества $\omega\in f(G)$ есть открытое множество.

Доказательство.

$\circ$ Пусть $\Omega= f^{-1}(\omega)$. Возьмем любую точку $x^0\in\Omega$. Тогда $f(x^0)=y^0\in \omega$. Так как множество $\omega$ открыто, то найдется окрестность $S_{\varepsilon}(y^0)\in \omega$. В силу непрерывности отображения $f$ в точке $x^0$ найдется шаровая окрестность $S_{\delta}(x^0)$, для которой выполнено условие \eqref{ref24}.

Следовательно,
$$
S_{\delta}(x^0)\subset f^{-1}(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и $\Omega$ — открытое множество. $\bullet$

Как обычно, под окрестностью $A(x^0)$ точки $x^0$ будем понимать любое множество $A$, для которого точка $x^0$ внутренняя.

Пусть $G \subset R^n$ — открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции $f_1(x),…,f_n(x)$, задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в $G$. Непрерывно дифференцируемое отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть регулярным, если в области $G$ якобиан отображения $j_f(x)\neq 0$. Якобианом отображения $j_f(x)$ называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin{vmatrix}\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}&…&\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\…&…&…\\\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_1}&…&\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_n}\end{vmatrix}.\nonumber
$$

Теорема 3.

Пусть $G$ — открытое множество в $R^n$, а отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ регулярно. Тогда в каждой точке $x^0\in G$ оно локально регулярно обратимо, то есть $\forall x^0\in G$ найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset G$ и $B(y^0)\subset f(G)$, где $y^0= f(x^0)$, что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ будет взаимно однозначным, причем обратное отображение $f^{-1}: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$ регулярно.

Доказательство.

$\circ$ Рассмотрим в $G\times R^n$ систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline{1,n}.\label{ref25}
$$

Пусть $x^0$ — произвольная точка множества G и $y^0=f(x^0)$. Тогда функции $F_i(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в $G\times R^n$ и $y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline{1,n}$. Так как отображение $f$ регулярно, то
$$
{\begin{vmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}&…&\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\…&…&…\\\frac{\partial F_n}{\partial x_1}&…&\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref{ref25} выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin{array}{c}K(x^0)=\left\{x: \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i, \; i=\overline{1,n}\right\},\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\{y: \; \vert y_i-y_i^0\vert\leq\delta_i, \; i=\overline{1,n}\right\},\quad Q(y^0)\subset f(G),\end{array}\nonumber
$$
что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref{ref25} определяет переменные $x_1,…,x_n$ как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных $y_1,…,y_n$:
$$
\begin{array}{c}x_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline{1,n}.\end{array}\label{ref26}
$$
Пусть $B(y^0)$ есть внутренность $Q(y^0)$:
$$
B(y^0) = \left\{y: \; |y_i-y_i^0| < \delta_i,\quad i=\overline{1,n}\right\}.\nonumber
$$
Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества $B(y^0)$ при непрерывном отображении $f$ есть открытое множество, причем в силу условий \eqref{ref26} это множество содержит точку $x^0$. Обозначим прообраз $f^{-1}(B)$ через $A(x^0)$. Отображение окрестности $A(x^0)$ на окрестность $B(y^0)$ будет взаимно однозначным, и обратное отображение $f^{-1}: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$, определяемое формулами \eqref{ref26}, будет непрерывно дифференцируемым.

Докажем регулярность обратного отображения $f^{-1}$. Так как
$$
y_i-f_i(\varphi_1(y),\ldots,\varphi_n(y))\equiv 0,\quad i=\overline{1,n},\nonumber
$$
то, дифференцируя эти тождества по переменным $y_j$, получаем
$$
\sum_{k=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_k}\frac{\partial\varphi_k}{\partial y_j}=\frac{\partial y_i}{\partial y_j}=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{lc}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{array}\right.\label{ref27}
$$

Из равенств \eqref{ref27} и из теоремы об умножении определителей следует, что
$$
j_f(x)j_{f^{-1}}(y)=1,\quad y=f(x),\quad x\in A(x^0).\quad\bullet\label{ref28}
$$

Следствие.

Если $f: \; G\rightarrow R^n$ есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества $\Omega\subset G$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\omega=f(\Omega)$. Возьмем произвольную точку $y^0\in\omega$ и пусть $x^0$ есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset \Omega$ и $B(y^0) \subset \omega$; что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ регулярно обратимо. Поэтому каждая точка $y^0\in\omega$ принадлежит $\omega$ вместе с некоторой окрестностью $B(y^0)$. Множество $\omega=f(\Omega)$ открыто. $\bullet$