Унитарное пространство.
При дальнейшем изложении удобно будет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейной алгебры известны определения комплексного линейного и унитарного пространства. Напомним, что в линейном пространстве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения элементов на комплексные числа, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.
Аксиомы линейного пространства \(E\):
- \(x+y=y+x\) для любых \(x, y \in E\);
- \(x+(y+x)=(x+y)+z\) для любых \(x, y, z \in E\);
- существует элемент \(0 \in E\) такой, что для любого \(x \in E\) справедливо равенство \(x+0=x\);
- для любого \(x \in E\) существует элемент \(-x \in E\) такой, что \(x+(-x)=0\);
- для любого \(x \in E\) и для любых \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) справедливо равенство \(\lambda(\mu x)=(\lambda\mu)x\);
- \((\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x\) для любых \(x \in E\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\);
- \(\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y\) для любых \(x, y \in E\), \(\lambda \in \mathbb{C}\);
- \(1 \cdot x=x\) для любого \(x \in E\).
Греческими буквами обозначались комплексные числа, латинскими — элементы линейного пространства \(E\).
Определение.
Унитарным называется комплексное линейное пространство \(E\), для каждой пары элементов которого определено комплексное число \((x, y)\) — их скалярное произведение.
Аксиомы скалярного произведения:
- \((x, y)=\overline{(y, x)}\) для любых \(x, y \in E\);
- \((x+y, z)=(x, z)+(y, z)\) для любых \(x, y, z \in E\);
- \((\lambda x, y)=\lambda(x, y)\) для любых \(x, y \in E\), \(\lambda \in \mathbb{C}\);
- \((x, x) \geq 0\) для любого \(x \in E\), причем \((x, x)=0\) тогда и только тогда, когда \(x=0\).
Здесь через \(\overline{\gamma}\) обозначается число, комплексно сопряженное комплексному числу \(\gamma\).
Неотрицательное число \(\left\|x\right\|=\sqrt{(x, x)}\) называется нормой элемента \(x\). Из аксиом унитарного пространства выводятся следующие свойства.
Свойство 1.
\(\left\|x\right\|=0\) эквивалентно \(x=0\).
Свойство 2.
\((x, \lambda y)=\overline{\lambda}(x, y)\).
Доказательство.
\(\circ\) \((x, \lambda y)=\overline{(\lambda y, x)}=\overline{\lambda(y, x)}=\overline{\lambda}\overline{(y, x)}=\overline{\lambda}(x, y)\). \(\bullet\)
Свойство 3.
Для любых \(x, y \in E\) справедливо неравенство Коши—Буняковского
$$
|(x, y)| \leq \left\|x\right\| \cdot \left\|y\right\|.\label{ref1}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как для любых \(x, y \in E\) и \(\lambda \in \mathbb{C}\) справедливо неравенство \((x+\lambda y, x+\lambda y) \geq 0\), то, пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем
$$
0 \leq (x, x)+\lambda(y, x)+\overline{\lambda}(x, y)+\lambda\overline{\lambda}(y, y).\label{ref2}
$$
Если \(\left\|y\right\|=0\), то \(y=0\) и неравенство Коши-Буняковского становится тривиальным. Пусть \(\left\|y\right\| \neq 0\). Положим в \eqref{ref2} \(\lambda=-\dfrac{(x, y)}{\left\|y\right\|^{2}}\). Получаем
$$
0 \leq \left\|x\right\|^{2}-\dfrac{(x, y)}{\left\|y\right\|^{2}}(y, x)-\dfrac{\overline{(x, y)}}{\left\|y\right\|^{2}}(x, y)+\dfrac{(x, y)\overline{(x, y)}}{\left\|y\right\|^{4}}\left\|y\right\|^{2},\nonumber
$$
откуда сразу следует неравенство Коши-Буняковского. \(\bullet\)
Свойство 4.
Для любых \(x, y \in E\) справедливо неравенство для нормы
$$
\left\|x+y\right\| \leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Неравенство для нормы следует из неравенства Коши-Буняковского. В самом деле,
$$
\left\|x+y\right\|^{2}=(x+y, x+y)=(x, x)+(y, x)+(x, y)+(y, y) \leq
$$
$$
\leq \left\|x\right\|^{2}+2\left\|x\right\|\ \left\|y\right\|+\left\|y\right\|^{2}=(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^{2}.\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 5.
Положительная однородность нормы: \(\left\|\lambda x\right\|=|\lambda| \cdot \left\|x\right\|\).
Доказательство.
\(\circ\) \(\left\|\lambda x\right\|^{2}=(\lambda x, \lambda x)=\lambda\overline{\lambda}(x, x)=|\lambda|^{2}\left\|x\right\|^{2}\). \(\bullet\)
Из курса линейной алгебры известно унитарное пространство \(E^{n}\), элементами которого являются упорядоченные наборы \(n\) комплексных чисел
$$
\gamma=(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}),\ \gamma_{i} \in \mathbb{C},\ i=\overline{1, n}\nonumber
$$
Естественным образом определяется в \(E^{n}\) сложение элементов (векторов) и умножение их на комплексные числа. Скалярное произведение двух векторов \(\gamma=(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\) и \(\delta=(\delta_{1}, \ldots, \delta_{n})\) есть комплексное число, определенное формулой
$$
(\gamma, \delta)=\gamma_{1}\overline{\delta}_{1}+\ldots+\gamma_{n}\overline{\delta}_{n}.
$$
По аналогии с вещественным пространством \(L_{2}^{C}(a, b)\), введем комплексное пространство \(L_{2}^{C}(a, b)\), элементами которого являются комплекснозначные функции, для каждой из которых найдется такое разбиение отрезка \([a, b]\) точками \(\{x_{i}\}\), \(i=\overline{0, n}\), что на любом из интервалов \((x_{i-1}, x_{i})\) функция непрерывна, а интеграл от квадрата ее модуля по отрезку \([a, b]\) сходится как несобственный.
Лемма 1.
Множество \(L_{2}^{C}(a, b)\) является линейным пространством с естественными операциями сложения и умножения на комплексные числа.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функции \(f, \varphi \in L_{2}^{C}(a, b)\). Из неравенства
$$
|f+\varphi|^{2}=(f+\varphi)(\overline{f}+\overline{\varphi})=f\overline{f}+f\overline{\varphi}+\overline{f}\varphi+\varphi\overline{\varphi} \leq\\ \leq |f|^{2}+|\varphi|^{2}+2|f| \cdot |\varphi| \leq 2|f|^{2}+2|\varphi|^{2}\nonumber
$$
и признака сравнения для несобственных интегралов следует, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}|f+\varphi|^{2}dx\) сходится и, следовательно, \(f+\varphi \in L_{2}^{C}(a, b)\).
Если \(f \in L_{2}^{C}(a, b)\), то и \(\alpha f \in L_{2}^{C}(a, b)\) для любого \(\alpha \in \mathbb{C}\). Проверка всех аксиом линейного пространства тривиальна. \(\bullet\)
Договоримся не различать две функции \(f\) и \(\varphi\) из пространства \(L_{2}^{C}(a, b)\), если их значения не совпадают лишь в конечном числе точек.
Лемма 2.
Линейное пространство \(L_{2}^{C}(a, b)\) будет унитарным, если определить скалярное произведение функций \(f, \varphi \in L_{2}^{C}(a, b)\) при помощи следующей формулы:
$$
(f, \varphi)=\int\limits_{a}^{b} f(x)\overline{\varphi(x)}\ dx.\label{ref3}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как \(|f\overline{\varphi}| \leq \displaystyle\frac{1}{2}|f|^{2}+\frac{1}{2}|\varphi|^{2}\), то по признаку сравнения несобственный интеграл \eqref{ref3} сходится. Первые три аксиомы скалярного произведения проверяются без труда. Проверим выполнение аксиомы 4).
Пусть \((f, f)=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}|f|^{2}dx\). Так как \(f \in L_{2}^{C}(a, b)\), то найдется такое разбиение отрезка \([a, b]\) точками \(\{x_{i}\}\), \(i=\overline{0, n}\), что на каждом из интервалов \((x_{i-1}, x_{i})\) функция \(f(x)\) непрерывна. Так как \((x_{i-1}, x_{i}) \subset [a, b]\), то
$$
\int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}} |f(x)|^{2}\ dx=0,\ i=\overline{1, n}.\nonumber
$$
Из этого равенства следует, что \(f(x)=0\) на любом интервале \((x_{i-1}, x_{i})\), \(i=\overline{1, n}\). Следовательно, функция \(f(x)\) отлична от нуля лишь в конечном числе точек. Согласно договоренности такая функция отождествляется с функцией, тождественно равной нулю на \([a, b]\). \(\bullet\)
Нормированные пространства.
В нормированных пространствах определены длины векторов, но нет скалярного произведения. Более точно, комплексное или вещественное линейное пространство \(E\) называется нормированным, если каждому элементу \(x\) поставлено в соответствие неотрицательное число \(\left\|x\right\|\) (норма элемента \(x\)), причем удовлетворяются следующие аксиомы нормы:
- \(\left\|\lambda x\right\|=|\lambda| \cdot \left\|x\right\|\) для любого , \(x \in E\) и любого \(\lambda \in \mathbb{C}\);
- \(\left\|x+y\right\| \leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|\) для любых \(x, y \in E\);
- \(\left\|x\right\|=0\) в том и только том случае, когда \(x=0\).
Если \(E\) есть унитарное пространство, то число \(\left\|x\right\|=\sqrt{(x, x)}\) удовлетворяет всем аксиомам нормы, и поэтому каждое унитарное пространство будет и нормированным пространством.
Множество непрерывных функций на отрезке \([a, b]\) станет нормированным пространством \(C[a, b]\), если определить норму функции следующим образом:
$$
\left\| f \right\|=\max_{a \leq x \leq b} |f(x)|.\label{ref4}
$$
Все аксиомы нормы проверяются без труда.
Заметим еще, что любое нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, если ввести метрику следующим образом:
$$
\rho(x, y)=\left\|x-y\right\|.\label{ref5}
$$
Из аксиом нормы тогда следует, что для расстояния \eqref{ref5} выполняются все аксиомы метрики:
- \(\rho(x, y)=\rho(y, x)\);
- \(\rho(x, y)+\rho(y, z) \geq \rho(x, z)\);
- \(\rho(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y\).
Поскольку нормированные и унитарные пространства есть частные случаи метрических пространств, то на них переносятся все метрические понятия, например понятие предела последовательности.
Сходимость. Полные пространства. Гильбертовы пространства.
Определение.
Последовательность точек \(\{x_{n}\}\) унитарного пространства \(E\) сходится к точке \(x \in E\), если
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \left\|x_{n}-x\right\|=0.\label{ref6}
$$
Запись \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\) означает, что выполнено равенство \eqref{ref6}.
Запишем основные свойства пределов (часть из них представлена без доказательств).
Свойство 1.
Если \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=y\), то
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n}+y_{n})=\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}+\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=x+y.\nonumber
$$
Свойство 2.
Если \(\alpha_{n} \in \boldsymbol{R}\), \(x_{n} \in E\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\), \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=\alpha\), то
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}x_{n}=\alpha x.\nonumber
$$
Свойство 3.
Сходящаяся последовательность ограничена, то есть если существует \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\), то найдется число \(C > 0\) такое, что для всех \(n \in \mathbb{N}\) выполнено неравенство \(\left\|x_{n}\right\| \leq C\).
Свойство 4.
Скалярное произведение непрерывно, то есть если \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=y\), то
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n}, y_{n})=(x, y).\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=y\). Так как сходящаяся последовательность ограничена, то существует такое число \(C\), что \(\left\|y_{n}\right\| \leq C\) для всех \(n \in N\). Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, получаем, что
$$
|(x_{n}, y_{n})-(x, y)|=|(x_{n}-x, y_{n})+(x, y_{n}-y)| \leq \\ \leq \left\|y_{n}\right\| \cdot \left\|x_{n}-x\right\|+\left\|x\right\| \cdot \left\|y_{n}-y\right\| \leq C\left\|x_{n}-x\right\|+\left\|x\right\| \cdot \left\|y_{n}-y\right\| \rightarrow 0
$$
при \(n \rightarrow \infty\). Следовательно, \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n}, y_{n})=(x, y)\). \(\bullet\)
Замечание.
Сходимость в пространстве \(L_{2}^{C}\) называют сходимостью в смысле среднего квадратичного.
Будем говорить, что последовательность точек \(x_{n}\) унитарного (или нормированного) пространства \(E\) фундаментальна, если для любого \(\varepsilon > 0\) найдется номер \(N\) такой, что для всех \(n, m \geq N\) выполнено неравенство \(\left\|x_{n}-x_{m}\right\| < \varepsilon\).
Введенное понятие фундаментальной последовательности точек унитарного пространства находится в полном соответствии с введенным ранее понятием фундаментальной последовательности точек метрического пространства. Достаточно вспомнить формулу \(\rho(x, y)=\left\|x-y\right\|\), задающую метрику в унитарном пространстве. Если последовательность сходится, то она фундаментальна. В произвольном унитарном пространстве фундаментальная последовательность может не сходиться.
Говорят, что унитарное (нормированное, метрическое) пространство полное, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого пространства.
Полное нормированное пространство называется банаховым, полное унитарное бесконечномерное пространство называется гильбертовым.
Нетрудно видеть, что каждое конечномерное унитарное пространство будет полным (критерий Коши сходимости в пространстве \(\boldsymbol{R}^{n}\)).
Покажем, что существуют неполные бесконечномерные унитарные пространства.
Пример.
Пространство \(L_{2}^{C}(0, 1)\) неполное.
Решение.
\(\circ\) Для доказательства рассмотрим счетное множество точек
$$
1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \ldots, \frac{1}{2^{n}}, \ldots\nonumber
$$
Построим следующую функцию (рис. 70.1):
$$
f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \displaystyle\frac{1}{2^{2n+1}} \leq x \leq \frac{1}{2^{2n}},\ n=0, 1, \ldots,\\
\\
0, & \displaystyle\frac{1}{2^{2n}} \leq x \leq \frac{1}{2^{2n-1}},\ n=1, 2, \ldots
\end{array} \right.\nonumber
$$
Очевидно, что \(f \notin L_{2}^{C}(0, 1)\), так как множество ее точек разрыва счетно. Построим последовательность
$$
f_{n}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
f(x), & \displaystyle\frac{1}{2^{n}} \leq x < 1,\\
\\
0, & \displaystyle 0 < x \leq \frac{1}{2^{n}}.
\end{array} \right.\nonumber
$$
Покажем, что последовательность \(f_{n}\) фундаментальна в пространстве \(L_{2}^{C}(0, 1)\). Так как на отрезке \([1/2^{n}, 1]\) функции \(f_{n+p}\) и \(f_{n}\) совпадают, то
$$
\left\|f_{n+p}-f_{n}\right\|^{2}=\int\limits_{0}^{1} |f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|^{2}\ dx=\int\limits_{0}^{1/2^{n}} |f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|^{2}\ dx \leq\\\leq \frac{1}{2^{n}} \max|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)| \leq \frac{1}{2^{n}} < \varepsilon\ \mbox{при}\ n > N(\varepsilon).\nonumber
$$
Последовательность \(\{f_{n}\}\) фундаментальна. Покажем, что она не может быть сходящейся. Если \(\varphi \in L_{2}^{C}(0, 1)\) и \(\left\|f_{n}-\varphi\right\|^{2} \rightarrow 0\) то для всех \(m \in N\) выполнено условие
$$
\int\limits_{1/2^{m+1}}^{1/2^{m}} |f_{n}-\varphi|^{2}\ dx \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$
Если \(n > m\), то \(f_{n}=f\) при \(x \in \displaystyle\left(\frac{1}{2^{m+1}}, \frac{1}{2^{m}}\right)\). Поэтому
$$
\int\limits_{1/2^{m+1}}^{1/2^{m}} |f_{n}-\varphi|^{2}\ dx=0,\ m=0, 1, \ldots\label{ref7}
$$
Так как функция \(\varphi(x)\) имеет конечное число точек разрыва, то при достаточно большом \(m\) на интервале \(\displaystyle\left(\frac{1}{2^{m+1}}, \frac{1}{2^{m}}\right)\) у функции \(\varphi(x)\) точек разрыва не будет, функция \(f(x)\) непрерывна на этом же интервале. Поэтому из \eqref{ref7} следует, что
$$
f(x)=\varphi(x)\ \mbox{при}\ x \in \left(\frac{1}{2^{m+1}}, \frac{1}{2^{m}}\right),\ m=M+1, \ldots\nonumber
$$
Но тогда функция \(\varphi\), как и функция \(f\), должна иметь счетное множество точек разрыва и, следовательно, не может принадлежать пространству \(L_{2}^{C}(a, b)\). Итак, пространство \(L_{2}^{C}(a, b)\) неполное. \(\bullet\)
Пополнение унитарного пространства.
Определение.
Два унитарных пространства называются изоморфными, если можно установить такое взаимно однозначное отображение \(F\) пространства \(E_{1}\) на пространство \(E_{2}\), что для любых \(x, y \in E\) и любого \(\alpha \in \mathbb{C}\) выполнены равенства
$$
F(x+y)=F(x)+F(y),\quad F(\alpha x)=\alpha F(x),\quad (Fx, Fy)=(x, y).\nonumber
$$
Подмножество \(L\) унитарного пространства \(E\), само являющееся унитарным пространством с тем же скалярным произведением, называется подпространством пространства \(E\).
Пусть \(A\) и \(B\) — подмножества унитарного (или нормированного) пространства \(E\). Говорят, что \(B\) плотно в \(A\), если для любого \(\varepsilon > 0\) и любого \(x \in A\) найдется \(y \in B\) такой, что \(\left\|x-y\right\| < \varepsilon\).
Лемма 3.
Если \(A, B, C \subset E\) и \(C\) плотно в \(B\), а \(B\) плотно в \(A\), то \(C\) плотно в \(A\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(\varepsilon > 0\) и \(x \in A\). Так как \(B\) плотно в \(A\), то найдется \(y \in B\) такой, что \(\left\|x-y\right\| < \varepsilon/2\). Так как \(C\) плотно в \(B\), то найдется \(z \in \mathbb{C}\) такой, что \(\left\|y-z\right\| < \varepsilon/2\). Тогда
$$
\left\|x-z\right\| \leq \left\|x-y\right\|+\left\|y-z\right\| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\nonumber
$$
Следовательно, \(C\) плотно в \(A\). \(\bullet\)
Лемма 4.
Подпространство функций, непрерывных на отрезке \([a, b]\) и принимающих на концах этого отрезка равные значения, плотно в \(L_{2}^{C}(a, b)\).
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим для краткости через \(B\) подпространство кусочно непрерывных на \([a, b]\) функций, а через \(C\) — подпространство непрерывных функций, принимающих на концах отрезка \([a, b]\) одинаковые значения. Договоримся, что будем доопределять нулем функции вне отрезка \([a, b]\).
Покажем, что \(B\) плотно в \(L_{2}^{C}(a, b)\). Возьмем произвольную функцию \(f \in L_{2}^{C}(a, b)\) и любое \(\varepsilon > 0\). Тогда существует такое разбиение \(x_{0}=a < x_{1} < \ldots < x_{n}=b\), что на каждом из интервалов \((x_{i-1}, x_{i})\) функция \(f(x)\) непрерывна, а интеграл \(\int\limits_{a}^{b}|f|^{2}dx\) сходится как несобственный. Найдется такое \(\delta > 0\), что
$$
\sum_{i=0}^{n} \int\limits_{x_{i}-\delta}^{x_{i}+\delta}|f|^{2}dx < \varepsilon,\quad (x_{i}-\delta, x_{i}+\delta) \cap (x_{j}-\delta, x_{j}+\delta)=\varnothing,\ i \neq j.\nonumber
$$
Возьмем функцию
$$
\varphi_{n}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & x \in \displaystyle\bigcup_{i=0}^{n}(x_{i}-\delta, x_{i}+\delta),\\
f(x) & \mbox{в остальных точках}.
\end{array} \right.\nonumber
$$
Очевидно, что \(\varphi(x)\) кусочно непрерывна и
$$
\left\|f-\varphi\right\|^{2}=\sum_{i=0}^{n} \int\limits_{x_{i}-\delta}^{x_{i}+\delta}|f|^{2}dx < \varepsilon.
$$
Итак, \(B\) плотно в \(L_{2}^{C}(a, b)\). Покажем, что \(C\) плотно в \(B\). Пусть \(\varphi \in B\) и \(\tilde{x}_{0}=a < \tilde{x}_{1} < \ldots < \tilde{x}_{n}=b\) — ее точки разрыва первого рода. Построим непрерывную функцию \(\psi(x)\), обращающуюся в нуль во всех точках \(\tilde{x}_{i}\), (рис. 70.2):
$$
\psi_{n}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\tilde{x}_{i}-x}{\varepsilon} \varphi(\tilde{x}_{i}-\varepsilon), & \tilde{x}_{i}-\varepsilon \leq x \leq \tilde{x}_{i},\\
\displaystyle\frac{x-\tilde{x}_{i}}{\varepsilon} \varphi(\tilde{x}_{i}+\varepsilon), & \tilde{x}_{i} \displaystyle\leq x \leq \tilde{x}_{i}+\varepsilon,\ i=\overline{0, m},\\
\varphi(x), & \mbox{в остальных точках}
\end{array} \right.\nonumber
$$
где \(\varepsilon < \displaystyle\frac{1}{4} \max_{i=\overline{0, m}} \bigtriangleup \tilde{x}_{i}\), \(\bigtriangleup \tilde{x}_{i}=\tilde{x}_{i}-\tilde{x}_{i-1}\).
Функция \(\psi(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) и
$$
|\psi(x)| \leq M=\max_{a \leq x \leq b} |\varphi(x)|.\nonumber
$$
В самом деле, так как функция \(\psi(x)\) линейна на отрезках \([\tilde{x}_{i}-\varepsilon, \tilde{x}_{i}]\) и \([\tilde{x}_{i}, \tilde{x}_{i}+\varepsilon]\) и \(\psi(\tilde{x}_{i})=0\), то
$$
\max_{\tilde{x}_{i}-\varepsilon \leq x \leq \tilde{x}_{i}} |\psi(x)|=|\psi(\tilde{x}_{i}-\varepsilon)|=|\varphi(\tilde{x}_{i}-\varepsilon)| \leq M,\nonumber
$$
$$
\max_{\tilde{x}_{i} \leq x \leq \tilde{x}_{i}+\varepsilon} |\psi(x)|=|\psi(\tilde{x}_{i}+\varepsilon)|=|\varphi(\tilde{x}_{i}+\varepsilon)| \leq M,\nonumber
$$
Вне отрезков \([\tilde{x}_{i}-\varepsilon, \tilde{x}_{i}]\) и \([\tilde{x}_{i}, \tilde{x}_{i}+\varepsilon]\) функция совпадает с \(\varphi(x)\) и ее значения по модулю не превосходят \(M\).
Оценивая среднеквадратичное отклонение функции \(\varphi(x)\) от функции \(\psi(x)\), получаем
$$
\left\|\varphi(x)-\psi(x)\right\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} \int\limits_{\tilde{x}_{i}-\varepsilon}^{\tilde{x}_{i}+\varepsilon}|\varphi(x)-\psi(x)|^{2}dx \leq 8Mn\varepsilon.\nonumber
$$
Отсюда следует, что \(C\) плотно в \(B\). Итак, \(C\) плотно в \(B\), а \(B\) плотно в \(L_{2}^{C}(a, b)\). В силу леммы 3 \(C\) плотно в \(L_{2}^{C}(a, b)\). \(\bullet\)
Пополнением унитарного пространства \(E\) называется полное унитарное пространство \(\tilde{E}\), содержащее плотное в \(\tilde{E}\) подпространство \(L\), изоморфное \(E\).
Теорема 1.
Для любого унитарного пространства существует пополнение, единственное с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Данная теорема приводится без доказательства.
Пополнение пространства \(L_{2}^{C}(a, b)\) называется пространством \(L_{2}(a, b)\). Можно показать, что \(L_{2}^{C}(a, b)\) изоморфно гильбертову пространству функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу.
Ряды Фурье по ортогональным системам.
Пусть \(H\) бесконечномерное унитарное пространство. Систему элементов \(\{e_{i}\}_{i=1, \ldots} \in H\) будем называть линейно независимой, если при любом \(n\) элементы \(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\) линейно независимы. Если любой элемент \(x \in H\) можно представить в виде суммы сходящегося ряда
$$
x=\lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{m} x_{n}e_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}e_{n},\label{ref8}
$$
то линейно независимая система \(\{e_{i}\}\) называется базисом в \(H\). Система \(\{e_{i}\}\) называется ортогональной, если \((e_{i}, e_{j})=0\) при \(i \neq j\), и ортонормированной, если \((e_{i}, e_{j})=\delta_{ij}\), где \(\delta_{ij}\) — символ Кронекера, то есть \(\delta_{ij}=0\) при \(i \neq j\) и \(\delta_{ii}=1\). Если, кроме того, \(\{e_{i}\}\) есть базис, то будем говорить об ортогональных и ортонормированных базисах.
Если \(\{e_{i}\}\) — ортогональный базис, то все коэффициенты \(x_{n}\) ряда \eqref{ref8} могут быть выражены через \(x\). Так как элементы \(e_{i}\) ортогональны, то при \(k \leq n\) имеем
$$
\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, e_{k}\right)=x_{k}(e_{k}, e_{k}).\label{ref9}
$$
Так как \(x=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}\), а скалярное произведение непрерывно, то, переходя в \eqref{ref9} к пределу при \(n \rightarrow \infty\), получаем
$$
x_{k}=\dfrac{(x, e_{k})}{\left\|e_{k}\right\|^{2}},\ k \in N.\label{ref10}
$$
Если базис ортонормированный, то \(\left\|e_{k}\right\|=1\) и \(x_{k}=(x, e_{k})\). Числа \(x_{k}\) называются коэффициентами Фурье элемента \(x\) по ортогональной системе \(\{e_{i}\}\).
Если теперь отказаться от требования, чтобы ортогональная система \(\{e_{i}\}\) была базисом в \(H\), то коэффициенты Фурье элемента \(x\) все равно можно вычислять по формуле \eqref{ref10}. Выражение \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}e_{k}\) где \(x_{k}\) — коэффициенты Фурье элемента \(x\), будем называть рядом Фурье элемента \(x\) по ортогональной системе \(\{e_{i}\}\). Так как, вообще говоря, ряд может и не сходиться, то будем писать
$$
x \sim \sum_{k=1}^{\infty}x_{k}e_{k},\quad x_{k}=\dfrac{(x, e_{k})}{\left\|e_{k}\right\|^{2}}.\nonumber
$$
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.
Теорема 2.
Пусть \(\{e_{i}\}\) — ортонормированная система элементов унитарного пространства \(E\), \(x\) — произвольный элемент пространства \(E\), \(n \in N\). Тогда из всех линейных комбинаций \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\), где \(\alpha_{i} \in \mathbb{C}\), \(i=\overline{1, n}\), наилучшим образом приближает элемент \(x\) но норме пространства \(E\) \(n\)-я частичная сумма ряда Фурье элемента \(x\) по ортонормированной системе \(\{e_{i}\}\), то есть
$$
\min_{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{C}} \left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\|=\left\|x-\sum_{i=1}^{n}(x, e_{i})e_{i}\right\|.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим \(\sigma_{n}=\displaystyle\left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\|^{2}\). Так как \(\left\|x\right\|^{2}=(x, x)\), то
$$
0 \leq \sigma_{n}=\left(x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}, x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right)=(x, x)-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}(e_{i}, x) -\\- \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha}_{i}(e_{i}, x)+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\overline{\alpha}_{i}=(x, x)-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\overline{x}_{i}-\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha}_{i}x_{i}+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\overline{\alpha}_{i} =\\= \left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+\sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i}-x_{i})(\overline{\alpha}_{i}-\overline{x}_{i}).\nonumber
$$
Следовательно, $$ 0 \leq \sigma_{n}=\left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+\sum_{i=1}^{n}|\alpha_{i}-x_{i}|^{2}.\label{ref11}
$$
Из равенства \eqref{ref11} следует, что минимум \(\sigma_{n}\) достигается при \(\alpha_{i}=x_{i}\), причем
$$
0 \leq \min_{\alpha_{1} \in \mathbb{C}, i=\overline{1, n}} \sigma_{n}=\left|\|x-\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right|\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2},\ x_{i}=(x, e_{i}).\ \bullet\label{ref12}
$$
Следствие.
Для коэффициентов Фурье элемента \(x\) по ортонормированной системе \(\{e_{i}\}\) справедливо неравенство Бесселя
$$
\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2} \leq \left\|x\right\|^{2}.\label{ref13}
$$
\(\circ\) Из \eqref{ref12} следует, что \(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} \leq \left\|x\right\|^{2}\). Переходя к пределу при \(n \rightarrow \infty\), получаем неравенство Бесселя. \(\bullet\)
Полнота системы элементов {ei} в унитарном пространстве. Полнота тригонометрической системы в L2(-π, π).
Система элементов \(\{e_{i}\}\) называется полной в унитарном (нормированном) пространстве \(E\), если любой элемент \(x \in E\) может с любой степенью точности быть приближен по норме конечной линейной комбинацией \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\) то есть для любого \(\varepsilon > 0\) найдется линейная комбинация \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\) такая, что
$$
\left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\| < \varepsilon.\label{ref14}
$$
Теорема 3.
Если \(\{e_{i}\}\) — ортонормированная система в унитарном пространстве \(H\), то следующие условия эквивалентны:
- система \(\{e_{i}\}\) полна в \(H\);
- для любого \(x \in H\) справедливо равенство Парсеваля
$$
\left\|x\right\|^{2}=\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2},\ x_{i}=(x, e_{i});\label{ref15}
$$ - для любого \(x \in H\) выполнено равенство
$$
x=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}.\label{ref16}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Докажем, что 1)\(\Rightarrow\)2). Пусть ортонормированная система \(\{e_{i}\}\) полна в \(H\). Тогда для любого \(\varepsilon > 0\) найдется линейная комбинация \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\) такая, что справедливо неравенство \eqref{ref14}.
В силу минимального свойства коэффициентов Фурье
$$
0 \leq \left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} \leq \left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\|^{2} < \varepsilon^{2}.
$$
Используя это неравенство и неравенство \eqref{ref13}, получаем
$$
0 \leq \left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2} \leq \left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} < \varepsilon^{2}.\nonumber
$$
В силу произвольности \(\varepsilon\) должно быть справедливо равенство Парсеваля \eqref{ref15}.
Докажем, что 2)\(\Rightarrow\)3). Пусть справедливо равенство Парсеваля \eqref{ref15}. Тогда
$$
\left\|x-\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,
$$
то есть справедливо равенство \eqref{ref16}.
Утверждение 3)\(\Rightarrow\)1) очевидно. \(\bullet\)
Лемма 5.
Пусть подпространство \(L\) плотно в унитарном пространстве \(H\), а система \(\{e_{i}\}\) полна в \(L\). Тогда система элементов \(\{e_{i}\}\) полна в \(H\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(x\) — произвольный элемент пространства \(H\). Так как \(L\) плотно в \(H\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдется элемент \(y \in L\) такой, что \(\displaystyle\left\|x-y\right\| < \frac{\varepsilon}{2}\) Так как система \(\{e_{i}\}\) полна в \(L\), то найдется линейная комбинация \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\) такая, что
$$
\left\|y-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\| < \frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
$$
Тогда
$$
\left\|x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\| \leq \left\|x-y\right\|+\left\|y-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\right\| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\nonumber
$$
Поэтому \(\{e_{i}\}\) — полная система в пространстве \(H\). \(\bullet\)
Теорема 4.
Тригонометрическая система полна в \(L_{2}(-\pi, \pi)\).
Доказательство.
\(\circ\) Пространство \(L_{2}(-\pi, \pi)\) есть пополнение \(L_{2}^{C}(-\pi, \pi)\). Поэтому \(L_{2}^{C}(-\pi, \pi)\) плотно в \(L_{2}(-\pi, \pi)\). Пространство непрерывных функций, принимающих одинаковые значения в точках \(\pi\) и \(-\pi\), в силу леммы 4 плотно в \(L_{2}^{C}(-\pi, \pi)\), а следовательно, и в \(L_{2}(-\pi, \pi)\).
Осталось, в силу леммы 5, показать, что тригонометрическая система полна в подпространстве \(L\) непрерывных на \([-\pi, \pi]\) функций, принимающих одинаковые значения в точках \(\pi\) и \(-\pi\). Каждую такую функцию можно в силу теоремы Вейерштрасса равномерно приблизить тригонометрическим многочленом \(T(x)\), то есть
$$
\max_{-\pi \leq x \leq \pi} |f(x)-T(x)| < \varepsilon,\nonumber
$$
где \(T(x)=\displaystyle\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{n} A_{n} \cos nx+B_{n} \sin nx\).
Но тогда \(f(x)\) можно приблизить с любой степенью точности тригонометрическим многочленом и по норме пространства \(L_{2}(-\pi, \pi)\) (в смысле среднего квадратичного), так как
$$
\left\|f-T\right\|=\left(\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f-T|^{2}dx\right)^{1/2} \leq \varepsilon \sqrt{2\pi}.\nonumber
$$
Итак, тригонометрическая система полна в \(L_{2}(-\pi, \pi)\). \(\bullet\)
Следствие.
Из теорем 3 и 4 следует, что для любой функции \(f \in L_{2}^{C}[-\pi, \pi]\), в частности, для любой непрерывной или кусочно непрерывной функции, выполнено равенство Парсеваля
$$
\frac{|a_{0}|^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} dx\nonumber
$$
и ряд Фурье такой функции сходится в смысле среднего квадратичного к функции \(f(x)\), то есть
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \left|f(x)-\frac{a_{0}}{2}-\sum_{k=1}^{n} (a_{k} \cos kx+b_{k} \sin kx)\right|^{2}dx=0.\nonumber
$$
Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональной системы в гильбертовом пространстве.
Теорема 5.
Пусть \(H\) — гильбертово пространство и \(\{e_{i}\}\) — ортонормированная система элементов. Для того чтобы ряд
$$
\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}e_{i}\nonumber
$$
сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд
$$
\sum_{i=1}^{\infty}|\alpha_{i}|^{2}.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость следует из неравенства Бесселя. Если \(x=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}e_{i}\), то \(\alpha_{i}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e_{k}, e_{i}\right)=(x, e_{i})\) и \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|\alpha_{i}|^{2} \leq \left\|x\right\|^{2}\).
Достаточность. Пусть числовой ряд \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|\alpha_{i}|^{2}\) сходится. Тогда для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такой номер \(N\), что для всех \(n, m > N\) выполнено неравенство
$$
\sum_{k=n}^{m}|\alpha_{i}|^{2} < \varepsilon.\nonumber
$$
Последовательность частичных сумм ряда \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}e_{i}\) будет фундаментальной, так как при любых \(n, m > N\) выполнено условие
$$
\left\|s_{n}-s_{m}\right\|^{2}=\left\|\sum_{i=n}^{m}\alpha_{i}e_{i}\right\|^{2}=\sum_{i=n}^{m}|\alpha_{i}|^{2} < \varepsilon,\nonumber
$$
где \(s_{n}=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{n}e_{n}\).
Но в полном пространстве любая фундаментальная последовательность сходится. Следовательно, последовательность частичных сумм \(s_{n}\) сходится, то есть ряд \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}e_{i}\) сходится. \(\bullet\)
Следствие.
Если \(\{e_{i}\}\) — ортонормированная система в гильбертовом пространстве \(H\), то для любого \(x \in H\) ряд Фурье по ортонормированной системе \(\{e_{i}\}\) сходится и элемент \(x\) представим в виде
$$
x=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}+y,\ \mbox{где}\ x_{i}=(x, e_{i}),\ (y, e_{i})=0,\ i \in N.\label{ref17}
$$
\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}\) есть ряд Фурье элемента \(x\). В силу неравенства Бесселя числовой ряд \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{2}\) сходится. Из теоремы 5 тогда следует, что ряд \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}\) будет сходящимся.
Пусть
$$
y=x-\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(x-\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right).\nonumber
$$
В силу ортогональности системы \(\{e_{i}\}\) и непрерывности скалярного произведения справедливо равенство
$$
(y, e_{i})=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(x-\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}, e_{i}\right)=(x, e_{i})-x_{i}=0,\ i \in N.\ \bullet\nonumber
$$
Ортогональная система \(\{e_{i}\}\) называется замкнутой в унитарном пространстве \(H\), если для любого \(x \in H\) из \((x, e_{i})=0\), \(i=1, 2, \ldots\), следует \(x=0\).
Теорема 6.
Для того чтобы ортонормированная система была полной в унитарном пространстве, необходимо, а в случае полного пространства и достаточно, чтобы она была замкнутой.
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\{e_{i}\}\) — полная система в унитарном пространстве \(H\). Если для элемента \(x \in H\) справедливы равенства \((x, e_{i})=0\), \(i \in N\), то, применяя равенство Парсеваля, получаем
$$
\left\|x\right\|^{2}=\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}e_{i}|^{2}=0,\nonumber
$$
то есть \(x=0\).
Достаточность. Пусть \(H\) — полное пространство. Тогда каждый элемент \(x \in H\) можно представить в виде \eqref{ref17}. Так как система \(\{e_{i}\}\) замкнута, то из равенств \((y, e_{i})=0\), \(i \in N\), следует, что \(y=0\). Таким образом, любой элемент \(x\) есть сумма своего ряда Фурье по ортонормированной системе \(\{e_{i}\}\). Следовательно, система \(\{e_{i}\}\) полна в \(H\). \(\bullet\)