Поверхности.

Содержание:

  1. Простые поверхности.
  2. Криволинейные координаты на поверхности.
  3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  4. Кусочно гладкие поверхности.
  5. Ориентируемые поверхности.

Простые поверхности.

Будем говорить, что функция \(f(u, v)\) непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве \(E \subset \boldsymbol{R}^{2}\), если она определена и имеет непрерывные частные производные \(\partial f/\partial u\) и \(\partial f/\partial v\) на открытом множестве \(G\), содержащем замкнутое множество \(E\).

Пусть \(\Omega\) — ограниченная область в \(\boldsymbol{R}^{2}\), а функции \(\varphi(u, v)\), \(\psi(u, v)\) и \(\chi(u, v)\) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве \(\overline{\Omega} = \Omega \cup \partial \Omega\), где \(\partial \Omega\) — граница области \(\Omega\). Тогда отображение \(F: \overline{\Omega} \rightarrow \boldsymbol{R}^{3}\), определяемое формулами
$$
x = \varphi(u, v),\quad y = \psi(u, v),\quad z = \chi(u, v),\quad (u, v) \in \overline{\Omega},\label{ref1}
$$
называется непрерывно дифференцируемым. Если при этом в каждой точке \((u, v) \in \Omega\) ранг функциональной матрицы
$$
\begin{Vmatrix}\varphi_{u}(u, v)&\psi_{u}(u, v)&\chi_{u}(u, v)\\\varphi_{v}(u, v)&\psi_{v}(u, v)&\chi_{v}(u, v)\end{Vmatrix}\label{ref2}
$$
равен двум, то отображение \(F: \rightarrow \boldsymbol{R}^{3}\) называется гладким.

Если \(\overline{\Omega}\) есть замкнутое ограниченное множество в \(\boldsymbol{R}^{2}\), a \(F: \overline{\Omega} \rightarrow \boldsymbol{R}^{3}\) есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами \(\overline{\Omega}\) и \(\Sigma = F(\overline{\Omega})\) является взаимно однозначным, то будем множество \(\Sigma\) называть простой поверхностью в \(\boldsymbol{R}^{3}\), а уравнения \eqref{ref1} будем называть параметрическими уравнениями простой поверхности \(\Sigma\).

Пусть область \(\Omega\) ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром \(\gamma\). Образ кривой \(\gamma\) при гладком отображении \(F: \overline{\Omega} \rightarrow \boldsymbol{R}^{3}\) будем называть краем простой поверхности \(\Sigma\) и обозначать через \(\partial \Sigma\).

Если уравнение кривой \(\gamma\) имеет вид
$$
u = u(t),\quad v = v(t),\quad \alpha \leq t \leq \beta,\nonumber
$$
то уравнение \(\partial\Sigma\) задается следующими формулами:
$$
x = \varphi(u(t), v(t)),\quad y = \psi(u(t), v(t)),\quad z = \chi(u(t), v(t)),\quad \alpha \leq t \leq \beta.\label{ref3}
$$

График функции \(z = f(x, y)\), непрерывно дифференцируемой на замкнутом ограниченном множестве \(\overline{\Omega} \subset \boldsymbol{R}^{2}\), есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
$$
x = u,\quad y = v,\quad z = f(u, v),\quad (u, v) \in \overline{\Omega}.\label{ref4}
$$

В этом случае матрица \(\begin{Vmatrix}x_{u}&x_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{Vmatrix}\) является единичной, а поэтому ранг матрицы \eqref{ref2} равен двум.

Например, график функции \(z = x^{2} + y^{2}\), \((x, y) \in \overline{\Omega}\), где \(\overline{\Omega} = \{(x, y): x^{2} + y^{2} \leq 1\}\), есть простая поверхность. Окружность, получаемая при пересечении параболоида вращения \(z = x^{2} + y^{2}\) и плоскости \(z = 1\), является краем рассматриваемой простой поверхности.

Уравнения \eqref{ref1} простой поверхности можно записать и в векторной форме:
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v),\quad (u, v) \in \overline{\Omega},\quad \boldsymbol{r}(u, v) = \varphi(u, v) \boldsymbol{i} + \psi(u, v) \boldsymbol{j} + \chi(u, v) \boldsymbol{k}.\label{ref5}
$$

С механической точки зрения формулы \eqref{ref1} определяют гладкую (без разрывов и изломов) деформацию плоской области \(\Omega\) в множество \(\Sigma\) (простую поверхность в пространстве \(\boldsymbol{R}^{3}\)). Для практических целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфера \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\) не является простой поверхностью в \(\boldsymbol{R}^{3}\). Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.

Пусть \(\Omega\) — плоская область и \(F: \overline{\Omega} \rightarrow \boldsymbol{R}^{3}\) — непрерывно дифференцируемое отображение. Будем множество \(\Sigma = F(\overline{\Omega})\) называть почти простой поверхностью в \(\boldsymbol{R}^{3}\), если найдется расширяющаяся последовательность ограниченных областей \(\{\Omega_{n}\}\) таких, что \(\overline{\Omega}_{n} \subset \Omega_{n + 1}\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}\) и поверхности \(\Sigma_{n} = F(\overline{\Omega}_{n})\) простые.

Пример 1.

Сфера \(S = \{(x, y, z): x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\}\) есть почти простая поверхность.

Решение.

\(\vartriangle\) Введем сферические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда сфера \(S\) есть образ прямоугольника \(\overline{\Omega} = \displaystyle\left\{(\varphi, \psi): 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\right\}\) при непрерывно дифференцируемом отображении \(F: \overline{\Omega} \rightarrow S\), определяемом формулами
$$
x = a \cos \varphi \cos \psi,\qquad y = a \sin \varphi \cos \psi,\qquad z = a \sin \psi.\nonumber
$$

Образами отрезков \(\varphi = \varphi_{0}\), \(\displaystyle-\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\) являются меридианы, а при \(\displaystyle|\psi_{0}|\;<\;\frac{\pi}{2}\) образами отрезков \(\psi = \psi_{0}\), \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\) являются параллели на сфере \(S\). Отображение \(F: \overline{\Omega} \rightarrow S\) не будет взаимно однозначным, так как меридианы \(\varphi = 0\) и \(\varphi = 2\pi\) совпадают, а отрезки \(\displaystyle\psi = \pm \frac{\pi}{2}\), \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\) переходят в северный и южный полюсы сферы \(S\).

Положим
$$
\Omega_{n} = \left\{(\varphi, \psi): \frac{1}{n}\;<\;\varphi\;<\;2\pi - \frac{1}{n},\ -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{n}\;<\;\psi\;<\;\frac{\pi}{2} - \frac{1}{n}\right\}.\nonumber
$$

Легко проверить, что \(\overline{\Omega}_{n} \subset \Omega_{n + 1}\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}\) и что поверхности \(\Sigma_{n} = F(\overline{\Omega}_{n})\) являются простыми (рис. 52.1). Поэтому сфера \(S\) — почти простая поверхность. \(\blacktriangle\)

Рис. 52.1
Рис. 52.1
Пример 2.

Конус \(K = \{(x, y, z): x^{2} + y^{2} = z^{2}\}\) есть почти простая поверхность.

Решение.

\(\vartriangle\) Введем цилиндрические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда конус \(K\) есть образ полуполосы
$$
\overline{\Omega} = \{(r, \varphi): 0 \leq r\;<\;+\infty,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi\}\nonumber
$$
при непрерывно дифференцируемом отображении \(F: \overline{\Omega} \rightarrow K\) таком, что \(x = r \cos \varphi\), \(y = r \sin \varphi\), \(z = r\).

Это отображение не является взаимно однозначным, так как отрезок \(r = 0\), \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\) отображается в точку — вершину конуса \(K\), а образы лучей \(\varphi = 0\) и \(\varphi = 2\pi\), \(r \geq 0\) совпадают.

Положим (рис. 52.2)
$$
\overline{\Omega}_{n} = \left\{(r, \varphi): \frac{1}{n}\;<\;r\;<\;n,\ \frac{1}{n}\;<\;\varphi\;<\;2\pi - \frac{1}{n}\right\}.\nonumber
$$

Рис. 52.2
Рис. 52.2

Легко проверить, что \(\overline{\Omega}_{n} \subset \Omega_{n + 1}\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}\) и что поверхности \(\Sigma_{n} = F(\overline{\Omega}_{n})\) являются простыми. Поэтому конус \(K\) — почти простая поверхность. \(\blacktriangle\)

Если \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная векторным уравнением \eqref{ref5}, а непрерывно дифференцируемые функции
$$
u = u(u', v'),\ v = v(u', v'),\ (u', v') \in \Omega'\nonumber
$$
задают взаимно однозначное отображение замыкания области \(\Omega'\) на замыкание ограниченной области \(\Omega\), причем якобиан отображения
$$
\frac{\partial(u, v)}{\partial(u', v')} = \begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial u'}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial v'}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial u'}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial v'}\end{vmatrix}\nonumber
$$
отличен от нуля в \(\overline{\Omega}'\), то уравнение
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u(u', v'), v(u', v')) \equiv \boldsymbol{\rho}(u', v');\quad (u', v') \in \Omega',\label{ref6}
$$
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение \eqref{ref5}. Уравнения \eqref{ref5} и \eqref{ref6} называют различными параметризациями поверхности \(\Sigma\).

Замечание.

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области \(\Omega\).


Пример 3.

Кусок сферы \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\), \(0 \leq z \leq \displaystyle\frac{a}{2}\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), можно параметризовать двумя способами:
$$
\begin{array}{cc}
     &  x = a \cos \varphi \cos \psi,\quad y = a \sin \varphi \cos \psi,\quad z = a \sin \psi,\\
     & (\varphi, \psi) \in \Omega',\quad \Omega' = \displaystyle\left\{(\varphi, \psi): 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2},\ 0 \leq \psi \leq \frac{\pi}{6}\right\}
\end{array}\label{ref7}
$$
и
$$
\begin{array}{cc}
     &  x = u,\quad y = v,\quad z = \sqrt{a^{2} - u^{2} - v^{2}},\\
     & (u, v) \in \Omega,\ \Omega = \left\{(u, v): \displaystyle\frac{3a^{2}}{4} \leq u^{2} + v^{2} \leq a^{2},\ u \geq 0,\ v \geq 0\right\}.
\end{array}\label{ref8}
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Переход от уравнений \eqref{ref7} к уравнениям \eqref{ref8} задается формулами
$$
u = a \cos \varphi \cos \psi,\quad v = a \sin \varphi \cos \psi,\quad (\varphi, \psi) \in \Omega'.\label{ref9}
$$

Якобиан отображения \eqref{ref9} равен \(a^{2} \sin \varphi \cos \psi\) и обращается в нуль при \(\psi = 0\), т. е. на части границы области \(\Omega'\). Это приводит к тому, что при переходе к параметризации \eqref{ref8} частные производные функции \(z = \sqrt{a^{2} - u^{2} - v^{2}}\) стремятся к бесконечности при приближении точки \(u, v\) к окружности \(u^{2} + v^{2} = a^{2}\). \(\blacktriangle\)

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.


Криволинейные координаты на поверхности.

Пусть простая поверхность \(\Sigma\) задана векторным уравнением \eqref{ref5}. Предположим, что область \(\Omega\) выпукла, \([a, b]\) есть проекция области \(\Omega\) на ось \(u\). Если \(u_{0} = \in (a, b)\), то прямая \(u = u_{0}\) будет пересекаться с областью \(\Omega\) по отрезку \(u = u_{0}\), \(\alpha \leq v \leq \beta\) (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении \eqref{ref1} есть кривая
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u_{0}, v),\ \alpha \leq v \leq \beta,\label{ref10}
$$
лежащая на поверхности \(\Sigma\). Будем называть ее координатной кривой \(u = u_{0}\). Придавая \(u_{0}\) все значения из отрезка \([a, b]\), получим семейство координатных кривых \(u = \operatorname{const}\). Аналогично строится и семейство координатных кривых \(v = \operatorname{const}\).

Рис. 52.3
Рис. 52.3

В силу взаимной однозначности отображения \eqref{ref1} каждая точка \(A\) поверхности \(S\) однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, \(u = u_{0}\) и \(v = v_{0}\). Пара чисел \((u_{0}, v_{0})\) называется криволинейными координатами точки \(A\) поверхности. Запись \(A(u_{0}, v_{0})\) означает, что точка \(A\) поверхности \(\Sigma\) задана криволинейными координатами \((u_{0}, v_{0})\).

Например, в сферических координатах часть сферы \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\), ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах \(\varphi\), \(\psi\) следующим образом:
$$
\varphi_{1} \leq \varphi \leq \varphi_{2},\quad \psi_{1} \leq \psi \leq \psi_{2}.\nonumber
$$

На сфере координатные кривые \(\varphi = \operatorname{const}\) — меридианы, а координатные кривые \(\psi = \operatorname{const}\) — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция \(\boldsymbol{r} (u_{0}, v)\) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра \(v\), и, следовательно, координатная кривая \(u = u_{0}\), определяемая равенством \eqref{ref10}, является непрерывно дифференцируемой. Вектор \(\boldsymbol{r}_{v} (u_{0}, v_{0})\) является касательным к этой кривой в точке \(A(u_{0}, v_{0})\). Аналогично, вектор \(\boldsymbol{r}_{u} (u_{0}, v_{0})\) касателен к координатной кривой \(v = v_{0}\) в точке \(A(u_{0}, v_{0})\). Заметим, что векторы \(\boldsymbol{r}_{u} (u_{0}, v_{0})\) и \(\boldsymbol{r}_{v} (u_{0}, v_{0})\) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг матрицы \eqref{ref2} будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.

Если область \(\Omega\) не является выпуклой, а точка \((u_{0}, v_{0})\) лежит внутри \(\Omega\), то нужно взять выпуклую окрестность точки \((u_{0}, v_{0})\), лежащую внутри \(\Omega\). Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности \(\Sigma\) и координатные кривые можно строить на этом куске поверхности (локально).


Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная уравнениями \eqref{ref1} или векторным уравнением \eqref{ref5}. Рассмотрим точку \(A(u, v)\) на поверхности \(\Sigma\), где \((u, v)\) — внутренняя точка области \(\Omega\). Построим координатные линии \(u = \operatorname{const}\) и \(v = \operatorname{const}\), проходящие через точку \(A(u, v)\). Векторы \(\boldsymbol{r}_{u} (u, v)\) и \(\boldsymbol{r}_{v} (u, v)\) будут касательными к соответствующим координатным линиям.


Лемма 1.

В любой точке \(A(u, v)\) простой поверхности \(\Sigma\) векторы \(\boldsymbol{r}_{u} (u, v)\) и \(\boldsymbol{r}_{v}(u, v)\) неколлинеарны. Направление вектора \(N = [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]\) при изменении способа параметризации или не меняется, или изменяется на противоположное.\\
\(\circ\) Рассмотрим вектор \(N = [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]\) во всех точках поверхности \(\Sigma\). Тогда
$$
\boldsymbol{N}=\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}\boldsymbol{i} + \begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}\boldsymbol{j} + \begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}\boldsymbol{k}.\nonumber
$$

Если \(\boldsymbol{N} = \boldsymbol{0}\), то все компоненты вектора \(\boldsymbol{N}\) равны нулю, и ранг матрицы \eqref{ref2} будет меньше двух, что невозможно для простой поверхности. Пусть поверхность \(\Sigma\) параметризована двумя способами, \eqref{ref5} и \eqref{ref6}. Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью векторного произведения, получаем
$$
\boldsymbol{N}' = [\boldsymbol{\rho}_{u'}, \boldsymbol{\rho}_{v'}] = [\boldsymbol{r}_{u} \frac{\partial u}{\partial u'} + \boldsymbol{r}_{v} \frac{\partial v}{\partial u'},\ \boldsymbol{r}_{u} \frac{\partial u}{\partial v'} + \boldsymbol{r}_{v} \frac{\partial v}{\partial v'}] =\\= [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}] \left(\frac{\partial u}{\partial u'}\frac{\partial v}{\partial u'} - \frac{\partial u}{\partial v'}\frac{\partial v}{\partial v'}\right) = [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}] \frac{\partial(u, v)}{\partial(u', v')},\nonumber
$$
т. е.
$$
\boldsymbol{N}' = \boldsymbol{N} \frac{\partial(u, v)}{\partial(u', v')}.\label{ref11}
$$

Так как якобиан \(J = \displaystyle\frac{\partial(u, v)}{\partial(u', v')}\) не обращается в нуль в области \(\Omega'\), то векторы \(\boldsymbol{N}'\) и \(\boldsymbol{N}\) коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если \(J\;>\;0\), и противоположно направлены, если \(J\;<\;0\). \(\bullet\)


Векторы \(\pm \boldsymbol{N} = \pm [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]\) будем называть векторами нормали к поверхности \(\sigma\) в точке \(A(u, v)\).


Лемма 2.

Вектор нормали к простой поверхности \(\Sigma\) в точке \(A(u_{0}, v_{0})\) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку \(A(u_{0}, v_{0})\).

\(\circ\) В самом деле, такая кривая есть образ при отображении \eqref{ref5} некоторой гладкой кривой, лежащей в области \(\Omega\) и задаваемой уравнениями \(u = u(t)\), \(v = v(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\).

Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u(t), v(t)),\ \alpha \leq t \leq \beta,\ u(t_{0}) = u_{0},\ v(t_{0}) = v_{0}.
$$

Касательный вектор \(\boldsymbol{\tau}\) к этой кривой в точке \(A\) есть
$$
\boldsymbol{\tau} = \frac{d}{dt} (\boldsymbol{r}(u(t_{0}, v(t_0))) = \boldsymbol{r}_{u}(u_{0}, v_{0}) \frac{du(t_{0})}{dt} + \boldsymbol{r}_{v}(u_{0}, v_{0}) \frac{dv(t_{0})}{dt}.\nonumber
$$

Итак, \(\boldsymbol{\tau}\) есть линейная комбинация векторов \(\boldsymbol{r}_{u} (u_{0}, v_{0})\) и \(\boldsymbol{r}_{v}(u_{0}, v_{0})\). Так как вектор \(\boldsymbol{N}\) ортогонален \(\boldsymbol{r}_{u} (u_{0}, v_{0})\) и \(\boldsymbol{r}_{v}(u_{0}, v_{0})\), то он ортогонален и вектору \(\boldsymbol{\tau}\), т. е. вектор нормали к поверхности в точке \(A\) ортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку \(A\). \(\bullet\)


Плоскость, проходящая через точку \(A(u, v)\) поверхности и ортогональная вектору \(\boldsymbol{N}\), называется касательной плоскостью к поверхности в точке \(A\). Пусть \((X, Y, Z)\) — декартовы координаты точки касательной плоскости и пусть \(\boldsymbol{R} = X\boldsymbol{i} + Y\boldsymbol{j} + Z\boldsymbol{k}\). Тогда векторы \(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{r}(u, v),\ \boldsymbol{r}_{u}(u, v),\ \boldsymbol{r}_{v}(u, v)\) параллельны касательной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому векторное уравнение касательной плоскости имеет вид
$$
(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{r}(u, v),\ \boldsymbol{r}_{u}(u, v),\ \boldsymbol{r}_{v}(u, v)) = 0.\nonumber
$$

В силу равенства \eqref{ref11} форма этого уравнения не зависит от выбора параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости в координатах имеет следующий вид:
$$
\begin{vmatrix}X - x(u, v)&Y - y(u, v)&Z - z(u, v)\\x_{u}(u, v)&y_{u}(u, v)&z_{u}(u, v)\\x_{v}(u, v)&y_{v}(u, v)&z_{v}(u, v)\end{vmatrix} = 0.\nonumber
$$

Нормалью к поверхности в точке \(A(u, v)\) называется прямая, проходящая через точку \(A\) и параллельная вектору нормали в точке \(A\). Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняет своего направления или изменяет его на противоположное в каждой точке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее векторное уравнение имеет вид
$$
\boldsymbol{R} - \boldsymbol{r}(u, v) = k[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}],\ -\infty\;<\;k\;<\;+\infty.\nonumber
$$

В декартовых координатах уравнение нормали можно записать следующим образом:
$$
\frac{X - x(u, v)}{y_{u}z_{v} - y_{u}z_{v}} = \frac{Y - y(u, v)}{z_{u}x_{v} - z_{u}x_{v}} = \frac{Z - z(u, v)}{x_{u}y_{v} - x_{v}y_{u}}.\nonumber
$$


Кусочно гладкие поверхности.

Из определения простой поверхности, данного в п. 1, следует, что она есть гладкий и взаимно однозначный образ некоторой плоской области, т. е. получается из этой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отображений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называть поверхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не может быть непрерывным образом деформирована в плоскую область. Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформацией плоской области.

Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы нас далеко в область высшей геометрии. Замечательным классом поверхностей в \(\boldsymbol{R}^{3}\) являются гладкие многообразия размерности 2, т.е. связные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сфера будет гладким многообразием. Если \(A\) есть точка сферы радиуса \(a\), то шар \(S_{\varepsilon}(A)\) при \(\varepsilon\;<\;\alpha\) вырезает из сферы простой кусок.

Хотя локально гладкие многообразия устроены просто, но в целом, глобально, они могут иметь очень сложное строение. Представьте себе такие гладкие поверхности, как бублик (тор), бублик с двумя дырами или еще более причудливую поверхность, которая называется бутылкой Клейна (рис. 52.4). Все эти многообразия можно разрезать на конечное число гладких простых поверхностей (или, что то же самое, их можно склеить из конечного числа простых гладких кусков).

Рис. 52.4
Рис. 52.4

Из гладких кусков можно склеивать не только гладкие многообразия, но и связные поверхности, имеющие ребра и вершины (например, поверхности многогранников) (рис. 52.5).

Рис. 52.5
Рис. 52.5

Мы не станем тут заниматься математической формализацией таких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем более основанной на этом классификации поверхностей. Заметим только, что трудности возникают при построении общих теорий. В любом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверхности на простые куски. Поверхность, которую можно разрезать на конечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.


Ориентируемые поверхности.

Будем говорить, что гладкая поверхность ориентируема, если можно построить на этой поверхности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сторону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей на противоположное, получим опять непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что оно определяет противоположную ориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой поверхности всегда определено непрерывное поле единичных нормальных векторов
$$
\boldsymbol{n} = \frac{[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]}{|[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|}.\label{ref12}
$$

Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируемыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).

Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко построить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой, что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали к поверхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мы придем к начальной точке с противоположным направлением нормали. Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное поле единичных нормальных векторов невозможно.

Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) делят пространство на ограниченную и неограниченную области, общей границей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойством не обладает.

Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границей области в \(\boldsymbol{R}^{3}\), ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нормальными векторами, направленными внутрь области (внутренними нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями. Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границе области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной точке границы.

Каждая плоскость делит пространство \(\boldsymbol{R}^{3}\) на два полупространства. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, то внутренняя нормаль определяется естественным образом как направленная внутрь полупространства (рис. 52.6). Если \(\partial G\) есть гладкая граница области \(G\), то касательная плоскость в точке \(x \in \partial G\) называется опорной, если область лежит по одну сторону от касательной плоскости, т. е. в одном из полупространств, определяемых этой плоскостью. В точке \(x \in \partial G\) определена внутренняя нормаль (рис. 52.7).

Рис. 52.6
Рис. 52.6
Рис. 52.7
Рис. 52.7

Границу области \(G\), ориентированную внешними нормалями, будем обозначать через \(\partial G\), а внутренними — через \(\partial G^{-}\).

Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладких поверхностей.

Пусть \(\Sigma\) — простая поверхность (рис. 52.8), т. е. гладкий и взаимно однозначный образ замыкания плоской области \(\Omega\). В декартовых координатах отображение задается равенствами \eqref{ref1}. Прообразом гладкого простого контура \(\Gamma \subset \Sigma\) будет простой гладкий контур \(\gamma \subset \Omega\). Будем говорить, что контур \(\Gamma\) ориентирован положительно, если его прообраз \(\gamma\) ориентирован в плоскости \((u, v)\) положительно (рис. 52.9), т. е. при обходе контура \(\gamma\) область, им ограничиваемая, остается слева (вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую пару векторов в ориентированной плоскости \((u, v))\). Будем говорить, что ориентация простой поверхности \(\Sigma\), задаваемая полем единичных нормалей
$$
\boldsymbol{n} = \frac{[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]}{|[\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]|},\nonumber
$$
согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежащих на поверхности \(\Sigma\).

Рис. 52.8
Рис. 52.8
Рис. 52.9
Рис. 52.9

Покажем, что предложенное правило согласования ориентации поверхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхности, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть \(A(u_{0}, v_{0}) \in \Sigma\), т. е. \((u_{0}, v_{0}) \in \Omega\). Без ограничения общности можно считать, что \(u_{0} = 0\), \(v_{0} = 0\). Построим в точке \(A\)(0,0) касательную плоскость и ориентируем ее вектором нормали \(\boldsymbol{n}\) или, что то же самое, парой векторов (\(\boldsymbol{r}_{u}\)(0, 0), \(\boldsymbol{r}_{v}\)(0,0)). Возьмем в плоскости переменных \(u\), \(v\) окружность радиуса \(\varepsilon\) с центром в точке (0,0):
$$
u = \varepsilon \cos t,\ v = \varepsilon \sin t,\ 0 \leq t \leq 2\pi.\nonumber
$$

Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур \(\Gamma\):
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (\varepsilon \cos t,\ \varepsilon \sin t),\ 0 \leq t \leq 2\pi.\nonumber
$$

С точностью до \(\boldsymbol{o}(\varepsilon)\) при \(\varepsilon \rightarrow 0\) получаем, что
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(0,0) + \varepsilon \boldsymbol{r}_{u}(0,0)\cos t + \varepsilon \boldsymbol{r}_{v}(0,0)\sin t + \boldsymbol{o}(\varepsilon).\nonumber
$$

С точностью до \(\boldsymbol{o}(\varepsilon)\) кривая \(\Gamma\) есть эллипс в касательной плоскости, ориентированной парой векторов (\(\boldsymbol{r}_{u}\)(0, 0), \(\boldsymbol{r}_{v}\)(0,0)).

Ориентация эллипса положительна (рис. 52.10). Если смотреть на касательную плоскость со стороны вектора нормали \(\boldsymbol{n}\), то движение по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора \(\boldsymbol{r}_{u}\)(0, 0) к вектору \(\boldsymbol{r}_{v}\)(0, 0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).

Рис. 52.10
Рис. 52.10

Пусть кусочно гладкая поверхность \(\Sigma\) склеена из гладких простых кусков \(\Sigma_{1},\ \Sigma_{2},\ \ldots,\ \Sigma_{n}\). Если склеивание происходит вдоль кривой \(\gamma\), то после удаления концов кривой \(\gamma\) она входит в края двух и только двух поверхностей \(\Sigma_{i}\). Кусочно гладкая поверхность \(\Sigma\) называется ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски \(\Sigma_{i}\), \(i = \overline{1, n}\) что после согласования ориентации \(\Sigma_{i}\) с ориентациями \(\partial \Sigma_{i}\) любая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующих двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11).

Рис. 52.11
Рис. 52.11

Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждый ее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкие и кусочно гладкие поверхности.