Неявные функции.

Содержание:

  1. Неявные функции, определяемые одним уравнением.
  2. Неявные функции, определяемые системой уравнений.
  3. Локальная обратимость регулярного отображения

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция \(F(x,y)\) определена в \(R^2\). Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label{ref1}
$$

Множество \(G_F\) точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref{ref1}, было в названо графиком уравнения. Через \(A_F\) будем обозначать проекцию графика \(G_F\) на ось \(x\). Будем рассматривать такие уравнения \eqref{ref1}, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения \(x^2 + y^2 - 1 = 0\) есть окружность, график уравнения \((x-1)(x+y-1)=0\) есть пара прямых \(x = 1\) и \(x+y-1=0\) (рис. 28.1).

Рис. 28.1
Рис. 28.1

Если график \(G_F\) уравнения \eqref{ref1} взаимно однозначно проектируется на \(A_F\), то существует единственная функция \(f:\;A_F\rightarrow R\), график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому \(x\in A_F\) ставит в соответствие тот единственный \(y\), для которого \(F(x,y)=0\). Говорят, что уравнение \eqref{ref1} определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

Но, как правило, график уравнения \eqref{ref1} не проектируется взаимно однозначно на \(A_F\). Тогда на \(A_F\) в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика \(G_F\) уравнения \eqref{ref1}. Так, разбивая отрезок \([-1,1]\) точками \(x_0= -1\;<\;x_1\;<\;\ldots\;<\;x_n=1\) и полагая на каждом из отрезков \([x_{i-1},x_i]\) функцию \(f(x)\) равной \(\displaystyle\sqrt{1-x^2}\) или \(\displaystyle -\sqrt{1-x^2}\), получим, что график \(f\) есть некоторое подмножество графика уравнения \(x^2+y^2-1=0\), так что \(x^2+(f(x))^2 - 1 = 0\).

Пусть график уравнения \(G_F\) не проектируется взаимно однозначно на \(A_F\), но существует такой прямоугольник
$$
K = \{(x,y):\;a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d\},\nonumber
$$
что та часть графика \(G_F\), которая лежит внутри \(K\), взаимно однозначно проектируется на отрезок \([a,b]\). Тогда определена функция \(f:\;[a,b]\rightarrow R\), которая каждому \(x\in [a,b]\) ставит в соответствие единственный \(y\in [c,d]\) такой, что \((x,y)\in G_F\). Очевидно, что \(F(x,f(x))=0\). Говорят, что функция \(f(x)\) неявно определяется уравнением \eqref{ref1} в прямоугольнике \(K\), или что уравнение \eqref{ref1} определяет в прямоугольнике \(K\) переменную \(y\) как неявную функцию переменной \(x\).

Например, уравнение \(x^2+y^2-1=0\) неявно определяет функцию \(y=\sqrt{1-x^2}\) в прямоугольнике \(-1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1\) и функцию \(y=-\sqrt{1-x^2}\) в прямоугольнике \(-1\leq x\leq 1,\;-1\leq y\leq 0\).

Меняя местами переменные \(x\) и \(y\), можно говорить о том, что уравнение \eqref{ref1} определяет в некотором прямоугольнике переменную \(x\) как
неявную функцию переменной \(y\).

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref{ref1} в некотором прямоугольнике.


Теорема 1.

Пусть:

а) функция \(F(x,y)\) имеет в окрестности точки \((x_0,y_0)\) непрерывные частные производные \(F_x(x,y)\) и \(F_y(x,y)\);

б) \(F(x_0,y_0)=0\);

в) \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\).

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \{(x,y):\;x_0-a\leq x\leq x_0+a,\;y_0-b\leq y\leq y_0+b\},\nonumber
$$
в котором уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\). Функция \(y=f(x)\) непрерывно дифференцируема на интервале \((x_0-a,x_0+a)\) и
$$
f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.\label{ref2}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Разобьем доказательство на два пункта.

1) Доказательство существования неявной функции. Из условия в) следует, что либо \(F_y(x_0,y_0)\;>\;0\), либо \(F_y(x_0,y_0)\;<\;0\). Без ограничения общности можно считать, что
$$
F_y(x_0,y_0)\;>\;0.\label{ref3}
$$
Если \(F_y(x_0,y_0)\;<\;0\), то вместо уравнения \(F(x,y)=0\) можно было бы рассмотреть эквивалентное уравнение \(\widetilde{F}(x,y)=-F(x,y) = 0\). Тогда \(\widetilde{F}(x_0,y_0)=-F(x_0,y_0)\;>\;0\).

Так как функция \(F_y(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) непрерывна и в силу условия \eqref{ref3} принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.2)
$$
K_1=\{(x,y):\;|x-x_0|\leq a_1,\; |y-y_0|\leq b\},\nonumber
$$
в котором функция \(F_y(x,y) > 0\).

Рис. 28.2
Рис. 28.2

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция \(\psi (y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\), так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y)\;>\;0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия б)
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber 
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b)\;<\;0,\quad \psi(y_0+b)=F(x_0,y_0+b)\;>\;0.\label{ref4}
$$
Неравенства \eqref{ref4} в силу непрерывности функции \(F(x,y)\) должны сохраняться в некоторых окрестностях точек \((x_0,y_0-b)\) и \((x_0,y_0+b)\). Поэтому существует такое \(a\in (0,a_1)\), что для всех \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b)\;<\;0,\quad F(x,y_0+b)\;>\;0.\label{ref5}
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\{(x,y):\;|x-x_0|\leq a,\; |y-y_0|\leq b\},\nonumber
$$
уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

Возьмем любую точку \(x^*\in [x_0-a,x_0+a]\) и рассмотрим непрерывную на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) функцию одной переменной \(\varphi (y)=F(x^*,y)\). В силу условия \eqref{ref5} эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b)\;<\;0,\quad    \varphi(y_0+b)=F(x^*,y_0+b)\;>\;0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка \(y^*\in [y_0-b,y_0+b]\), что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как \(\varphi'(y) = F_y(x^*,y)\;>\;0\), то функция \(\varphi(y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) найдется единственный \(y\in [y_0-b,y_0+b]\) такой, что \(F(x,y) = 0\). Это означает, что в прямоугольнике \(K\) уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

2) Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике \(K\) функция \(F_y(x,y)\) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение \(\alpha\). Так как \(F_y(x,y)\;>\;0\) на \(K\), то
$$
F_y(x,y)\geq a\;>\;0,\qquad    (x,y)\in K.\label{ref6}
$$

Непрерывная на \(K\) функция \(F_x(x,y)\) ограничена на \(K\). Поэтому
$$
|F_x(x,y)|\;<\;\beta,\qquad (x,y)\in K.\label{ref7}
$$

Пусть \(y=f(x)\) есть неявная функция, определяемая в прямоугольнике \(K\) уравнением \(F(x,y)=0\). Возьмем две точки \((x,y)\) и \((x + \Delta x,y+\Delta y)\), лежащие на графике функции \(f(x)\). Тогда
$$
F(x,y)=0,\qquad F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0.\nonumber
$$

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
$$
\begin{array}{c}
F_x(x+\theta\Delta x, y +\theta\Delta y)\Delta x+ F_y(x+\theta\Delta x, y +\theta\Delta y)\Delta y = 0,\\
\Delta y=\displaystyle-\frac{F_x(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}{F_y(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}\Delta x,\quad 0\;<\;\theta\;<\;1\end{array}\label{ref8}
$$
 
Если воспользоваться неравенствами \eqref{ref6} и \eqref{ref7}, то из \eqref{ref8} получаем
$$
|\Delta y|\leq \frac{\beta}{\alpha}|\Delta x|.\label{ref9}
$$

Следовательно, \(\Delta y\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0\) и неявная функция \(f(x)\) непрерывна в любой точке \(x\in[x_0-a,x_0+a]\).

Если теперь воспользоваться непрерывностью частных производных, то, деля второе из равенств \eqref{ref8} на \(\Delta x\) и переходя к пределу при \(\Delta x\rightarrow 0\), получаем, что существует предел отношения \(\Delta y/\Delta x\) при \(\Delta x\rightarrow 0\) и \(f'(x)\) вычисляется при помощи формулы \eqref{ref2}. Из этой формулы следует, что \(f'(x)\) будет непрерывной функцией на отрезке \([x_0-a,x_0+a]\) как суперпозиция непрерывных функций. \(\bullet\)


Замечание.
Если известно, что уравнение \(F(x,y)=0\) определяет в прямоугольнике \(a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d\) переменную \(y\) как неявную функцию \(x\), то связь между \(dy\) и \(dx\) можно установить, формально дифференцируя тождество \(F(x,y(x)) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал \(d^2y\)
$$
F_{xx} dx^2 + 2F_{xy} dx dy + F_{yy} dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$


Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему \(m\) уравнений с \(n+m\) неизвестными
$$
\left\{\begin{array}{l}F_1(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1},\ldots,x_{n+m})=0,\\.....\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1},\ldots,x_{n+m})=0\end{array}\right.\label{ref10}
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если \(A\) и \(B\) — произвольные множества, то их декартово произведение \(A\times B\) есть множество пар \((x,y)\), где \(x\in A\), \(y\in B\). Так, декартово произведение \([a,b]\times [c,d]\) есть множество пар вещественных чисел таких, что \(a\leq x\leq b,\) и \(c\leq y\leq d\), т. е. прямоугольник в \(R^2\).

Клеточной окрестностью точки \(x^0 =(x_1^0,...,x_n^0)\) будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\{x:\;x\in R^n,\;-\varepsilon_i\leq x_i-x_i^0\leq \varepsilon_i,\;i=\overline{1,n}\},\nonumber
$$
где \(\varepsilon_i,\;i =\overline{1,n}\) — положительные числа, \(x = (x_1,...,x_n)\).

Легко видеть, что в том случае, когда \(K_1(x^0)\subset R^n\) и \(K_2(y^0)\subset R^m\) — клеточные окрестности, их декартово произведение \(K_1(x^0)\times K_2(y^0)\) есть клеточная окрестность точки \((x^0,y^0)=(x_1^0,...,x_n^0,y_1^0,...,y_m^0\) в пространстве \(R^{n+m}\).

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая \(x=(x_1,...,x_n),\;y=(y_1,...,y_m)\), где \(y_1=x_{n+1},...,y_m=x_{n+m}\).

Тогда систему уравнений \eqref{ref10} можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0,\;i=\overline{1,m}.\label{ref11}
$$

Функции \(F_i(x,y) = 0\) будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки \((x^0,y^0)\).

Определение.
 
Пусть \(K(x^0)\subset R^n\) и \(Q(y_0)\subset R^m\) есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений \(F_i(x,y)=0,\;i=\overline{1,m}\), определяет в \(K(x^0)\times Q(y_0)\) переменные \(y_1,...,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,...,x_n\), если для любого \(x\in K(x^0)\) найдется единственный \(y\in Q(y^0)\) такой, что \(F_i(x,y) = 0,\;i=\overline{1,m}\).

Теорема 2.

Пусть выполнены следующие условия:

а) функции \(F_i(x,y)=0,\;i=\overline{1,m}\), непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки (\(x^0,y^0)\);

б)    \(F_i(x^0,y^0) = 0,\;i =\overline{1,m};\)

в)
$$
{\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&...&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_m}\\...&...&...\\\displaystyle\frac{\partial F_m}{\partial y_1}&...&\displaystyle\frac{\partial F_m}{\partial y_m}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}\neq0\label{ref12}
$$

Тогда найдутся клеточные окрестности \(K(x^0) \subset R^n\) и \(Q(y^0) \subset R^m\) такие, что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref{ref11} определяет переменные \(y_1,...,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,...,x_n\). Неявные функции \(y_j =\varphi_j(x)\) непрерывно дифференцируемы в \(K(x^0)\) и \(y_j^0=\varphi_j(x^0),\;j=\overline{1,m}\).

Доказательство.

\(\circ\) Воспользуемся методом индукции по числу уравнений \(m\). При \(m=1\) доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref{ref11} содержит \(m-1\) уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref{ref11} из \(m\) уравнений.

Так как определитель \eqref{ref12} отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров \(m-1\)-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
{\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_1}&...&\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_{m-1}}\\...&...&...\\\displaystyle\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_1}&...&\displaystyle\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{m-1}}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ \(0\) означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом \(0\)).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin{array}{c}K_1=\displaystyle\left\{(x,y_m):\;\vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i',\;i=\overline{1,n},\;\vert y_m-y_m^0\vert\;<\;\delta_m'\right\},\\Q_1=\displaystyle\left\{(y_1,...,y_{m-1}),\;\vert y_j-y_j^0\vert\leq\delta_j',\;j=\overline{1,m-1}\right\},\end{array}\label{ref13}
$$
в которых система первых \(m-1\) уравнений \eqref{ref11} определяет \(y_1,...,y_{m-1}\) как неявные функции переменных \(x_1,...,x_n,y_m\), т.е.
$$
y_j=\psi_j(x,y_m),\quad j=\overline{1,m-1}.\label{ref14}
$$

Функции \(\psi_j(x,y_m)\) непрерывно дифференцируемы и
$$
\psi_j(x^0,y_m^0)=y_j^0,\quad j=\overline{1,m-1};\quad (x,y_m)\in K_1,\label{ref15}
$$
$$
F_j(x,\psi_1(x,y_m),...,\psi_{m-1}(x,y_m),y_m)\equiv 0.\label{ref16}
$$
Если
$$
\begin{array}{c}K_2=\left\{(x_1,...,x_n):\;\vert x_i-x_i^0\vert\;<\;\varepsilon_i',\;i=\overline{1,n}\right\},\\Q_2=\left\{(y_1,...,y_m):\;\vert y_j-y_j^0\vert\;<\;\delta_j',\;j=\overline{1,m}\right\},\end{array}\nonumber
$$
то при \(x\in K_2,\;y\in Q_2\) система уравнений \eqref{ref11} эквивалентна следующей системе:
$$
\begin{array}{c}y_1-\psi_1(x,y_m)=0,\;y_{m-1}-\psi_{m-1}(x,y_m)=0,\\{\widetilde F}_m(x,y_m)=F_m(x,\;\psi_1(x,y_m),\;...,\;\psi_{m-1}(x,y_m),\;y_m)=0.\end{array}\label{ref17}
$$

Покажем, что последнее уравнение системы \eqref{ref17} \(\widetilde{F}_m(x,y_m)=0\) может быть разрешено относительно \(y_m\). Для него выполнены все условия теоремы 1. Из формулы \eqref{ref17} следует, что \(\widetilde{F}_m(x,y_m)\) непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций. Вследствие равенств \eqref{ref15} получаем, что
$$
{\widetilde F}_m(x^0,y_m^0)=\\=F_m(x^0,\;\psi_1(x^0,y_m^0),\;...,\;\psi_{m-1}(x^0,y_m^0),\;y_m^0)=F_m(x^0,y_1^0,...,y_m^0)=0.\nonumber
$$

Осталось проверить условие \(\displaystyle{\left.\frac{\partial{\widetilde F}_m}{\partial y_m}\right|}_0\neq 0\).

Если оно не выполнено, то
$$
{\left.\frac{\partial{\widetilde F}_m}{\partial y_m}\right|}_0=\sum_{p=1}^{m-1}{\left.\frac{\partial F_m}{\partial y_p}\right|}_0\;{\left.\frac{\partial\psi_p}{\partial y_m}\right|}_0+{\left.\frac{\partial F_m}{\partial y_m}\right|}_0=0.\label{ref18}
$$

С другой стороны, дифференцируя по \(y_m\) тождества \eqref{ref16} в точке \((x^0,y^0)\), получаем
$$
\sum_{p=1}^{m-1}{\left.\frac{\partial F_j}{\partial y_p}\right|}_0\;{\left.\frac{\partial\psi_p}{\partial y_m}\right|}_0+{\left.\frac{\partial F_j}{\partial y_m}\right|}_0=0.,\quad j=\overline{1,m-1}.\label{ref19}
$$

Из \eqref{ref18} и \eqref{ref19} следует, что последний столбец определителя \eqref{ref12} есть линейная комбинация остальных его столбцов, поэтому определитель \eqref{ref12} равен нулю, что противоречит условию теоремы. Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдется окрестность
$$
K = \{(x,y_m):\;|x_i-x_i^0|\;<\;\varepsilon_i\;<\;\varepsilon_i',\;i=\overline{1,n};\;|y_m-y_m^0|\;<\;\delta_m\;<\;\delta_m'\},\nonumber
$$
в которой уравнение \(\widetilde{F}_m(x,y_m)=0\) определяет \(y_m\) как неявную непрерывно дифференцируемую функцию \(y_m = \varphi_m(x)\), причем \(y_m^0=\varphi_m(x^0)\).

В окрестности \(K\) система уравнений \eqref{ref17} эквивалентна и системе \eqref{ref11}, и системе
$$
\begin{array}{c}y_1-\psi_1(x,y_m)=0,\;...,\;y_{m-1}-\psi_{m-1}(x,y_m)=0,\\y_m-\varphi_m(x)=0.\end{array}\label{ref20}
$$
В свою очередь система \eqref{ref20} эквивалентна следующей системе:
$$
y_1=\varphi(x),\quad\ldots,\quad y_m=\varphi(x),\label{ref21}
$$
где \(\varphi_1(x)=\psi_1(x,\varphi_m(x)),\;\ldots,\;\varphi_{m-1}(x)=\psi_{m-1}(x,\varphi_m(x))\), причем
$$
\varphi_1(x^0)=y_1,\quad\ldots,\quad \varphi_m(x^0)=y_m^0.\label{ref22}
$$
Система функций \(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_m(x)\) неявно определяется уравнениями \eqref{ref11} в окрестности \(K\times Q\) точки \((x^0,y^0)\), где
$$
\begin{array}{c}K=\{x:\;\vert x_i-x_i^0\vert\;<\;\varepsilon_i,\;i=\overline{1,n}\}\\Q=\left\{y:\;\vert y_j-y_j^0\vert\;<\;\delta_j,\;j=\overline{1,m}\right\},\;\delta_j=\delta_j'\;при\;j=\overline{1,m-1}.\qquad\bullet\end{array}\label{ref23}
$$


Замечание.
Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.


Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве \(E\subset R^n\) заданы \(n\) функций
$$
f_1(x),...,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение \(f:\;E\rightarrow R^n\), которое каждой точке \(x\in E\) ставит в соответствие точку \(y=f(x)\), где
$$
y_1=f_1(x),\quad,...,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка \(y=f(x)\) называется образом точки \(x\) при отображении \(f\). Точка \(x\) называется прообразом точки \(y\).

Если \(\Omega\subset E\), то множество
$$
f(\Omega)=\{y:\;y=f(x),\;x\in Q\}\nonumber
$$
называется образом множества \(\Omega\) при отображении \(f\). Если \(\omega\subset f(E)\), то множество
$$
f^{-1}(\omega)=\{x:\;f(x)\in \omega\}\nonumber
$$
называется прообразом множества \(\omega\).

Пусть \(G \subset R^n\) есть открытое множество. Отображение \(f:\;G\rightarrow R^n\) называется непрерывным в точке \(x^0\), если \(\forall \varepsilon\;>\;0\;\exists\delta\;>\;0\) такое, что \(\forall x\) таких, что \(\rho(x,x^0)\;<\;\delta\), выполнено неравенство \(\rho(f(x),f(x^0))\;<\;\varepsilon\).

На языке окрестностей непрерывность отображения в точке \(x^0\) означает, что для любой шаровой окрестности \(S_{\varepsilon}(y^0),\;y^0 = f(x^0)\), найдется такая шаровая окрестность \(S_{\delta}(x^0)\), что
$$
f(S_{\delta}(x^0)) \subset S_{\varepsilon}(y^0).\label{ref24}
$$

Отображение \(f:\;G\rightarrow R^n\) называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества \(G\).


Лемма 1.

Если \(G\) есть открытое множество, а \(f:\;G\rightarrow R^n\) — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества \(\omega\in f(G)\) есть открытое множество.

\(\circ\) Пусть \(\Omega= f^{-1}(\omega)\). Возьмем любую точку \(x^0\in\Omega\). Тогда \(f(x^0)=y^0\in \omega\). Так как множество \(\omega\) открыто, то найдется окрестность \(S_{\varepsilon}(y^0)\in \omega\). В силу непрерывности отображения \(f\) в точке \(x^0\) найдется шаровая окрестность \(S_{\delta}(x^0)\), для которой выполнено условие \eqref{ref24}.

Следовательно,
$$
S_{\delta}(x^0)\subset f^{-1}(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и \(\Omega\) — открытое множество. \(\bullet\)


Как обычно, под окрестностью \(A(x^0)\) точки \(x^0\) будем понимать любое множество \(A\), для которого точка \(x^0\) внутренняя.

Пусть \(G \subset R^n\) — открытое множество. Отображение \(f:\;G\rightarrow R^n\) будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции \(f_1(x),...,f_n(x)\), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в \(G\). Непрерывно дифференцируемое отображение \(f:\;G\rightarrow R^n\) будем называть регулярным, если в области \(G\) якобиан отображения \(j_f(x)\neq 0\). Якобианом отображения \(j_f(x)\) называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin{vmatrix}\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}&...&\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\...&...&...\\\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_1}&...&\frac{\partial f_n(x)}{\partial x_n}\end{vmatrix}.\nonumber
$$


Теорема 3.

Пусть \(G\) — открытое множество в \(R^n\), а отображение \(f:\;G\rightarrow R^n\) регулярно. Тогда в каждой точке \(x^0\in G\) оно локально регулярно обратимо, т. е. \(\forall x^0\in G\) найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset G\) и \(B(y^0)\subset f(G)\), где \(y^0= f(x^0)\), что отображение \(f:\;A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение \(f^{-1}:\;B(y^0)\rightarrow A(x^0)\) регулярно.

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим в \(G\times R^n\) систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline{1,n}.\label{ref25}
$$

Пусть \(x^0\) — произвольная точка множества G и \(y^0=f(x^0)\). Тогда функции \(F_i(x,y)\) непрерывно дифференцируемы в \(G\times R^n\) и \(y_i^0= f_i(x^0),\;i=\overline{1,n}\). Так как отображение \(f\) регулярно, то
$$
{\begin{vmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}&...&\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\...&...&...\\\frac{\partial F_n}{\partial x_1}&...&\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\end{vmatrix}}_{(x^0,y^0)}=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref{ref25} выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin{array}{c}K(x^0)=\left\{x:\;\vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i,\;i=\overline{1,n}\right\},\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\{y:\;\vert y_i-y_i^0\vert\leq\delta_i,\;i=\overline{1,n}\right\},\quad Q(y^0)\subset f(G),\end{array}\nonumber
$$
что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref{ref25} определяет переменные \(x_1,...,x_n\) как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных \(y_1,...,y_n\):
$$
\begin{array}{c}x_1=\varphi_1(y),\quad ...,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline{1,n}.\end{array}\label{ref26}
$$
Пусть \(B(y^0)\) есть внутренность \(Q(y^0)\):
$$
B(y^0) = \left\{y:\;|y_i-y_i^0|\;<\;\delta_i,\quad i=\overline{1,n}\right\}.\nonumber
$$
Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества \(B(y^0)\) при непрерывном отображении \(f\) есть открытое множество, причем в силу условий \eqref{ref26} это множество содержит точку \(x^0\). Обозначим прообраз \(f^{-1}(B)\) через \(A(x^0)\). Отображение окрестности \(A(x^0)\) на окрестность \(B(y^0)\) будет взаимно однозначным, и обратное отображение \(f^{-1}:\;B(y^0)\rightarrow A(x^0)\), определяемое формулами \eqref{ref26}, будет непрерывно дифференцируемым.

Докажем регулярность обратного отображения \(f^{-1}\). Так как
$$
y_i-f_i(\varphi_1(y),\ldots,\varphi_n(y))\equiv 0,\quad i=\overline{1,n},\nonumber
$$
то, дифференцируя эти тождества по переменным \(y_j\), получаем
$$
\sum_{k=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_k}\frac{\partial\varphi_k}{\partial y_j}=\frac{\partial y_i}{\partial y_j}=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{lc}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{array}\right.\label{ref27}
$$

Из равенств \eqref{ref27} и из теоремы об умножении определителей следует, что
$$
j_f(x)j_{f^{-1}}(y)=1,\quad y=f(x),\quad x\in A(x^0).\quad\bullet\label{ref28}
$$


Следствие.

Если \(f:\;G\rightarrow R^n\) есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества \(\Omega\subset G\) есть открытое множество.

\(\circ\) Пусть \(\omega=f(\Omega)\). Возьмем произвольную точку \(y^0\in\omega\) и пусть \(x^0\) есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset \Omega\) и \(B(y^0) \subset \omega\); что отображение \(f:\;A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка \(y^0\in\omega\) принадлежит \(\omega\) вместе с некоторой окрестностью \(B(y^0)\). Множество \(\omega=f(\Omega)\) открыто. \(\bullet\)