Понятие длины кривой.
Пусть кривая \(\Gamma\) задана уравнением кривой в векторной форме, и пусть на отрезке \([\alpha,\beta]\) выбраны точки \(t_{k} \ (k=\overline{0,n})\) такие, что
$$
\alpha=t_0 < t_{1} < \ldots t_{n-1} < t_{n}=\beta.\nonumber
$$
Набор точек \(t_{k}\) будем называть разбиением отрезка \([\alpha,\beta]\) и обозначать \(T=\{t_{k}, \ k=\overline{0,n}\}\), а соответствующий набор точек \(M_{k}=M(t_{k})\), где \(\overrightarrow{OM}_k=\textbf{r}(t_{k})\), будем называть разбиением кривой \(\Gamma\) (рис. 22.3).
Соединив последовательно точки \(M_{0}, \ M_{1}, \ \ldots, \ M_{n}\) отрезками \(M_{0}M_{1}, \ M_{1}M_2, \ \ldots, \ M_{n-1}M_{n}\), получим ломаную \(\mathcal{P}_{n}\), которую будем называть вписанной в кривую \(\Gamma\); отрезки \(M_{k-1}M_{k} \ (k=\overline{1,n})\) назовем звеньями ломаной \(\mathcal{P}_{n}\), а точки \(M_{k} \ (k=\overline{0,n}\) — вершинами ломаной \(\mathcal{P}_{n}\).
Так как длина \(k\)-го звена ломаной \(\mathcal{P}_{n}\), то есть длина отрезка \(M_{k-1}M_{k}\), равна \(|\textbf{r}(t_{k})-\textbf{r}(t_{k-1})|\), то длина \(\sigma_{n}\) ломаной \(\mathcal{P}_{n}\) равна
$$
\sigma_n=\sum_{k=1}^{n}|\textbf{r}(t_k)-\textbf{r}(t_{k-1})|.\label{ref11}
$$
Если существует точная верхняя грань множества длин ломаных, вписанных в кривую \(\Gamma\), то эта грань называется длиной кривой \(\Gamma\). Кривая, имеющая длину, называется спрямляемой.
Утверждение 2.
Если спрямляемая кривая \(\Gamma\) точкой \(M’\) разбита на кривые \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\), то есть \(\Gamma=\Gamma_{1}\Gamma_{2}\), то кривые \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\) спрямляемы, причем
$$
S=S_{1}+S_{2},\label{ref12}
$$
где \(S, \ S_1, \ S_2\) — длины кривых \(\Gamma, \ \Gamma_1, \ \Gamma_2\) соответственно.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(P’\) и \(P″\) — произвольные ломаные, вписанные соответственно в \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\), тогда \(P=P’P″\) — ломаная, вписанная в \(\Gamma\), причем
$$
\sigma=\sigma’+\sigma″,\label{ref13}
$$
где \(\sigma,\sigma’,\sigma″\) — длины ломаных \(P, \ P’, \ P″\) соответственно. Так как \(\Gamma\) — спрямляемая кривая, то \(\sigma\leq S\), и поэтому
$$
\sigma’\leq S,\qquad \sigma″\leq S.\nonumber
$$
По теореме о точной верхней грани существуют \(\operatorname{sup}\sigma’, \ \operatorname{sup}\sigma″\), то есть \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\) — спрямляемые кривые. Из равенства \eqref{ref13} следует, что \(\sigma’+\sigma″\leq S\), и поэтому \(\operatorname{sup}(\sigma’+\sigma″)=\operatorname{sup}\sigma’+\operatorname{sup}\sigma″\leq S\), то есть
$$
S_{1}+S_{2}\leq S.\label{ref14}
$$
Докажем, что в \eqref{ref14} вместо знака неравенства можно поставить знак равенства. Предположим противное, то есть допустим, что \(S_1+S_2 < S\). Обозначим \(\varepsilon_{0}=S-(S_1+S_2)\), тогда \(\varepsilon_0 > 0\). По определению точной верхней грани для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно указать такую ломаную \(P_{n}\), вписанную в кривую \(\Gamma\), что \(S \ <\sigma_n+\varepsilon_0\).
Пусть кривая \(\Gamma\) задана уравнением кривой в векторной форме. Будем считать, что вершины \(M_{k} \ (k=\overline{0,n})\) ломаной \(P_{n}\) соответствуют разбиению \(T\) отрезка \([\alpha,\beta]\), указанному выше, а общая точка \(M’\) кривых \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\) соответствует значению параметра \(t’\in[t_{k-1},t_{k}]\), где \(k\) — одно из чисел 1,2,…,n.
Рассмотрим ломаную \(\widetilde{P}\), полученную из ломаной \(P_{n}\) заменой звена \(M_{k-1}M_k\) двумя звеньями \(M_{k-1}M’\) и \(M’M_{k}\) (остальные звенья этих ломаных совпадают). Так как длина отрезка \(M_{k-1}M_{k}\) не превосходит суммы длин отрезков \(M_{k-1}M’\) и \(M’M_{k}\), то \(\sigma_n\leq\widetilde{\sigma}\), где \(\sigma\) — длина ломаной \(\widetilde{P}\), а \(\sigma_n\) — длина ломаной \(P_n\). Заметим, что ломаная \(\widetilde{P}\) составлена из ломаных \(\widetilde{P}’\) и \(\widetilde{P}″\), вписанных соответственно в кривые \(\Gamma_{1}\) и \(\Gamma_{2}\). Поэтому
$$
\widetilde{\sigma}=\widetilde{\sigma}’+\widetilde{\sigma}″\nonumber
$$
где \(\widetilde{\sigma}’\) и \(\widetilde{\sigma}″\) — длины ломаных \(\widetilde{P}’\) и \(\widetilde{P}″\).Так как \(\widetilde{\sigma}’\leq S_{1}, \ \widetilde{\sigma}″\leq S_{2}\), то \(\widetilde{\sigma}\leq S_{1}+S_{2}\). Следовательно,
$$
\sigma_{n}\leq\widetilde{\sigma}\leq S_{1}+S_{2},\nonumber
$$
и поэтому
$$
S \ <\sigma_n+\varepsilon_0\leq S_{1}+S_{2}+\varepsilon_0,\nonumber
$$
откуда \(\varepsilon_{0}=S-(S_{1}+S_{2}) < \varepsilon_{0}\), то есть \(\varepsilon_{0} < \varepsilon_{0}\), что невозможно. Равенство \eqref{ref12} доказано. \(\bullet\)
Теорема 1.
Если кривая \(\Gamma\), заданная уравнением кривой в векторной форме, непрерывно дифференцируема, то она спрямляемая, а для ее длины \(S\) справедливо неравенство
$$
S\leq (\beta-\alpha)\underset{\alpha\leq t\leq\beta}{\operatorname{max}}|r'(t)|.\label{ref15}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(T=\{t_{k},\ k=\overline{0,n}\}\) — разбиение отрезка \([\alpha,\beta]\). По теореме Лагранжа для вектор-функции получаем
$$
|\textbf{r}(t_k)-\textbf{r}(t_{k-1})|\leq|\textbf{r}'(\tau_{k})|(t_{k}-t_{k-1}),\qquad \tau\in(t_{k-1},t_{k}).\label{ref16}
$$
Из непрерывности вектор-функции \(\textbf{r}'(t)\) на отрезке \([\alpha,\beta]\) следует непрерывность и ограниченность функции \(|\textbf{r}'(t)|\), и поэтому
$$
\exists \ C > 0:\quad\forall t\in [\alpha,\beta]\rightarrow |\textbf{r}'(t)|\leq C.\nonumber
$$
В качестве \(C\) можно в силу теоремы Вейерштрасса взять число
$$
C=\max_{\alpha\leq t\leq\beta}|\textbf{r}'(t)|.\label{ref17}
$$
Так как \(|r'(\tau_k)|\leq C\), то из \eqref{ref11} и \eqref{ref16} следует, что
$$
\sigma_{n} \leq\sum_{k=1}^{n}C(t_{k}-t_{k-1})=C(\beta-\alpha),\nonumber
$$
где число \(C\) определяется формулой \eqref{ref17}. Итак, множество длин ломаных, вписанных в \(\Gamma\), ограничено сверху, откуда по теореме о точной верхней грани следует, что \(\Gamma\) — спрямляемая кривая, и выполняется неравенство \eqref{ref15}. \(\bullet\)
Производная переменной длины дуги.
Теорема 2.
Пусть кривая \(\Gamma=\{\textbf{r}=\textbf{r}(t), \ \alpha\leq t\leq\beta\}\) непрерывно дифференцируема, и пусть \(s(t)\) — длина той части кривой \(\Gamma\), которая соответствует изменению параметра от \(\alpha\) до \(t\).
Тогда для любого \(t_{0}\in[\alpha,\beta]\) существует \(s'(t_{0})\), причем
$$
s'(t_{0})=|\textbf{r}'(t_{0})|.\label{ref18}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(t_0+\Delta t\in[\alpha,\beta]\), \(M_0\) и \(M\) — точки кривой \(\Gamma\), соответствующие значениям \(t_{0}\) и \(t_{0}+\Delta t\) параметра кривой (рис. 22.4).
Тогда длина дуги \(M_{0}M\) равна \(|\Delta s|\), где
$$
\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0),\nonumber
$$
а длина хорды \(M_{0}M\) равна \(|\Delta \textbf{r}|\), и поэтому получаем неравенство
$$
|\Delta r|\leq|\Delta s|.\label{ref19}
$$
По теореме 1 получаем
$$
|\Delta s|\leq\max_{t\in P}|\textbf{r}'(t)||\Delta t|,\label{ref20}
$$
где \(P\) — отрезок с концами \(t_{0}\) и \(t_{0}+\Delta t\).
Из неравенств \eqref{ref19} и \eqref{ref20} следует, что
$$
|\Delta \textbf{r}|\leq|\Delta s|\leq\max_{t\in P}|\textbf{r}'(t)||\Delta t|,\nonumber
$$
откуда при \(\Delta t\neq 0\) получаем
$$
\vert \frac{\Delta \textbf{r}}{\Delta t}\vert\leq\vert\frac{\Delta s}{\Delta t}\vert\leq\max_{t\in P}|\textbf{r}'(t)|.\label{ref21}
$$
Заметим, что если \(\Delta t > 0\), то \(\Delta s\geq 0\), а если \(\Delta t < 0\), то \(\Delta s\leq 0\), так как \(s(t)\) — возрастающая функция. Поэтому \(\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t}\geq 0\) и \(\displaystyle\left|\frac{\Delta s}{\Delta t}\right|=\frac{\Delta s}{\Delta t}\).
Следовательно, неравенство \eqref{ref21} можно записать в виде
$$
\left|\displaystyle \frac{\Delta \textbf{r}}{\Delta t}\right|\leq\frac{\Delta s}{\Delta t}\leq\max_{t\in P}|\textbf{r}'(t)|.\label{ref22}
$$
Функция \(\textbf{r}'(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\), и поэтому функция \(|r'(t)|\) также непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрасса существует точка \(\xi\in P\) такая, что \(\displaystyle \max_{t\in P}|\textbf{r}'(t)|=|\textbf{r}'(\xi)|\).
Пусть \(\Delta t\rightarrow 0\), тогда \(|\textbf{r}'(\xi)|\rightarrow |\textbf{r}'(t_0)|\) в силу непрерывности функции \(|r'(t)|\) при \(t=t_{0}\). Поэтому правая часть неравенства \eqref{ref22} имеет при \(\Delta t\rightarrow 0\) предел, равный \(|r'(t_{0})|\).
Кроме того, по определению производной вектор-функции существует \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \textbf{r}}{\Delta t}=\textbf{r}'(t_0)\).
По свойствам пределов из \eqref{ref22} следует, что существует \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=|\textbf{r}'(t_0)|\), то есть справедливо равенство \eqref{ref18}. Таким образом, доказано, что переменная длина дуги непрерывно дифференцируемой кривой \(\Gamma\), то есть функция \(s(t)\), дифференцируема на отрезке \([\alpha,\beta]\) и выполняется равенство
$$
\frac{ds}{dt}=|\textbf{r}'(t)|,\label{ref23}
$$
причем функция \(s'(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\). \(\bullet\)
Натуральное уравнение гладкой кривой.
Пусть кривая \(\Gamma\), заданная уравнением в векторной форме, является гладкой. Тогда функция \(\textbf{r}'(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\), \(\textbf{r}'(t)\neq 0\) и поэтому \(|r'(t)| > 0\). Из равенства \eqref{ref23} следует, что \(\displaystyle \frac{ds}{dt} > 0\) для всех \(t\in[\alpha,\beta]\). Поэтому непрерывно дифференцируемая функция \(s=s(t)\) является строго возрастающей. По теореме об обратной функции на отрезке \([0,S]\), где \(S\) — длина кривой \(\Gamma\), определена функция \(t=t(s)\), причем \(t(s)\) — непрерывно дифференцируемая строго возрастающая функция и
$$
t'(s)=\frac{1}{s'(t)} > 0.\nonumber
$$
Таким образом, функция \(t=t(s)\) является допустимым преобразованием параметра (замечания здесь и здесь), и уравнение кривой \(\Gamma\) можно записать в виде
$$
\textbf{r}=\textbf{r}(t(s)),\qquad 0\leq s\leq S.\nonumber
$$
Если параметром кривой \(\Gamma\) является переменная длина ее дуги \(s\), то \(s\) называют натуральным параметром, а уравнение кривой \(\Gamma\)
$$
\textbf{r}=\textbf{r}(s),\qquad 0\leq s\leq S,\label{ref24}
$$
записанное через параметр \(s\), называют натуральным уравнением.
Пример 1.
Записать натуральное уравнение винтовой линии
$$
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=bt,\quad 0\leq t\leq T,\nonumber
$$
где \(a > 0, \ b > 0\).
Решение.
\(\triangle\) Кривая \(\Gamma\) является гладкой, так как вектор-функция \(\textbf{r}(t)=(a\cos t, \ a\sin t, \ bt)\) непрерывно дифференцируема и
$$
|\textbf{r}'(t)|=\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} > 0.\nonumber
$$
По формуле \eqref{ref23} находим
$$
\frac{ds}{dt}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\nonumber
$$
откуда заключаем (следствие 2 из теоремы Лагранжа), что
$$
s=t\sqrt{a^{2}+b^{2}}+B,\nonumber
$$
где \(B=0\), так как \(s(0)=0\). Следовательно, \(t=\displaystyle \frac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\), и поэтому искомое представление кривой \(\Gamma\) имеет вид
$$
x=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\quad y=a\sin \frac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\quad z=\frac{bs}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\quad 0\leq s\leq T\sqrt{a^{2}+b^{2}},\nonumber
$$
так как длина \(S\) кривой \(\Gamma\) равна \(s(T)=T\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). \(\blacktriangle\)
Утверждение 3.
Если параметром гладкой кривой \(\Gamma\) является переменная длина ее дуги \(s\), то
$$
\left|\frac{d\textbf{r}}{ds}\right|=1.\label{ref25}
$$
Доказательство.
\(\circ\) В самом деле, из формулы \eqref{ref23} при \(t=s\) следует равенство \eqref{ref25}. \(\bullet\)