Главная » Математический анализ » Предел последовательности » Предел монотонной последовательности

Предел монотонной последовательности

разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.
    Начать изучение
  2. Признак сходимости монотонной последовательности.
    Начать изучение
  3. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
    Начать изучение

Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.

Последовательность \(\{x_{n}\}\) называют возрастающей (неубывающей), если для любого \(n\in\mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
x_{n+1}\geq x_{n}.\label{ref1}
$$
Аналогично последовательность\(\{x_{n}\}\) называют убывающей (невозрастающей), если для любого \(n\in\mathbb{N}\) справедливо неравенство
$$
x_{n+1}\leq x_{n}.\label{ref2}
$$
Если неравенство \eqref{ref1} можно записать в виде \(x_{n+1}>x_{n}\), а неравенство \eqref{ref2} — в виде \(x_{n+1} < x_{n}\), то последовательность \(\{x_{n}\}\) называют соответственно строго возрастающей и строго убывающей.

Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — строго монотонной.

Если неравенство \eqref{ref1} выполняется при \(n\geq n_{0}\), то последовательность \(\{x_{n}\}\) называют возрастающей, начиная с номера \(n_{0}\) (при \(n\geq n_{0}\)). Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающей и строго возрастающей последовательности, начиная с номера \(n_{0}\) (при \(n\geq n_{0}\)).

Для доказательства теоремы о пределе монотонной последовательности нам потребуются понятия точной верхней и нижней грани последовательности.

Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последовательности \(\{x_{n}\}\) называют точной верхней (нижней) гранью последовательности и обозначают соответственно \(\sup{\{x_{n}\}}\) и \( \inf{\{x_{n}\}}\).

Определение точной верхней грани \(\sup{X}\) числового множества \(X,\) можно записать так:

$$
\displaystyle \{M=\sup X\}\Leftrightarrow\{\forall x\in X\rightarrow x\leq M\}\wedge\{\forall\varepsilon>0 \ \exists x_{\varepsilon}\in X:x_{\varepsilon}>M-\varepsilon\}.\label{ref3}
$$
Аналогично определение точной нижней грани \(\displaystyle \inf{X}\) числового множества \(X\) можно записать в виде
$$
\displaystyle \{m=\inf X\}\Leftrightarrow\{\forall x\in X\rightarrow x\geq m\}\wedge\{\forall\varepsilon>0\ \exists x_{\varepsilon}\in X:x_{\varepsilon} < m+\varepsilon\}.\label{ref4}
$$

Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней последовательности можно записать в виде

$$
[a=\displaystyle \sup\{x_{n}\}]\Leftrightarrow\{\forall n\in N\rightarrow x_{n}\leq a\}\wedge\{\forall\varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}}>a-\varepsilon\},\label{ref5}
$$
$$
[b=\displaystyle \inf\{x_{n}\}]\Leftrightarrow\{\forall n\in N\rightarrow x_{n}\geq b\}\wedge\{\forall\varepsilon<0\ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}} < b+\varepsilon\}.\label{ref6}
$$

Таким образом, число \(a\) — точная верхняя грань последовательности \(\{x_{n}\}\), если выполняются условия:

  1. все члены последовательности не превосходят \(a\), то есть
    $$
    \forall n\in N\rightarrow x_{n}\leq a;\label{ref7}
    $$
  2. для каждого \(\varepsilon>0\) (рис. 6.1) найдется член последовательности, больший \(a-\varepsilon\), то есть
    $$
    \forall\varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}}>a-\varepsilon.\label{ref8}
    $$

    Рис. 6.1
    Рис. 6.1

Аналогично разъясняется определение \eqref{ref6} точной нижней грани последовательности.

Признак сходимости монотонной последовательности.

Теорема 1.

Если последовательность \(\{{x_{n}}\}\) является возрастающей и ограниченной сверху, то существует
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\sup\{x_{n}\}.\nonumber
$$

Если последовательность \(\{x_{n}\}\) является убывающей и ограниченной снизу, то существует
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\inf\{x_{n}\}.\nonumber
$$

Доказательство.

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности.

Если последовательность \(\{x_{n}\}\) ограничена сверху, то есть множество чисел \(x_{2},x_{2}, \ldots,x_{n}, \ldots\) ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями \eqref{ref7}, \eqref{ref8}. Так как \(\{x_{n}\}\) — возрастающая последовательность, то
$$
\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow x_{N_{\varepsilon}}\leq x_{n}.\label{ref9}
$$

Из \eqref{ref7}-\eqref{ref9} следует, что
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow a-\varepsilon < x_{N_{\varepsilon}}\leq x_n\leq а,\nonumber
$$
то есть \(x_{n}\in U_{\varepsilon}(a)\).

Это означает, согласно определению предела, что
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a=\sup\{x_{n}\}.\quad\bullet\nonumber
$$

Замечание 1.

Теорема 1 остается справедливой для последовательности, ограниченной сверху (снизу) и возрастающей (убывающей), начиная с некоторого номера.

Пример 1

Доказать, что если  \(x_n=\displaystyle \frac{a^{n}}{n!}\), где \(a>0\), то
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0.\nonumber
$$

Решение

\(\triangle\) Так как
$$
x_{n+1}=\frac{a}{n+1}x_{n},\label{ref10}
$$
то \(x_{n+1}\leq x_{n}\) при всех \(n\geq n_{0}\), где \(n_{0}=[a],\{x_{n}\}\) — убывающая при \(n\geq n_{0}\) последовательность. Кроме того, \(x_{n}\geq0\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) то есть последовательность ограничена снизу. По теореме 1 последовательность \(\{x_{n}\}\) сходится. Пусть \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} x_n=b\). Тогда, переходя к пределу в равенстве \eqref{ref10}, получаем \(b=0\). Итак,
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0.\quad\blacktriangle\label{ref11}
$$

Замечание 2.

Утверждение \eqref{ref11} справедливо не только при \(a>0\), но и при любом \(a\in\mathbb{R}\), так как \(\displaystyle \left|\frac{a^{n}}{n!}\right|\leq\frac{|a|^{n}}{n!}\).

Пример 2

Последовательность \(\{x_{n}\}\)задается рекуррентной формулой

$$
x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}) ,\label{ref12}
$$

где  \(x_1>0, a>0\). Доказать, что
$$
\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\sqrt{a}.\label{ref13}
$$

Решение

\(\triangle\) Докажем сначала методом индукции, что

$$
\forall k\in\ N \rightarrow x_{k}>0.\label{ref14}
$$

В самом деле, из формулы \eqref{ref12} и условий \(x_{1}>0\), \(a>0\) следует, что \(x_{2}>0\). Предполагая, что \(x_{n}>0\), из равенства \eqref{ref12} получаем  \(x_{n+1}>0\). Утверждение \eqref{ref14} доказано.

Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического, из \eqref{ref12} получаем \(x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})\geq\sqrt{x_{n}\frac{a}{x_{n}}}=\sqrt{a}\) при \(n\in\mathbb{N}\), то есть
$$
\forall n\geq 2\rightarrow x_{n}\geq\sqrt{a}.\label{ref15}
$$

Итак, последовательность \(\{x_{n}\}\) ограничена снизу. Докажем, что она является убывающей. Запишем равенство \eqref{ref12} в виде
$$
x_{n+1}-x_n = \frac{a-x^2_n}{2x_n}\nonumber
$$
откуда в силу \eqref{ref14} и \eqref{ref15} получаем
$$
\forall n \geq 2 \rightarrow x_{n+1} \leq x_n,\nonumber
$$
то есть последовательность является убывающей при \(n\geq 2\). По теореме 1 существует \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=\alpha\), где \(\alpha\geq\sqrt{a}>0\) в силу условия \eqref{ref15}. Переходя в равенстве \eqref{ref12} к пределу, получаем \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(\alpha+\frac{a}{\alpha})\) , откуда \(\alpha^{2}=a, \ \alpha=\sqrt{a}\), то есть справедливо утверждение \eqref{ref13}.\(\quad\blacktriangle\)

Число e.

Рассмотрим последовательность \(\{x_{n}\}\), где
$$
x_{n}=\left(1+\displaystyle \frac{1}{n}\right)^{n},\nonumber
$$
и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
$$
x_{n}=1+C_{n}^{1}\frac{1}{n}+C_{n}^{2}\frac{1}{n^{2}}+\ldots+C_{n}^{k}\frac{1}{n^{k}}+\ldots+\frac{1}{n^{n}},\nonumber
$$
где
$$
C_{n}^{k}=\displaystyle \frac{n(n-1)\ldots(n-(k-1))}{k!},\quad k=\overline{1,n},\quad C_{n}^{0}=1.\nonumber
$$

Запишем \(x_n\) следующем виде:
$$
x_{n}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\ldots(1-\frac{k-1}{n});\label{ref16}
$$
тогда
$$x_{n+1}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n+\perp}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\ldots(1-\frac{k-1}{n+1}).\label{ref17}
$$
Все слагаемые в суммах \eqref{ref16} и \eqref{ref17} положительны, причем каждое слагаемое суммы \eqref{ref16} меньше соответствующего слагаемого суммы \eqref{ref17}, так как \(\displaystyle 1-\frac{m}{n}\,<\,1-\frac{m}{n+1}, \ m=\overline{1,n-1}\), а число слагаемых в сумме \eqref{ref17} на одно больше, чем в сумме \eqref{ref16}. Поэтому \(x_n < x_{n+1}\) для всех \(n\in\mathbb{N}\), то есть \(\{x_{n}\}\) — строго возрастающая последовательность. Кроме того, учитывая, что \(\displaystyle 0 < 1-\frac{m}{n} < 1 \ (m=\overline{1,n-1})\), из равенства \eqref{ref16} получаем \(x_{n} < 1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\). Так как \(\frac{1}{k!}\leq \frac{1}{2^{k-1}}\) при \(k\in\mathbb{N}\), то, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем \(x_{n} < \displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\frac{1-(1/2)^{n}}{1-1/2}=3-\frac{1}{2^{n-1}}\). Следовательно,
$$
x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<3,\nonumber
$$
то есть \(\{x_{n}\}\) — ограниченная последовательность. По теореме 1 существует \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n\). Этот предел обозначается буквой \(e\). Таким образом,
$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e.\label{ref18}
$$

Число \(e\) является иррациональным, оно служит основанием натуральных логарифмов и играет важную роль в математике. Справедливо приближенное равенство
$$
e\approx 2,718281828459045\nonumber
$$

Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Назовем последовательность отрезков \(\Delta_{1},\Delta_{2},\ldots,\Delta_n,\ldots\), где \(\Delta_n=[a_{n},b_{n}]\), стягивающейся, если выполнены следующие условия:

  1. каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, то есть
    $$
    \forall n\in\mathbb{N}\rightarrow\Delta_{n+1}\subset\Delta_{n};\label{ref19}
    $$
  2. длина n-гo отрезка \(\Delta_n\) стремится к нулю при \(n\rightarrow\infty\), то есть
    $$
    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(b_{n}-a_{n})=0.\label{ref20}
    $$

Условие \eqref{ref19} означает, что
$$
a_{1}\leq a_{2}\leq\ldots\leq a_{n}\leq a_{n+1}\leq\ldots\leq b_{n+1}\leq b_{n}\leq\ldots\leq b_{2}\leq b_{1}.\label{ref21}
$$

Теорема 2.

(Теорема Кантора)

Если последовательность отрезков является стягивающейся, то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.

Доказательство.

\(\circ\) Существование. Из условия \eqref{ref21} следует, что

$$
\forall n\in\mathbb{N}\quad\forall m\in\mathbb{N}\rightarrow a_{n}\leq b_{m}.\label{ref22}
$$

По теореме об отделимости числовых множеств из \eqref{ref22} заключаем, что существует \(sup\{a_n\}=c\), причем
$$
\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow a_{n}\leq c\leq b_{n},\nonumber
$$
то есть существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы \(\{\Delta_n\}\).

Единственность. Пусть существуют две различные точки c и c’ принадлежащие всем отрезкам последовательности \(\{\Delta_n\}\), то есть \(c\in\Delta_n\) и \(c’\in\Delta_n\) при любом \(n\in\mathbb{N}\). Так как \(c\neq c’\), то либо \(c < c’\), либо \(c’ < c\). Пусть, например, \(c < c’\). Тогда \(a_{n}\leq c < c’\leq b_{n}\) при любом \(n\in\mathbb{N}\), откуда по свойствам неравенств \(b_{n}-a_{n}\geq c’-c=\alpha \ >0\) при любом \(n\in\mathbb{N}\), что противоречит условию \eqref{ref20}. Итак, \(\alpha=0\), то есть \(c’=c.\quad\bullet\)

Оставить комментарий