Определение.
Пусть \(f(x)\) есть непрерывная и \(2\pi\)-периодическая функция. Рассмотрим последовательность \(S_{n}(x)\) частичных сумм ряда Фурье функции \(f(x)\). Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм \(S_{0}(x), S_{1}(x), \ldots, S_{n}(x)\):
$$
\sigma_{n}(x) = \dfrac{S_{0}(x)+\ldots+S_{n}(x)}{n+1}.\label{ref1}
$$
Воспользуемся выражением для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:
$$
S_{n}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) D_{n}(t)\ dt,\label{ref2}
$$
где
$$
D_{n}(t) = \frac{1}{2}+\cos t+\ldots+\cos nt = \dfrac{\displaystyle\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{\displaystyle2\sin\frac{1}{2}},\label{ref3}
$$
Подставляя выражение \eqref{ref2} в формулу \eqref{ref1} для суммы Фейера, получаем, что
$$
\sigma_{n}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) F_{n}(t)\ dt.\label{ref4}
$$
где
$$
F_{n}(t) = \dfrac{D_{0}(t)+\ldots+D_{n}(t)}{n+1}.\label{ref5}
$$
Функцию \(F_{n}(t)\) назовем ядром Фейера. Определим его некоторые свойства.
Свойство 1.
\(F_{n}(t)\) — четная, \(2\pi\)-периодическая и непрерывная функция.
Доказательство.
Это свойство непосредственно следует из формулы \eqref{ref5}.
Свойство 2.
\(\displaystyle\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}F_{n}(t)\ dt = 1\).
Доказательство.
Это свойство непосредственно следует из формулы \eqref{ref5}.
Свойство 3.
\(F_{n}(t) \geq 0\).
Доказательство.
Подставляя в формулу \eqref{ref5} для ядра Фейера выражение \eqref{ref3} для ядер Дирихле, получаем
$$
(n+1)F_{n}(t) = D_{0}(t)+\ldots+D_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\displaystyle\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x}{2\displaystyle\sin\frac{1}{2}} =\\= \dfrac{1}{4\displaystyle\sin^{2} \frac{x}{2}} \sum_{k=0}^{n} 2\sin \frac{x}{2} \sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x = \dfrac{1-\cos(n+1)x}{4\displaystyle\sin^{2} \frac{x}{2}} \geq 0.\label{ref6}
$$
Свойство 4.
\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \max_{\delta \leq t \leq \pi} F_{n}(t) = 0\) при любом \(\delta \in (0, \pi)\).
Доказательство.
Из равенства \eqref{ref6} следует, что
$$
\sup_{x \in [\delta, \pi]} F_{n}(x) \leq \dfrac{2}{4\displaystyle\sin^{2} \frac{\delta}{2}} \frac{1}{n+1} \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\ 0 < \delta < \pi.\nonumber
$$
Теорема Фейера.
Последовательность \(\{\sigma_{n}(x)\}\) сумм Фейера \(2\pi\)-периодической непрерывной функции \(f(x)\) равномерно сходится к функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Оценим \(\sigma_{n}(x)-f(x)\). Воспользовавшись вторым и третьим свойствами ядра Фейера, получаем, что
$$
\begin{array}{cc} & \sigma_{n}(x)-f(x) = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (f(x+t)-f(x))F_{n}(t)\ dt,\\ & \\ & |\sigma_{n}(x)-f(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |f(x+t)-f(x)|F_{n}(t)\ dt. \end{array}\label{ref7}
$$
Непрерывная на \(\mathbb{R}\) и \(2\pi\)-периодическая функция равномерно непрерывна на \(\mathbb{R}\). В самом деле, в силу теоремы Кантора функция \(f(x)\) равномерно непрерывна на отрезке \([-2\pi, 2\pi]\). Поэтому для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\) такое, что для любых \(x, t \in [-2\pi, 2\pi]\) таких, что \(|x-t| < \delta\), выполнено неравенство \(|f(x)-f(t)| < \varepsilon\).
Пусть \(\xi\) и \(\eta\) — произвольные числа такие, что \(|\xi-\eta| < \delta < \pi\). Тогда для любого \(\xi \in \mathbb{R}\) найдется целое число \(k\) такое, что \(\xi-2k\pi = x \in [-\pi, \pi]\). Так как по условию \(|\xi-\eta| < \delta < \pi\), то \(t = \eta-2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]\), и поэтому
$$
|f(\xi)-f(\eta)| = |f(\xi-2k\pi)-f(\eta-2k\pi)| = |f(x)-f(t)| < \varepsilon,\nonumber
$$
что доказывает равномерную непрерывность функции \(f(x)\) на \(\mathbb{R}\). Воспользуемся равномерной непрерывностью функции \(f(x)\) на \(\mathbb{R}\) и для любого \(\varepsilon > 0\) найдем \(\delta > 0\) такое, что для любого \(x \in \mathbb{R}\) и при любом \(|t| < \delta\) выполнено равенство
$$
|f(x+t)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
$$
Разобьем отрезок интегрирования в формуле \eqref{ref7} на три отрезка: \([-\pi, -\delta]\), \([-\delta, \delta]\) и \([\delta, \pi]\). Воспользовавшись вторым и третьим свойствами ядра Фейера, получаем, что
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\delta}^{\delta} |f(x+t)-f(x)| F_{n}(t)\ dt \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\delta}^{\delta} \frac{\varepsilon}{2} F_{n}(t)\ dt \leq \frac{\varepsilon}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} F_{n}(t)\ dt = \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref8}
$$
Так как функция \(f(x)\) непрерывна на \(\mathbb{R}\) и имеет период \(2\pi\), то она ограничена на \(\mathbb{R}\). Пусть \(|f(x)| < M\). Воспользуемся четвертым свойством ядра Фейера и найдем такое \(N\), что для всех \(n > N\) выполнено неравенство
$$
\max_{t \in [\delta, \pi]} F_{n}(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.\nonumber $$ Тогда для всех \(n > N\) справедливо неравенство
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{\delta}^{\pi} |f(x+t)-f(x)| F_{n}(t)\ dt \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{\delta}^{\pi} (|f(x+t)|-|f(x)|) F_{n}(t)\ dt \leq \\ \leq \frac{2M}{\pi}(\pi-\delta) \max_{t \in [\delta, \pi]} F_{n}(t) < 2M\frac{\varepsilon}{8M} = \frac{\varepsilon}{4}.\label{ref9}
$$
Аналогично для всех \(n > N\)
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} |f(x+t)-f(x)| F_{n}(t)\ dt < \frac{\varepsilon}{4}.\label{ref10}
$$
Из неравенств \eqref{ref7}-\eqref{ref10} следует, что для любого \(x \in \mathbb{R}\) и для всех \(n > N\) выполнено неравенство
$$
|\sigma_{n}(x)-f(x)| < \varepsilon,
$$
которое означает, что последовательность сумм Фейера \(\sigma_{n}(x)\) равномерно на \(\mathbb{R}\) сходится к функции \(f(x)\). \(\bullet\)